Математика в примерах и задачах. В 10 ч. Ч. 1. Элементы линейной алгебры
.pdfП р и м е р 3.2
Решить матричные уравнения:
æ 1 -3 |
ö |
|
æ 2 |
0 |
ö |
|
æ |
1 |
|
5 |
|
1ö |
|
|
æ |
1 |
2 ö |
|
||||
= |
ç |
0 |
|
-4 |
÷ |
; 2) |
ç |
2 |
|
4 |
|
3 |
÷ |
× X |
ç |
3 |
÷ |
; |
||||
1) X ×ç |
-2 4 |
÷ |
ç |
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
= ç |
0 ÷ |
|||||||||||
è |
ø |
|
ç |
-1 2 |
÷ |
|
ç |
3 |
|
4 |
|
2 |
÷ |
|
|
ç |
4 |
÷ |
|
|||
|
|
|
|
è |
ø |
|
è |
|
|
ø |
|
|
è |
-1ø |
|
|||||||
|
3) |
æ |
1 0ö |
× X × |
æ 1 -3ö |
= |
æ 2 |
|
3 |
ö |
|
|
|
|
||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
ç |
1 |
|
4 |
÷. |
|
|
|
|
||||
|
|
è |
-1 4ø |
|
|
è -2 4 |
ø |
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|||||||
Решение
1) Запишем уравнение в виде |
|
|
|
|
|
||
|
XA = B, |
|
|
(3.2) |
|||
где A, B – заданные матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 |
-3 |
ö |
|
æ 2 |
0 |
ö |
|
; |
ç |
0 |
-4 |
÷ |
|||
A = ç |
4 |
÷ |
B = ç |
÷. |
|||
è -2 |
ø |
|
ç |
-1 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
è |
ø |
||
Умножим уравнение (3.2) справа на А–1. Тогда справедливо
XA× A−1 = B × A−1
или, учитывая определение обратной матрицы:
X = B × A−1.
Матрица А–1 найдена в примере 1.1:
A−1 |
|
1 |
æ 4 |
3ö æ -2 |
-3 / 2ö |
||||||
= |
|
ç |
2 |
1 |
÷ |
= ç |
-1 |
-1/ 2 |
÷. |
||
-2 |
|||||||||||
|
|
è |
ø |
è |
ø |
||||||
30
Тогда
|
|
|
|
1 |
æ 2 |
0 ö |
æ 4 3 |
ö |
|
1 |
æ 8 |
6 |
ö |
||||
X = B × A |
−1 |
= - |
ç |
0 |
-4 |
÷ |
= - |
ç |
-8 |
-4 |
÷ |
||||||
|
2 |
ç |
÷ |
×ç |
÷ |
2 |
ç |
÷. |
|||||||||
|
|
|
|
ç |
-1 |
2 |
÷ |
è 2 1 |
ø |
|
ç |
0 |
-1 |
÷ |
|||
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
è |
ø |
||||
æ -4 |
-3 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
4 |
2 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Значит, X = ç |
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
0 |
1/ 2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) Запишем уравнение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
AX = B, |
|
|
|
|
|
|
(3.3) |
||
где A, B – заданные матрицы.
