Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. В 2 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.17 Mб

Скачать

☆

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики № 1

МАТЕМАТИКА

Сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов

инженерно – технических специальностей втузов В 2 частях

Часть 2

М и н с к 2 0 0 4

УДК 512.64

В сборнике заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов приведены задачи и упражнения по основным разделам высшей математики в соответствии с действующей программой. В качестве основных рассматриваются 18 практических занятий для каждого из четырех семестров. К задачам, предназначенным для самостоятельной работы, предлагаются ответы, что поможет студенту сделать контроль правильности решаемых примеров.

Приведены варианты типовых расчетов, являющихся обязательным элементом учебных программ соответствующих специальностей БНТУ.

Издание является дополнением к существующим задачникам, будет полезным для студентов как дневной, так и заочной форм обучения и послужит лучшей организации их самостоятельной работы.

Составители:

А.Н. Андриянчик, Н.А. Микулик, Л.А. Раевская, Н.И. Чепелев, Т.И. Чепелева, Е.А. Федосик, В.И. Юринок, Т.С. Яцкевич

Рецензенты:

В.И. Каскевич, В.А. Нифагин

А.Н. Андриянчик, Н.А. Микулик, Л.А. Раевская и др., составление, 2004

СО Д Е Р Ж А Н И Е

I.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФУНКЦИЯ

КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. . . . . . . . .			. . .	. . . . . . . . . . . .	5
Занятие	1.	Методы исследования сходимости знакоположи-			5
Занятие	2.	тельных числовых рядов. Достаточные признаки .
		Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
		сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак			7
Занятие	3.	Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	. . . . . . . . . . . . .
		Функциональные ряды. Область сходимости.			9
Занятие	4.	Степенные ряды . . . . . . . . . . . . .	. . .	. . . . . . . . . . . .
		Разложениефункций в ряды Тейлора и Маклорена .			10
Занятие	5.	Разложение функций в степенные ряды. Применение			13
Занятие	6.	степенныхрядовкприближеннымвычислениям. . . . .
		Разложение функций в ряд Фурье на интервале			15
Занятие	7.	; , четных и нечетных функций.. . . . . . . . . .
		Вычисление двойных и тройных интегралов в			18
Занятие	8.	декартовых координатах.. . . . . .	. . .	. . . . . . . . . . . .
		Вычисление кратных интегралов в криволинейных			20
Занятие	9.	координатах.. . . . . . . . . . . . . . . . . .	и. . .	поверхностных. . . . . . . . . . .. . .
		Вычисление криволинейных			23
Занятие	10.	интегралов первого рода.. . . . . .	и. . .	поверхностных. . . . . . . . . . .. .
		Вычисление криволинейных			25
Занятие	11.	интегралов второго рода.. . . . . .	. . .	. . . . . . . . . . . .
		Приложения кратных интегралов..		поверхностных. . . . . . . . . . . ..	27
Занятие	12.	Приложения криволинейных	и		30
Занятие	13.	интегралов.. . . . . . . . . . . . . . . . . .	. .	. . . . . . . . . . . . .
		Элементы теории поля.. . . . . . . .	. .	. . . . . . . . . . . . .	32
Занятие	14.	Функция комплексной переменной. Предел.			35
Занятие	15.	Производная. Условия Коши – Римана.. . . . . . . . .
		Интеграл от функции комплексной переменной.. .			37
Занятие	16.	Ряды Тейлора и Лорана.. . . . . . .	. . .	. . . . . . . . . . . .	39
Занятие	17.	Изолированные особые точки.. .	. .	. . . . . . . . . . . . .	41
Занятие	18.	Вычеты. Основная теорема о вычетах.. . . . . . . . . .			43
Типовой расчет № 1. «Ряды».. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .					45
Типовой расчет № 2. «Кратные, криволинейные и поверхност-					59
ные интегралы. Элементы теории поля». .. .. .			. . .	. . . . . . . . . . . .
II. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНО-					79
СТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.. .
Занятие	1.	Преобразование Лапласа. Изображение элемен-			79
Занятие	2.	тарных функций. Основные теоремы.. . . . . . . . . . .
		Дифференцирование и интегрирование оригина-			82
Занятие	3.	лов и изображений. Свертка функций.. . . . . . . . . ..
		Применение операционного исчисления к решению
					3

линейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальныхуравнений.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Занятие 4. Теория вероятностей. Элементы комбинаторики .. 87 Занятие 5. Классическое и статистическое определение ве-

роятности события. Теоремы сложения и умно-

жения вероятностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Занятие 6. Формулы полной вероятности и Байеса. . . . . . . . . 95 Занятие 7. Последовательность независимых испытаний.

