Математика. В 2 ч. Ч. 2

1 y

2 2 y

0

0

1

0

площадь фигуры.

2.

Вычислить объем тела, ограниченного

поверхностями

x 2 4 y 2 z 1; z 0 .

2

2

2

3.

Вычислить массу дуги кривой x 3 y 3

a 3

, лежащей в пер-

4. Доказать, что tg y dx x sec2 ydy

не зависит от пути ин-

AB

тегрирования. Вычислить его, если

A 1,

; B 2;

.

6

4

1

1 x2

dx

dy . Вычислить этот интеграл. Поменять порядок интегри-

6.

Найти циркуляцию вектора F y 2 i

по замкнутой кривой,

составленной из верхней половины эллипса

x 4 cos t; y sin t и

отрезка оси Ox .

Вариант 21

1.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями xy a 2 ; y x; y 2a a 0 .

2.

Определить массу полушараx 2 y 2

z 2 a 2 ; z 0 , если

плотность его в каждой точке равна аппликате этой точки.

3.

Вычислить

sin 3

xdl , где L – дуга кривой y ln sin x от

L

x

до x

2

.

1

4

2

y 2 dx 1 2xy dy , где C – треуголь-

4.

Вычислить

e2x

C

5.

Найти площадь части поверхности

y x2 z 2 ,

вырезанной

цилиндром z2 x2

1 и расположенной в первом октанте.

6.

Найти div u, v , где u

2xi

yj 3zk ; v 3yi zj xk .

Вариант 22

1.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями y 2 4 x; x 3y 0 .

2.

Определить

объем

тела,

ограниченного поверхностями

z 2 2ax; x2 y 2 ax; z 0; y 0 .

3.

Найти

массу

дуги

винтовой

линии

3,2

x

dx

2x y

dy .

4.

Вычислить

x y 2

1,1 x y 2

5.

Используя

формулу

Остроградского,

вычислить

x y dydz y x dxdz zdxdy

через

поверхность шара

S

x2 y2 z 2 1.

6.

Найти rotF , если F 3x2 y 2i 2 y3 zj z 2 x2 k .

Вариант 23

1.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями ay x 2 2ax;

y x .

2.

Вычислить

массу

тела,

ограниченного

поверхностями

y

x2 z 2 ; y b ,

если плотность в каждой его точке пропор-

циональна ординате этой точки.

3.

Вычислить

xyzdl ,

где

L

–

дуга

кривой

1

1

L

x

t 2 ; y t; z

8t 3 0 t 1 .

3

2

F xyi x y j

4.

Найти работу силы

при перемещении

Вариант 24

1.

Вычислить

площадь фигуры, ограниченной линиями

y ln x; x y 1; x 3 .

2.

Вычислить

объем тела, ограниченного поверхностями

ремещении массы m вдоль дуги

y x3

от точки O 0,0

до точки

C 1,1 .

5.

Вычислить x2 dydz y 2 dxdz zdxdy , где

S –

внешняя

S

сторона части сферы, расположенной в первом октанте.

xi yj zk

6.

Доказать, что поле F

является потенци-

x2

y2 z 2 32

альным.

Вариант 25

1.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

y x; x 2 y 2 2x; y 0 .

2.

Определить

массу

тела,

ограниченного

поверхностями

5. Вычислить x 2

y z 2 4 dS , где S – часть поверхности

S

2 y 9 x2 z 2 , отсеченная плоскостью y 0 y 0 .

6. Найти циркуляцию векторного поля

F yi zj xk

вдоль

замкнутого

контура,

полученного от

пересечения

сферы

x2 y 2 z 2

4 координатными плоскостями, расположенными в

a

a2 y2

dy

dx . Вычислить этот интеграл. Поменять порядок интегри-

0

a y

рования.

2.

Вычислить массу

тела,

ограниченного

поверхностями

x z a; x 0; y 0; y a; z 0 ,

если плотность

его в

каждой

точке равна x2 y2 .

0,0 до

3. Вычислить xdl , где L – отрезок прямой от точки

L

точки 1,2 .

4.

Вычислить работу силы F y i y x j

при перемеще-

дуге параболы y a

x 2

нии

единицы массы по

из точки

5.

Вычислить x2 dydz y 2 dxdz z 2 dxdy ,

где

S

– внешняя

S

сторона поверхности конуса z2 y2

R2

x 2 ; 0 x

3 .

3

6.

Найти линейный интеграл вектора a x3i

y3 j

вдоль пер-

a

2a2 x2

dx

dy . Вычислить этот интеграл. Поменять порядок интегри-

0

x

3. Найти массу дуги параболы y

x 2

, лежащей между точками

y

2

1

1,

и 2,2 , если плотность равна

.

2

x

4. Вычислить xy 2dx yz 2 dy x2 zdz , где L – отрезок прямой

L

OB;O 0,0,0 ; B 2,4,5 .

5.

С помощью формулы

Остроградского, вычислить

x2 dydz y 2 dxdz z 2 dxdy , где

S – внешняя сторона куба

S

Вариант 28

1.

Построить область, площадь которой выражается интегралом

1

2 x2

dx

dy . Изменить порядок интегрирования. Вычислить интеграл.

0

x

2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

соединяющий точки A 2,3 и B 3,5 .

5.

Вычислить

площадь

поверхности

той

части плоскости

x 2 y z 4 , которая расположена в первом октанте.

6.

Найти rotF , если F y 3 z 2i

4xz 2

j xy 2k .

Вариант 29

1.

Построить область, площадь которой выражается интегралом

0

0

dy

dx . Изменить порядок интегрирования.

Вычислить инте-

2

y2 4

грал.

2.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного поверхностями

z x 2 y 2 ; x y 4; x 0; y 0; z 0 .

3.

Вычислить

x2 y 2 dl , где L – верхняя половина кардио-

L

иды a 1 cos .

4.

Поле образовано силой F x y i

2xy 8 j . Найти ра-

5.

Вычислить массу поверхности z2 x 2 y2 , заключенной

между плоскостями

z 0

и z 1,

если поверхностная плотность

пропорциональна x2 y2 .

6.

Найти циркуляцию

поля

F yi

по контуру окружности

x 2 cos t; y 2 2 sin t .

Вариант 30

1.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной линиями

ax y 2 2ay; x y 0 .

2.

Определить

массу

тела,

ограниченного поверхностями

1,

t 0,

1(t)

t 0,

0,

1,

0 t 2,

t,

0 t 1,

2 t 3,

1 t 2,

1.2.1. f (t) 1,

1.2.2. f (t) 1,

0,

3 t.

2 t.

0,

1.5.1.

pe

2 p

2e p

.

1.5.2.

.

p2

1

p2

4

1.6.1.

1

t

2

1.

1.6.2. e

t

3e

2t

t

2

. 1.6.3.

2 sin t cos

t

.

2

2

1.6.5. sh 3t cos 2t . 1.6.6. t3e2t .

1.6.4. cos2 t .

1.6.7. t 2ch2t .

1.6.8. te t

sh t .