æ |
1 |
5 |
1 |
ö |
|
æ |
1 |
2 |
ö |
ç |
2 |
4 |
3 |
÷ |
; |
ç |
3 |
0 |
÷ |
A = ç |
÷ |
B = ç |
÷. |
||||||
ç |
3 |
4 |
2 |
÷ |
|
ç |
4 |
|
÷ |
è |
ø |
|
è |
-1ø |
|||||
Умножим уравнение (3.3) слева на А–1. Тогда справедливо
A−1 × AX = A−1 × B
или, учитывая определение обратной матрицы, X = A−1 × B. Матрица А–1 найдена в примере 3.1, п. 2):
|
|
|
|
1 |
æ -4 -6 11 |
ö æ -4 /17 -6 /17 11/17 ö |
|
|||||||||||||||||
A |
−1 |
= |
ç |
5 |
-1 |
-1 |
÷ |
= |
ç |
5 /17 |
-1/17 |
-1/17 |
÷ |
. |
||||||||||
|
17 |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ç |
-4 11 |
-6 |
÷ |
|
ç |
-4 /17 11/17 |
|
-6 /17 |
÷ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
è |
ø è |
|
ø |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
æ |
-4 -6 11 ö æ 1 |
2 |
ö |
|
|
|
|||||||
|
|
X = A |
−1 |
× B = |
ç |
5 -1 -1 |
÷ |
× |
ç |
3 |
0 |
÷ |
= |
|
|
|||||||||
|
|
|
17 |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
-4 11 -6 |
÷ |
|
ç |
4 |
|
÷ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø è |
-1ø |
|
|
|
||||||||
31
|
1 |
æ |
-4 -18 + 44 -8 + 0 -11ö |
|
1 |
æ |
22 -19ö |
||||||||
= |
ç |
5 - 3 - 4 |
10 + 0 +1 |
÷ |
= |
ç |
-2 11 |
÷ |
|||||||
|
|
ç |
÷ |
|
|
ç |
÷. |
||||||||
17 |
17 |
||||||||||||||
|
ç |
-4 + 33 - 24 -8 + 0 + 6 |
÷ |
|
ç |
5 -2 |
÷ |
||||||||
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
||||||
|
|
|
æ |
22 /17 |
-19 /17 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||
Значит, X = |
ç |
-2 /17 |
11/17 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ç |
5 /17 |
-2 /17 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) Запишем уравнение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
AXB = C, |
|
|
|
|
|
(3.4) |
|
где A, B, C – заданные матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
||
æ |
1 0ö |
æ 1 -3 |
ö |
; |
æ 2 |
3ö |
|||
A = ç |
÷; |
B = ç |
-2 4 |
÷ |
C = ç |
1 |
4 |
÷. |
|
è |
-1 4ø |
è |
ø |
|
è |
ø |
|||
Умножим уравнение (3.4) слева на А–1 и справа на В–1. Тогда
справедливо A−1 × AXB × B−1 = A−1 ×C × B−1 |
или, учитывая определе- |
||||||||||||
ние обратной матрицы, X = A−1CB−1. |
|
|
|
|
|||||||||
Матрица В–1 найдена в примере 3.1, п. 1): |
|
|
|
||||||||||
B−1 = |
|
1 |
æ 4 3ö æ -2 -3 / 2 |
ö |
|
|
|||||||
|
|
ç |
2 1 |
÷ = ç |
-1/ 2 |
÷. |
|
|
|||||
-2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
è |
ø è -1 |
ø |
|
|
||||||
Найдем А–1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A−1 |
|
|
|
1 |
|
æ |
4 |
0ö |
æ 1 |
0 |
ö |
|
|
= |
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
= ç |
|
÷. |
|
|
|
4 |
- |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
è |
1 1ø è1/ 4 1/ 4ø |
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A−1CB−1 |
= - |
1 |
× |
1 |
æ 4 0 |
ö æ 2 3ö æ 4 3ö |
= |
||||||
2 |
4 |
ç |
|
÷ ×ç |
÷ ×ç |
|
÷ |
||||||
|
|
|
|
|
è 1 1 |
ø è 1 4ø è 2 1 |
ø |
|
|||||
32
= - |
1 |
æ |
8 |
12ö æ 4 3 |
ö |
= - |
1 |
æ 56 |
36ö |
|||
8 |
ç |
3 |
÷ ×ç |
÷ |
8 |
ç |
26 |
16 |
÷. |
|||
|
|
è |
7 ø è 2 1 |
ø |
|
è |
ø |
|||||
æ |
-7 |
|
|
-9 / 2ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, X = ç |
-13 / 4 |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
è |
-2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||
П р и м е р 3.3
Найти ранг и указать один из базисных миноров матрицы А.
æ |
1 5ö |
|
æ |
1 -2ö |
|
æ 1 |
-2 |
ö |
|
|||
; |
; |
ç |
-2 |
4 |
÷ |
; |
||||||
1) A = ç |
-1 0 |
÷ |
2) A = ç |
-2 4 |
÷ |
3) A = ç |
÷ |
|||||
è |
ø |
|
è |
ø |
|
ç |
-1 |
0 |
÷ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
||
æ |
1 |
5 |
1ö |
|
æ |
1 |
2 |
1 |
5ö |
||
ç |
2 |
4 |
3 |
÷ |
; |
ç |
2 |
3 |
1 |
8 |
÷ |
4) A = ç |
÷ |
5) A = ç |
÷. |
||||||||
ç |
3 |
4 |
2 |
÷ |
|
ç |
3 |
-1 -4 1 |
÷ |
||
è |
ø |
|
è |
ø |
|||||||
Решение
1) Вычислим определитель матрицы A:
det A = -11 05 =1× 0 - 5 × (-1) = 5 ¹ 0.
