Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. В 2 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Домашнее задание

16.5. 3 27 z.													16.6.											z						.				16.7. ln 5z 3 , z0 1.
16.5. 3 27 z.													16.6.								3					4z				.				16.7. ln 5z 3 , z0 1.
																					3					4z																		n
					1																																							n
16.8.											, z0		4.																					16.9.				z			1					.
		z	2 3z																																			z

								2																												n 1n2 2n
																																								1
16.10. n ! z i n .																																		16.11. z 2 e z , z0 0.
		n 1																																								z	функцию
16.12.			Разложить в											ряд							Лорана											по		степеням								z	функцию
f z					1						в кольце 1													z			2.
					1
	z 1 z 2
	z 1 z 2
Ответы.											2 5 8... 3n												4
16.5. 3				7							2 5 8... 3n												4					z n
																															,	z	27.
				27								n ! 34n 1																			,	z	27.
				27				n 2				n ! 34n 1
				1 n				4	n		z	n 1									3
16.6.								4			z			,	z						3	.
16.6.									3n 1					,	z						4	.
	n 0								3n 1												4
									1 n 1							5		n		z 1									n						8
16.7. 3ln 2																5				z 1											,	z 1			8	.
16.7. 3ln 2																				n 8n											,	z 1				.
							n 1																											5
							n 1																											5

16.8. 2 n 1								3 n 1					z 4 n ,												z 4							2.				16.9.				z 1					2.
	n 0
16.10. Расходится во всех точках, кроме точки z0 i.
								1																													z		n								1
16.11.								1				, 0					z		.													16.12.																.
						n ! z n				2
																																					2n 1										zn 1
		n 0																																	n 0		2n 1						n 0				zn 1

З а н я т и е 1 7

ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ Аудиторная работа

17.1. Указать все конечные особые точки заданных ниже функций и определить их характер:

17.1.1.	sin z	.	17.1.2.		sin z 2				.
	z			z	3		z	2

						4

z 2

17.1.4. z z 1 z 1 3 .

17.1.7. z 2 sin z 1 .

17.1.5.z z 3 .

17.1.8.tg2 z.

17.1.3. z 1 z i .

17.1.6. sin1 z .

	1	.	1
17.1.9.			17.1.10. cos		.
	e z 3i			z 2i

17.2. Определить тип особой точки z 0 для функций:

17.2.1.	cos z 3			1		.	17.2.2.		e3z 1		.
17.2.1.	sin z z				z 3	.	17.2.2.	cos z 1		z 2	.
					z 3					z 2
					6					2
					6					2
		2
17.2.3. z cos				.
17.2.3. z cos			3	.
			3
	z
17.3. Определить порядок нуля функции
									cos z	1	z 2
17.3.1. 1 cos z.							17.3.2.		cos z	1	2	.
											2
									e3z	1
									e3z	1

Сравнить с ответом задачи 17.2.2.

17.4. Для заданных ниже функций выяснить характер бесконечно удаленнойособойточки(устранимуюособуюточкусчитатьправильной):

17.4.1.	z 2	.	17.4.2.	3z5	5z 2	.	17. 4.3.		z	.
	5 2z 2			z 2	z 4			1 3z 4

17.4.4. 1 2z 3z 2 .			17.4.5. cos z.

Домашнее задание

17.5.

z z

17.6.

17.7. 1 cos z .

z 1 z 2 3 z i 5

sin 2z

z 2

17.8. sin z .

17.10. z3 sin

17.11. sin z3.

17.9. ze z .

z 2

17.12. 1 z 2 z 2 .

17.14. sin z.

Ответы.

17.5.

z1 0, z2

–

устранимые

особые точки,

zk 2k , k 1, 2, 3, , – полюсы первого порядка.

17.6.z1 1 – полюс первого порядка. z2 2 – полюс третьего порядка, z3 i – полюс пятого порядка.

17.7.z 0 – устранимая особая точка.