Схема Бернулли. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Занятие 8. Функция распределения и плотность распределения вероятностей случайных величин.. . . . . . . . . . 100

Занятие 9. Математическое ожидание и дисперсия. . . . . . . . . 102 Занятие 10. Законы распределения дискретных случайных

величин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Занятие 11. Законы распределения непрерывных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Занятие 12. Двумерные случайные величины. Законы распре-

деления.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Занятие 13. Числовые характеристики двумерных случайных величин.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 115

Занятие 14. Элементыматематической статистики. Эмпирическая функцияраспределения. Полигон. Гистограмма.. . . . . 117

Занятие 15. Выборочная средняя, дисперсия, начальные и центральные эмпирические моменты распределения. . 120

Занятие 16. Точечные и интервальные оценки параметров распределения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Занятие 17. Нахождение параметров линейной регрессии по методу наименьших квадратов. . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Занятие 18. Проверка статистических гипотез. . . . . . . . . . . . . . 126 Типовой расчет № 3 «Операционное исчисление». . . . . . . . . . . . 128 Типовой расчет № 4 «Теория вероятностей и математическая статистика». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

З а н я т и е 1

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ.

ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ

Аудиторная работа

1.1. Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы:

		1							1
1.1.1.					.	1.1.2.					.
		n n
n 1			1			n 1		3n 2 3n 5
	3n 5n						9n 2n
1.1.3.				.		1.1.4.				.
		15n						18n
n 1						n 1

1.2. Исследовать сходимость следующих рядов с положительными членами:

		n 1
1.2.1.				.

	n 1	3n 2
		1
1.2.3.			.
		n 3n
	n 1
		n
1.2.5.					.
		n 1 3
	n 1
		5 n
1.2.7.						.
		25 n3
	n 1
		n
1.2.9.							.
		2n
	n 1		3 !

		n 1
1.2.2.		n 1	.
1.2.2.			.
n 1	10n 1
		1
1.2.4.		1
1.2.4.		ln n
n 2		ln n
		2n 1
1.2.6.				.
1.2.6.				.
n 1	2n2 1

3n n 1

1.2.8. .

n 1 5n

1.2.10. n 1 n .

n 1 n !

				3n2				n 1				n												n
1.2.11.													.		1.2.12. sin									.
				7n	2		3n 4									n 1					5n 1
	n 1			7n			3n 4									n 1					5n 1
			1 n					1 n2										1		n 1 n2
1.2.13.									.						1.2.14.								.
1.2.13.								n	.						1.2.14.							n	.
	n 1	3n						n								n 1		2n				n
				1																		1
1.2.15.				1			.								1.2.16.							1				.
1.2.15.							.								1.2.16.		10n									.
	n 2 n ln n														n 1		10n		5 ln 2 10n 5
									1
1.2.17.																.
1.2.17.																.
	n 1	n 3 ln n 3 ln ln n 3

1.2.18.	3n 1 sin										.
1.2.18.	3n 1 sin										.
	n 1									4n															n
				n3																		n	3		n
1.2.19.						.									1.2.20.		arcsin								.
	n 1	2n !														n 1						2n 5
								1
1.2.21.														.
1.2.21.		5n 8 ln 3 5n												.
	n 1	5n 8 ln 3 5n											8

Домашнее задание

1.3. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:

	1			7n 3n
1.3.1.		.	1.3.2.			.
	2n 1 2n 3				21n
n 0			n 1

1.4.2. Исследовать сходимость следующих рядов с положительными членами:

		3n 2					1
1.4.1.				.		1.4.2.			.
1.4.1.		5n 1		.		1.4.2.		n2 1	.
	n 1	5n 1				n 2		n2 1
			1				3n n 2			!
1.4.3.					.	1.4.4.					.
	n 1	n2	2n 5			n 1		n5

	2n 1 n2			1
1.4.5.		.	1.4.6.		.
	2n
n 1			n 1	9n 4 ln 2 9n 4

Ответы.

1.4.1. Расходится. 1.4.2. Расходится. 1.4.3. Сходится. 1.4.4. Расходится. 1.4.5. Сходится. 1.4.6. Сходится.

З а н я т и е 2

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ.

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА

Аудиторная работа

2.1. Исследовать следующие ряды на сходимость. В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость:


			cos n											n n 1							n
																2
2.1.1.						.			2.1.2.	1						2						.
2.1.1.						.			2.1.2.	1												.
	n 1		n2							n 1					n						2n
															n
2.1.3.	sin n.								2.1.4.			1					.
2.1.3.	sin n.								2.1.4.								.
	n 1		3							n 1 n3
			n												n	1
2.1.5.		1		.					2.1.6.		1							n			.
	n 1 4 n									n 1			6n 5
								1									n
2.1.7.	1 n 1							1	. 2.1.8.				1						.
	n 1						n 1 3n			n 0			2n 1
							n														4n		n
2.1.9.	1 n							.	2.1.10	1 n 1													.
	n 1				9n 1					n 1										5n 3

				1							n
2.1.11.		1 n		1	.			2.1.12.	1 n		2 1	.
	n 2		n ln n						n 1		n
	1 n 2n 1									1
2.1.13.						.		2.1.14	1 n				.
2.1.13.						.		2.1.14	1 n				.
	n 1	2n 1							n 1	n 1 ln 2 n 1
				2n 1
2.1.15.	1 n 1			2n 1			.
2.1.15.	1 n 1						.
	n 1			n n 2

2.2. Найти приближенно (с точностью до 0,01) сумму следующих рядов:

1 n

2.2.1. .

n 1 n3 1

1 n

2.2.3.n 2 n n 1 n 2 .

