Математика. В 2 ч. Ч. 2

Вариант 3

1.

Найти массу фигуры, ограниченной параболой y 1 x 2 и

осью Ox , если плотность x, y x 2 y 2 .

2.

Найти

объем

тела, ограниченного поверхностями

x 2 y 2 2x;

z x 2 y 2 ; z 0 .

3.

Вычислить xdl по параболе y x2 от точки 1,1 до точки

2,4 .

L

4.

Вычислить 2 x 2

y 2 dx x y 2 dy , применяя формулу

C

5. Вычислить

x2 y 2

z2 dS , где S – поверхность конуса

S

2. Вычислить

объем тела, ограниченного поверхностями

z 4 y 2 ; y

x 2

; x 0; z 0.

2

61

3.

Вычислить 3x 5y z 2 dl , где l – отрезок прямой ме-

l

жду точками A 4,1,6 и B 5,3,8 .

4.

Поле образовано силой F yi aj . Определить работу при

x a cos t

, лежащим в I четверти.

нат и эллипсом

y b sin t

5.

Найти площадь поверхности части конуса z

x2 y2 , за-

ключенного внутри цилиндра x 2 y 2 2x .

6.

Найтиdiv u, v , где u xi 2 yj zk ;

v yi

2zj xk .

Вариант 5

1.

Вычислить

a 2 x 2

y 2 dxdy ,

где

D – круг:

D

x 2 y 2 ax .

2.

Вычислить

объем тела,

ограниченного

поверхностями

z x 2 ; 3x 2 y 12; z 0, y 0.

3.

Вычислить

массу

одной

арки

циклоиды

4.

Вычислить

xy y 2 dx xdy

от точки

A 0,0 до точки

B 1,2 по кривой

l

y 2

x .

5.

Вычислить с

помощью

формулы

Остроградско-

Вариант 6

1.

Вычислить

ln x2 y2 dxdy , где область D – кольцо между

D

x2 y2

окружностями радиусов e и 1 с центром в начале координат.

2.

Вычислить

массу тела, ограниченного поверхностями

5. Вычислить y 2

z 2 dxdy , где S – верхняя сторона по-

S

x

t 2

, y t,

z

t 3

, 0 t 2 , если плотность в каждой ее точке

2

3

4.

Вычислить

xdx

dy

по

отрезку циклоиды

l

y

y a

.

x a t sin t ; y a 1 cost от точки t

до точки t

2

1

6

3

5.

Вычислить x dydz y dxdz z dxdy по верхней поверхно-

S

сти части плоскости x y z a , лежащей в первом октанте.

6.

Доказать, что поле

F

xi yj zk

является потенци-

3

x 2 y 2 z2

2

рая лежит внутри цилиндра x2 y 2 R2 .

3.

Найти массу дуги кривой

x t; y

1

t 2 0 t 1 , если плот-

2

ность равна

2 y .

4.

Вычислить xdx ydy x y 1 dz , где L – отрезок пря-

L

мой, соединяющий точки А(1,1,1) и B 2,3,4 .

5.

Найти площадь части поверхности y x2

z 2 , вырезанной

цилиндром z2 x2

1 и расположенной в первом октанте.

6.

Найти

поток

вектора

a yi zj xk

через плоскость

3.

Найти массу дуги кривой y

2x x

от точки O 0,0 до точ-

3

16

ки B

4,

, если плотность пропорциональна длине дуги.

3

ydx xdy , где

4.

Вычислить

L – окружность

x a cos t ,

L

x2 y 2

y a sin t (в положительном направлении).

5.

С

помощью формулы

Остроградского

вычислить

xdydz ydxdz zdxdy , если S

– внешняя сторона цилиндра

S

x2 y 2

4 с основаниями z 0

и z 3 .

6.

Найти rotF , если F y 2 zi

z 2 xj x 2 yk .

2.

Найти

массу

тела, ограниченного поверхностями

x y z a

2; x 2 y 2

a 2 ; z 0 , если плотность в каждой его

точке равна x2 y2 .

3.

Вычислить x2 y 2 z 2 dl , где L – дуга винтовой линии

4.

Найти функцию z по

ее полному дифференциалу

dz e xy 1 xy dx x 2dy .

5.

Применяя

формулу

Остроградского,

вычислить

меда r a a 0 между точками O 0,0 ; A a2 , a .

4.

Вычислить с помощью формулы Грина

y

dx 2 ln xdy , где

C

C x

– треугольник, сторонами которого

являются

прямые

y 4 2x; x 1; y 0 .

5.