17.8. z 0 – полюс четвертого порядка. 17.9. z 0 – существенно особая точка. 17.10. z 0 – существенно особая точка. 17.11. z 0 – нуль третьего порядка.

17.12. Полюс второго порядка.

17.13. Существенно особая точка.

З а н я т и е 1 8

ВЫЧЕТЫ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ

Аудиторная работа

18.1. Найти вычеты указанных ниже функций относительно каждого из ее полюсов, отличных от :

	z 2 1			1			z3
18.1.1.		.	18.1.2.	z 1 z 2	.	18.1.3.		.
	z 2						4 z 2
							43

18.1.4.	z 2 z 1	.	18.1.5.	sin 2z	.	18.1.6. ctg2 z.

	z 2 z 1			z 1 4

18.1.7. cos3 z . z 3

18.2. Найти вычеты функций относительно точки z0 0 :

18.2.3. cos z .

18.2.2. sin

z3e

18.2.1. e z .

18.2.4.

z 4

18.3. Найти вычеты функций относительно точки z0 :

1 z

18.3.1. sin

18.3.2. e

z .

18.4. Используятеоремыовычетах, вычислитьследующиеинтегралы:

18.4.1.

zdz

, где C

z 2

2 .

z 1 z 2

z 2dz

18.4.2.

z 2 1 z 3

e z dz

где C z

1 .

18.4.3. C

z 2 z 2 9 ,

18.4.4.

, где C z

R 1 .

z 1 2 z 2

18.4.5.

sin 1 dz, где C z

r 0 .

18.5. При помощи вычетов вычислить интегралы:

2	dx	.		x 1		dx.
18.5.1.			18.5.2.
	2 cos x			x 2	1 2
0

										Домашнее задание
18.6. Найти вычеты:																					z 2
			z5										z 1					.			z 2
18.6.1.							.			18.6.2.									18.6.3.			.
18.6.1.		z 2 1					.			18.6.2.		z3 4z							18.6.3.	z 2	1 2	.
18.6.4. cos					1	.				18.6.5. z cos2 .
18.6.4. cos						.				18.6.5. z cos2 .
					z												z
18.7. Вычислить интеграла:
18.7.1.					e z				dz, где C z						z	3 .
					e z

	C z 2							4
	C z 2							4						2				dx
			tgzdz.											2					.
18.7.2.										18.7.3.
18.7.2.										18.7.3.							cos x
		z	2										0 3
		z	2										0 3
									dx		.
18.7.4.									dx
18.7.4.
				x 2 1 2 x 2 16

Ответы.

18.6.1.Выч f z ;1 выч f z ; 1 12 .

18.6.2.Выч f z ;0 14 ; выч f z ;2i 18 14i ; выч f z ; 2i 18 14i.

18.6.3. Выч f z ;i				1	i ;		выч f z ; i		1	i.
18.6.4. 0. 3.3. 2 .			4						4
18.6.4. 0. 3.3. 2 .			18.7.1..				sh2i i sin 2 .			18.7.2. 4 i .
18.7.3.	2	.	18.7.4.				3	.
18.7.3.		.	18.7.4.			100		.
8						100

Т и п о в о й р а с ч е т № 1

РЯДЫ

В задачах 1, 2 исследовать сходимость числового ряда.

Взадаче 3 исследовать сходимость знакочередующегося ряда. В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость.

Взадачах 4, 5 определить область сходимости степенных рядов.

Взадаче 6 найти четыре первых, отличных от нуля, числа разло-

жения в ряд функции f (x) по степеням x x0 .

В задаче 7 разложить функцию f (x) в ряд по степеням x , используя разложения основных элементарных функций.

Взадаче 8 вычислить с помощью ряда определенный интеграл с точностью до 0,001.