	1
2.2.2. 1 n 1		.

n 1	n4

Домашнее задание

2.3. Исследовать следующие ряды на сходимость. В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость.

	cos n
2.3.1.					.
2.3.1.		n !			.
	n 1	n !
				n 5
2.3.3.	1 n			n 5		.
2.3.3.	1 n					.
	n 1				3n
					3
2.3.5.	1 n						.
2.3.5.	1 n		ln n			1	.
	n 1		ln n			1

			1 n 1
2.3.2.					.
				n 5
	n 1
		1 n 1			n
2.3.4.								.
					3n		1
	n 1
					1 n
2.3.6.		1 n 1				.
				2n 7

2.3.7. Найти приближенно (с точностью до 0,01) сумму следующего ряда:

1 n 1 . n 1 n !

Ответы.

2.3.1. Сходится абсолютно. 2.3.2. Сходится условно. 2.3.3. Сходится абсолютно. 2.3.4. Расходится.

2.3.5.Сходится условно. 2.3.6. Сходится абсолютно.

2.3.7.0,63.

За н я т и е 3

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Аудиторная работа

3.1. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:

		2n n !	x 2n .			x 8 3n
3.1.1				3.1.2.				.
		2n !				n2
	n 1			n 1
						n			n !
3.1.3.	ln n x.			3.1.4.			.	3.1.5.		.
					x 2 n
	n 1			n 1				n 1	xn

3.2. Найти область равномерной сходимости следующих рядов:

cos nx			sin nx			cos nx
3.2.1.		.	3.2.2.		.	3.2.3.		.
	n3			n !			2n
n 1			n 1			n 1

3.3. Найти область сходимости следующих степенных рядов:

n 1 2 xn

3.3.1.

3.3.2.

n 1

n ! x

3.3.4.

3.3.5.

n ! x n .

n 1 nn

n 1

x 2 n

x 8 n

3.3.7.

. 3.3.8.

n 1

		10n xn
3.3.3.						.
3.3.3.						.
	n 1		xn	n
			xn
3.3.6.					.
3.3.6.			nn		.
	n 1		nn
			x 1				n
3.3.9.			x 1					.
3.3.9.			2n n				3	.
	n 1		2n n				3
								9

3.5.1.

	1 n	3	n 2	x 2 n .
3.3.10.
			n 1
n 0

x 3 2n

3.3.11. . n 1 n 1 ln n 1

Домашнее задание

3.4. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:

		x	3n			1
3.4.1. lg x n .	3.4.2.			.	3.4.3.		.
		8n				n ! xn
n 1	n 1				n 1

3.5. Найти область сходимости следующих степенных рядов:

xn .

n 1 5n

3.5.3. n n 1 x n . n 1

	x 1	n
3.5.5.	x 1		.
3.5.5.	2n ln n 1		.
n 1	2n ln n 1

	2n xn
3.5.2.		.

n 1	n

		x 5 n
3.5.4.				.
3.5.4.			5n n2	.
	n 1		5n n2
				n
3.5.6.			x 2		.
3.5.6.			2n 1 2n		.
	n 1		2n 1 2n

Ответы.

1 1

3.4.1. ; .

10 10

3.5.1. 5;5 .

3.5.5. 1;3 .

3.4.2. 2;2 .					3.4.3. ; 0 0; .
	1		1		3.5.3. 1;1 .	3.5.4. 0;10 .
3.5.2.		;		.
	2		2

3.5.6. 0;4 .

З а н я т и е 4

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА

Аудиторная работа

4.1. В следующих задачах найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд функции f x по степеням x x0 :

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.2025670.74 Кб0Математика в примерах и задачах. Ч. 2. Векторная алгебра.pdf
#
28.12.2025637.69 Кб1Математика в примерах и задачах. Ч. 3. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка.pdf
#
24.11.20253.2 Mб0Математика для первокурсника. Повторение курса средней школы.pdf
#
28.12.20251.53 Mб0Математика-1.pdf
#
24.11.20252.24 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.17 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.2025980.98 Кб0Математика. В 2 ч. Ч.1.pdf
#
24.11.20252.25 Mб0Математика. В 2. Ч. 1.pdf
#
24.11.20254.21 Mб0Математика. В 4 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.42 Mб1Математика. В 4 ч. Ч. 3. Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля.pdf
#
24.11.20253.19 Mб0Математика. В 4 ч. Ч.2. Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной независимой переменной.pdf