Вычислить z 2dS , где S – часть плоскости x y z 1,

S

расположенной в первом октанте.

6.

Найти линейный интеграл вектора a x3

i y3 j

вдоль ду-

Вариант 12

1.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями y e x ; y e2x ;

x 1.

2.

Найти

массу

тела,

ограниченного

поверхностями

2az x2 y 2 ; x2 y 2 z 2

3a 2 , если плотность в каждой точ-

ке равна аппликате этой точки.

3.

Вычислить

x2 dl ,

где

L

–

верхняя половина окружности

L

x2 y 2 a 2 .

2xy 5y3 dx x2 15xy2 6y dy

4.

Выяснить,

будет ли интеграл

AB

зависеть от пути интегрирования,

и вычислить его по линии AB ,

соединяющей точки 0,0 ,

2,2 .

5.

Вычислить

zdxdy xdxdz ydydz , где S

– внешняя сто-

S

рона

треугольника, образованного

пересечением плоскости

x y z 1 и координатными плоскостями.

6.

Найти rota , если a 3x2 y2 z 3x2 i 2x3 yz j x3 y2 3z2 k .

Найти площадь поверхности z 2

x2 y 2

5.

, расположен-

2

ной над плоскостью xOy .

zj xk

6.

Найти поток вектора

a yi

через часть плоскости

x y z a , расположенной в первом октанте.

Вариант 14

1.

Переменив порядок интегрирования, записать данное выраже-

x2

1

4 x

1

4

ние в виде одного двойного интеграла

dx dy

dx3

dy . Вы-

числить площадь фигуры.

0

0

1

0

2.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

поверхностями

z 6 x 2 y 2 ; z

x2 y 2 .

2 , если плот-

3.

Найти массу дуги кривой y ln x 3 x 2

ность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.

4.

Вычислить

ydx y x 2 dy ,

где

L –

дуга

параболы

L

y 2x x 2 , расположенная над осью

Ox , пробегаемая по ходу

часовой стрелки.

5.

Применяя

формулу

Остроградского,

вычислить

S

ности,

ограниченной

плоскостями

x 0; y 0; z 0; x y 2z 1.

6.

Найти

дивергенцию

градиента

функции

u x3 y3 z3 3x2 y 2 z 2 .

68

ограниченной линиями y 2 16 8x; y 2

24x 48 .

2.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

поверхностями

2 z x 2 y 2 ; z x 2 y 2 .

3.

Вычислить

x2 y 2 dl , где L – окружность x 2 y 2 ax .

L

4.

С

помощью

формулы

Грина

вычислить

1 arctg

y

dx

2

arctg

x

dy ,

где

C –

замкнутый контур, состав-

C x

x

y

y

x 2 y 2 1; x 2 y 2 4 y 0

ленный дугами двух окружностей

и отрезками прямых y x

и

y

3x y 0 , заключенных между

этими окружностями.

5.

Найти массу полусферы

z

a 2 x2 y2 ,

если поверхно-

стная плотность в каждой ее точке равна z2 .

6.

Найти rotF , если F x 2 y 2 i 2xyz j k .

Вариант 16

1.

Вычислить

x 2 2xy dxdy ,

где область

D , ограничена

D

прямыми y x; y 2x; x y 6 .

2.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

поверхностями

x 2 y 2 a 2 ; x 2 z 2 a2 .

3.

Вычислить массу дуги кривой x ln 1 t 2 ; y 2arctg t t от

t 0

до t 1, если плотность равна

y

.

e x

69

4.

Поле образовано силой F x y i 2xj . Вычислить работу

по

перемещению

единицы

массы

по

окружности

x a cost; y a sin t .

5.

Вычислить массу поверхности

z2 x 2

y2 ,

заключенной

между плоскостями

z 0; z 1 ,

если поверхностная плотность

пропорциональна x2 y2 .

6.

Найти rotF , если F x2 y 2i

y 3 zj xz 3k .

Вариант 17

1.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской

области, ограниченной линиями y 2 4x, x y 3, y 0.

2.

Определить массу пирамиды,

образованной

плоскостями

x y z a; x 0; y 0; z 0 , если

плотность в

каждой точке

равна аппликате этой точки.

3.

Вычислить y 2dl , где L – дуга кривой

x ln y между точ-

L

ками A 0,1 и B 1, e .

4.

Применяя формулу Грина, вычислить y 2 dx x y 2 dy по

C

5.

Пользуясь

формулой

Остроградского,

вычислить

xdydz ydxdz zdxdy , где S

– внешняя сторона поверхности

S