Взадаче 9 найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

Взадаче 10 разложить в ряд Фурье функцию f (x) на интервале

Вариант 1

		n 1
1.				.
1.				.
	n 1 n		2
		xn
4.				.
4.				.
	n 1 n n

		1 2		n
2.				.
2.				.
n 1 n 5
	n 1		(x 1)n . 6.
5.	n 1
5.	n 3n
n 1	n 3n

					1	2
7.		f (x) sin 2 x cos2 x .8. e					x	dx .
7.		f (x) sin 2 x cos2 x .8. e					2	dx .
					0
9.		y x y 2 , y(1)			1, k 3
10.			x, x ,
10.		f (x)		0,	0 x .
				0,	0 x .
					Вариант 2
			n 1				2n 1
1.				.	2.				.
	n 1 n2 1				n 1	( 2)n

( 1)n 1

3. . n 1 3n 1

f (x) 1x , x0 1.

	( 1)n 1
3.		.

n 1	n n

	x	n			(x 3)n		. 6. f (x) e x , x0 2 .
4.	n	.		5.
					n2
	n 1 2			n 1
	f (x)	x		0	dx
7.			.	8.		.
		1 x4		1 3 8 x3

9. y 2x y 3

f(x) 2x

,y(1) 1, k 3.

1, x , 0, 0 x .

Вариант 3

		n 1
1.				.

	n 1 3n 2				n
	n 1 x
4.					.
		n		3
	n 1
7.	f (x)		ln(1 x)

					x

		1								n 1	2n 1
2.				.			3.		( 1)				.
2.				.			3.		( 1)				.
n 2 n ln n								n 1			n(n 1)
		(x 5)n
5.						.	6.	f (x) cos x, x0				2	.
5.			n n			.	6.	f (x) cos x, x0					.
	n 1		n n				0,2
							0,2	xe xdx .
.					8.			xe xdx .
							0

9. y x	1	, y(0)	1, k 5.	x, x 0,
				10. f (x)	0 x .
	y
				0,


	3n 1
1.				.
			n3n
	n 1

4.		3n 1		x n .

	n 1		2n
7.	f x x ch x .

Вариант 4

	4 n2 2					2n 1 n
2.			.	3.	1 n		.
		2
	1 n			n 1	3n 1
n 1

	6. f x	x, x 0 4 .
5. nn (x 3)n .	6. f x	x, x 0 4 .
n 1

0,2

8. x cos x dx .

9.	y 2x 0,1y 2 ,			y 0 1, k 3 .
10.	f x	2x 3, x 0,
			0 ,	0 x .

Вариант 5

		2n 1
1.					.
1.			4n		.
	n 1		4n
			(n 1)n xn
4.						.
4.				2n		.
	n 1			2n

7. f (x) 3 8 x .

	n 2 n			( 1)n
2.		.	3.		.
	2n 1			2n 1
n 1			n 1

			f (x) cos2 x, x0	.
5.	(2 x)n . 6.		f (x) cos2 x, x0	.
	n 1			4
	0,5	1 x2 dx .
8.		1 x2 dx .

9.y x

10.f (x)

2xy, y(0) 0,1 k 3.

x 2, x ,

0, 0 x .

Вариант 6

			n 1								n3						n ln
1.						.		2.				.				3. ( 1)			.
1.		10n 1				.		2.		(2n)!		.				3. ( 1)		n	.
	n 1	10n 1							n 1	(2n)!						n 2		n
		2		n	xn .						(x 3)			n		6. f (x) e3x , x0 1.
4.		2						5.			(x 3)				.
4.								5.			n2				.
	n 1 n								n 1		n2
	f (x) cos2 x .								0,5		dx
7.								8.			dx		.
7.								8.					.
9.	y						0,		0 1 x5			3 .
9.	y	2 yy , y(0)					0,	y (0) 1, k				3 .

