Математика. В 2 ч. Ч. 2

8.2. Преобразовать к полярным координатам, а затем вычислить двойной интеграл по указанной области D :

8.3. Вычислить тройной интеграл, перейдя к цилиндрическим координатам:

x 2 y 2 z 2 , z a.

8.4. Вычислитьтройнойинтегралспомощьюсферическихкоординат:

00

8.6.Преобразовать к полярным координатам, а затем вычислить двойной интеграл по указанной области D .

ас центром в точке O 0;0 , лежащая в первой четверти.

8.7.Вычислить тройной интеграл, перейдя к цилиндрическим координатам:

8.8. Вычислитьтройнойинтегралспомощьюсферическихкоординат:

З а н я т и е 9

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА

9.2. Вычислить поверхностные интегралы первого рода:

23

Домашнее задание

9.3.. Вычислить криволинейные интегралы первого рода:

L

xcos t, y sin t, z 3t, 0 t 2 .

9.4.Вычислить поверхностные интегралы первого рода:

9.4.1. 6x 4 y 3z dS, где S – часть плоскости

x 2 y 3z 6 , расположенная в первом октанте. 24

З а н я т и е 10

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВТОРОГО РОДА

Аудиторная работа

10.1. Вычислить данные криволинейныеинтегралы второго рода:

соединяющий точки A 1,1,1 и B 2,3,4 .

25

x 2 y 2 a 2 .

10.2.2. ydxdz , где S – верхняя сторона части плоскости

S

x y z a , лежащей в первом октанте.

10.2.3. xdydz ydxdz zdxdy , где S – верхняя часть поверх-

S

ности x 2 y z 6 0 , расположенная в первом октанте.

10.2.4. xdydz ydxdz zdxdy , где S – внешняя сторона ци-

проверить по формуле Остроградского.

10.3. Применяя формулу Остроградского вычислить поверхностные интегралы второго рода:

10.3.1. xdydz ydxdz zdxdy , S – положительная сторона

S

куба, составленного плоскостями x 0, y 0, z 0, x 1, y 1, z 1 .

x y z 1.

Домашнее задание

10.4. Вычислить криволинейные интегралы второго рода:

26

L

«пробегаемая» в положительном направлении обхода. Результат проверить по формуле Грина.

10.5. Вычислить поверхностные интегралы второго рода.

10.5.1. ydxdz , где S – поверхность тетраэдра, ограниченного

S

плоскостями x y z 1, x 0, y 0, z 0 .

10.5.2. xdydz ydxdz zdxdy , где S – внешняя сторона сфе-

S

ры x 2 y 2 z 2 1.

10.6. Задачи 10.5.1 и 10.5.2 решить по формуле Остроградского.

Ответы.

З а н я т и е 1 1

ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Аудиторная работа

11.1. При помощи двойного интеграла найти площадь области, ограниченной указанными линиями.

11.1.1. xy 4 и x y 5.

27

11.1.2. y x , y 2 x и x 4. 11.1.3. cos , 2 cos .

11.2. При помощи двойного интеграла найти объемы тел, ограниченных поверхностями:

11.2.1.y x2 , y 1, x y z 4, z 0.

11.2.2.x 0, y 0, z 0, x 4, y 4 и z 1 x2 y 2 .

11.4. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной линиями y 2 x, x 3, если поверхностная плотность в каждой ее точке x.

11.5. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограниченной

линиями y x2 , y 2 x , если плотность фигуры xy .

11.6. Вычислить моменты инерции относительно начала координат и осей координат пластины плотностью x 2 y , лежащей в плос-

кости Oxy и ограниченной линиями y x2 , y 1.

11.7. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

11.7.1.z x 2 y 2 , 2 z x 2 y 2 .

11.7.2.z x 2 , 3x 2 y 12, y 0, z 0.

11.8. При помощи тройного интеграла вычислить массу тела, ог-

объемная плотность численно равна ординате этой точки. 28

11.9. Найти координаты центра масс части однородного шара радиусом R с центром в начале координат, расположенной выше плоскости Oxy .

11.10. Вычислить момент инерции относительно плоскости Oyz тела, ограниченного плоскостями x 2 y z 2, x 0, y 0, z 0 , если его плотность x, y, z x.

Домашнее задание

11.11. При помощи двойного интеграла вычислить площадь пло-

ской области, ограниченной линиями y 2 4x, x y 3, y 0. 11.12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

z x 2 y 2 , x y 1, x 0, y 0, z 0.

11.13. Вычислить площадь части плоскости 6x 3y 2z 12 , которая расположена в первом октанте.

11.14.Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца.

11.15.Найти координаты центра масс однородной фигуры, огра-

ниченной линиями y 2 x, y x.

11.16. Вычислить моменты инерции относительно начала координат и осей координат фигуры плотностью x, y 1 , ограниченной линиями x y 2, x 2, y 2.

11.17. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела,

M x, y, z задается формулой x y z .

11.19. Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область, ограниченную поверхностями

z 2 x 2 y 2 , z 8.

29

11.20. Вычислить момент инерции относительно оси OZ однородного тела, занимающего область, ограниченную поверхностями

З а н я т и е 1 2

ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Аудиторная работа

12.1. Найти длину дуги кривой:

12.1.1. y 2 x3 (от точки O 0,0 до A 4,8 ).

12.1.2. Первого витка винтовой линии x acost, y asint, z bt.

12.1.3. a 1 cos .

12.2. Найти массу дуги кривой при заданной плотности:

рату абсциссы этой точки;

12.2.2) четверти эллипса x 2 cos t, y sin t , лежащей в первом

квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке равна произведению координат этой точки;

12.2.3) всей лемнискаты Бернулли 2 a2 cos2 , если плотность в каждой ее точке выражается формулой k , где k 0 – коэффициент пропорциональности; 30