Математика. В 2 ч. Ч. 2

12.3.Вычислить координаты центра масс, однородной дуги первого витка винтовой линии x cost, y sin t, z 2t.

12.4.Вычислить момент инерции относительно начала координат отрезка прямой, заключенного между точками A 2,0 и B 0,1 ,

если линейная плотность в каждой его точке равна 1.

12.5.С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой:

12.5.1.x a cos t, y bsin t.

12.5.2.x a cos3 t, y a sin 3 t (астроида)

12.6.Вычислить работу силы F :

вдоль окружности x 2 cos t, y 2sin t по ходу часовой стрелки. 12.7. Применяя поверхностный интеграл первого рода, найти:

12.7.1. Площадь части поверхности 2x 2 y z 8 , заключен-

ной внутри цилиндра x 2 y 2 1.

12.7.2. Определить суммарный электрический заряд, распреде-

точке пропорциональна аппликате этой точки kz .

12.7.3. Найти координаты центра тяжести однородной треугольной пластинки x y z 1; x 0, y 0, z 0.

Домашнее задание

12.8.Найти длину дуги астроиды x a cos3 t, y a sin 3 t.

12.9.Найти массу всей координаты a 1 cos , если плот-

коэффициент пропорциональности.

31

12.10. Найти координаты центра тяжести дуги AB винтовой линии x a cos t, y a sin t, z bt , если в каждой ее точке линейная

плотность пропорциональна аппликате этой точки, t A 0, tB . 12.11. С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь области, ограниченной линиями y x 2 и y x .

12.12. Вычислить работу силы F x y i 2 yj при перемещении материальной точки из начала координат в точку 1, 3 по параболе y 3x 2 .

12.13. Вычислить массу, распределенную на части конической поверхности x 2 y 2 z 2 , расположенной между плоскостями

З а н я т и е 1 3

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Аудиторная работа

13.2. Записать канонические уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой r ti t 2 j t 3k в точке t 3 .

13.3. Вычислить производную функции u ln 3 x 2 xy 2 z в точке M1 1,3,2 по направлению к точке M 2 0,5,0 .

32

ложительном направлении обхода относительно единичного векто-

ра k двумя способами: 1) исходя из определения циркуляции; 2) с помощью поверхностного интеграла, используя формулу Стокса.

13.13. Выяснить, является ли векторное поле a M x2 yi 2xy2 j 2xyzk

33

Домашнее задание

t0,5 .

13.17.Записать каноническое уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к линии, заданной векторно-параметричес-

13.18.Найти производную функцию z x 3 3x2 y 3xy 2 1 в точке M 3,1 в направлении, идущем от этой точки к точке 6,5 .

13.19.z x 2 y 2 . Найти grad z в точке 3,2 .

ружности x 2 y 2 1, z 0 .

Ответы.

13.16. 29, 2 29.

34

З а н я т и е 1 4

ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРЕДЕЛ. ПРОИЗВОДНАЯ. УСЛОВИЯ КОШИ–РИМАНА

Аудиторная работа

14.1. Описать области, заданные следующими соотношениями:

14.1.1.z z0 R.

14.1.2.1 z i 2.

Записать с помощью неравенств следующие открытые множества точек комплексной плоскости:

14.1.3.Первый квадрант.

14.1.4.Левая полуплоскость.

Найти действительную и мнимую части функции f z :

14.1.5.f z iz 2z 2 .

14.1.6.f z Re z 2 i i Im z 2 i .

Найти образы указанных точек при заданных отображениях:

Вычислить следующие пределы:

35

14.2. Проверить выполнение условий Коши–Римана и в случае их выполнения найти f z :

14.2.1.f z e3z .

14.2.2.f z sh z.

Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части:

Домашнее задание

14.3.Описать область, заданную соотношением z z0 R.

14.4.Записать с помощью неравенства открытое множество точек комплексной плоскости – полосу, состоящую из точек, отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее трех.

Найти действительную и мнимую части функции f z :

14.5.f z 2i z iz2 .

14.6.f z iz 2 z.

14.8. Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти f z :

f z cos z.

14.9. Проверить гармоничность функции в указанной области и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной части:

Ответы.

14.3 Внешность круга радиуса R с центром в точке z0 .

36

14.4.Re z 3.

14.5.u x, y x 2xy; v x, y 2 y x 2 y 2 .

З а н я т и е 1 5

ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аудиторная работа

15.1. Вычислить интегралы по заданным контурам:

ки z1 1 .

15.3. Вычислить интегралы, применив теорему Коши, интегральную формулу Коши, или формулу, получаемую дифференцированием интегральной формулы Коши (обход контуров – против часовой стрелки):

15.6. sin z z5 dz, l – ломанная, соединяющая точки l

z0 0, z1 1 и z2 2i .

З а н я т и е 1 6

РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА

Аудиторная работа

16.1. Используя разложение основных элементарных функций, разложить функции в ряд по степеням z и указать область сходимости полученных рядов:

16.1.6. sin 2z cos 2z .

39