0, x 0,
10. f (x)	x
4x 3, 0

Вариант 7

			n 3						5	n							n
1.			n 3		.2.				5			.3.		( 1)n			n	.
	n 1	n3 2				n 1		3n (2n 1)						n 1			n 10
			xn						( x 2)n
4.						.5.										. 6.	f (x) ctg x, x0			.
4.			n 3n			.5.			(n 1) ln(n 1)							. 6.	f (x) ctg x, x0		4	.
	n 1		n 3n				n 1		(n 1) ln(n 1)										4
	f (x)				x					0,1 e x			1		dx .
7.							.		8.
7.				x2			.		8.			x
		4		x2						0		x
9.	y 2x cos y, y(0) 0, k										5 .

f(x) 5 x, x 0,

10.0, 0 x .

Вариант 8

		3n 2																	1					( 1)n 1
1.							.						2.								.	3.					.
1.		5n 1					.						2.						n (ln n)2		.	3.			n	5	.
	n 1	5n 1													n 2				n (ln n)2			n 1			n	5
			x n													(x 4)n
4.				.							5.									.	6. f (x) sh x, x0 1.
4.			nn	.							5.									.	6. f (x) sh x, x0 1.
	n 1		nn										n 1 n					2 1
							3x 5															0,5
7.	f (x)						3x 5					.									8.	x2 cos3xdx .
7.	f (x)											.									8.	x2 cos3xdx .
					x	2 4x 3																0
9.	y	ye			x		xy		2												1, k 6 .
9.	y	ye					xy				, y(0) y						(0) y (0)				1, k 6 .
					0,			x 0,											.
10. f (x)													x .						.
					3x 1, 0								x .
													Вариант 9
					1												n 1 n								n
1.										.			2.							.	3. ( 1)n		1				.
1.										.			2.							.	3. ( 1)n		1				.
	n 1	n2 2n 5												n 1					3n			n 1			6n 4

		n	x	n				n(x 5)n
4.					.		5.		. 6. f (x) tg x, x	0	.
4.		n 1			.		5.	n3 1	. 6. f (x) tg x, x		.
	n 1	n 1	2				n 1	n3 1
			1				0,5
7.	f (x)					.	8. ln 1 x2 .
7.	f (x)					.	8. ln 1 x2 .
			9 x2				0
9.	y 3x y 2 ,				y(0) 2, k 3 .
10. f (x)			3 2x, x ,
10. f (x)					0,		0 x .
					0,		0 x .

Вариант 10


1.	n2 sin				.
1.	n2 sin				.
	n 1			n
		xn
4.			.
4.			.
	n 1	n


		1				( 1)n 1
2.				.	3.		.
2.				.	3.		.
	n 1	(2n 1)!			n 1	n n
	x 2		n
5. n			.
5. n		2	.
n 1		2

6.	f (x) 3x3 6x 2 3, x0 1 .						7. f (x) ln 2 x .
0,4		xe	x	dx .		y x2	2 y, y(0) 1, k 4 .
8.		xe	4	dx .	9.	y x2	2 y, y(0) 1, k 4 .
	0
			0,		x ,
10.	f (x)
10.	f (x)		x		, 0 x .
					, 0 x .
			2

		1 n	2
1.			.

	n 1 1 n2

4.	(2n 1)2 xn .

n 1

Вариант 11

		n3				1 n
2.			.		3.		.
	n 1 n!		(x .3)n		n 1	3 n
			(x .3)n
5.					.
5.		(2n 1) n			.
	n 1	(2n 1) n		1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.2025670.74 Кб0Математика в примерах и задачах. Ч. 2. Векторная алгебра.pdf
#
28.12.2025637.69 Кб1Математика в примерах и задачах. Ч. 3. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка.pdf
#
24.11.20253.2 Mб0Математика для первокурсника. Повторение курса средней школы.pdf
#
28.12.20251.53 Mб0Математика-1.pdf
#
24.11.20252.24 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.17 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.2025980.98 Кб0Математика. В 2 ч. Ч.1.pdf
#
24.11.20252.25 Mб0Математика. В 2. Ч. 1.pdf
#
24.11.20254.21 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.42 Mб1Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля.pdf
#
24.11.20253.19 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2. Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной независимой переменной.pdf