Значит, по определению rA = 2, базисный минор M2 = |
|
1 |
5 |
|
. |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
|
|
2) det A = |
|
1 |
-2 |
|
=1× 4 - (-2) × (-2) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
-2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Значит, по определению rA = 1, а базисным минором можно считать любой отличный от нуля элемент матрицы A, например, М1 = 4.
33
3) |
M2(1) |
= |
|
-2 |
4 |
|
= 0 + 4 = 4 ¹ 0. Этот же |
определитель |
можно |
||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
считать |
одним |
из |
|
базисных миноров. |
Заметим, что |
минор |
|||||||||
|
-2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
M2(2) = |
|
|
= 0 базисным не является. |
|
|
||||||||||
|
|
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
det A = |
|
1 |
5 |
|
1 |
|
= 8 + 8 + 45 -12 -12 - 20 =17 ¹ 0. |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
4 |
|
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
Значит, по определению rA = 3. Этот же определитель является 1 5 1
единственным базисным минором M3 = 2 4 3 . 3 4 2
5) 1-й способ. Воспользуемся методом окаймляющих миноров.
Фиксируем M2 |
= |
|
1 |
2 |
|
|
= 3 - 4 = -1 ¹ 0. |
Для М2 окаймляющими бу- |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дут два минора 3-го порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
M3(1) |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= |
|
2 |
3 |
1 |
|
= |
|
2 |
-1 |
-1 |
= 0; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
-1 |
-4 |
|
|
|
|
3 |
-7 |
-7 |
|
||||||
|
M3(2) = |
|
|
1 |
2 |
5 |
|
|
|
-14 |
7 |
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
8 |
= |
|
-22 |
11 |
8 |
|
|
= 0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
-1 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||||
Значит, rA = 2, а базисным минором можно считать, например, М2. 2-й способ. С помощью элементарных преобразований приведём
матрицу A к трапециевидной форме. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (–2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (–3). Далее к третьей строке прибавим вторую,
34
умноженную на (–7). В результате на втором шаге преобразований получим трапециевидную матрицу, которая содержит нулевую строку и ненулевой минор М2 (выделен) максимального порядка 2:
æ |
1 |
2 |
1 |
5ö |
æ1 2 1 |
5 ö |
æ1 2 |
1 |
5 |
ö |
||||||
ç |
2 |
3 |
1 |
8 |
÷ |
ç |
0 |
-1 -1 |
-2 |
÷ |
ç |
0 |
-1 -1 -2 |
÷ |
||
A = ç |
÷ |
~ç |
÷ |
~ç |
÷. |
|||||||||||
ç |
3 |
-1 -4 1 |
÷ |
ç |
0 |
-7 -7 |
-14 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
0 |
÷ |
||
è |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
|||||||||||
Ранг последней матрицы по определению равен двум, следовательно, таков же ранг исходной матрицы rA = 2.
Задания для решения в аудитории
I уровень
1.1. Найти обратные матрицы для следующих матриц:
|
æ1 2 |
ö |
|
|
æ |
2 -1ö |
|
æ1 -2 3 |
ö |
|
æ |
1 |
2 |
1ö |
|||||||||||
1) |
2) |
; |
ç |
0 1 |
4 |
÷ |
|
ç |
1 |
1 |
4 |
÷ |
|||||||||||||
ç |
|
|
|
÷; |
ç |
|
|
÷ |
3) ç |
÷; |
|
4) ç |
÷. |
||||||||||||
|
è |
6 7 |
ø |
|
|
è |
3 -5ø |
|
ç |
0 |
|
0 |
2 |
÷ |
|
ç |
2 |
3 |
2 |
÷ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
è |
ø |
|||||||
1.2. Решить матричное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
|
æ 1 2ö |
× X |
|
æ |
2 3ö |
|
2) X |
æ1 -2 |
ö æ 2 1 |
ö |
|
|
|
|||||||||||
|
ç |
|
÷ |
= ç |
|
÷; |
|
×ç |
|
|
÷ |
= ç |
|
÷; |
|
|
|||||||||
|
|
|
è -2 3ø |
|
|
è |
4 1ø |
|
|
|
è1 3 |
ø è 3 2 |
ø |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
æ 5 -6 4 |
ö |
|
æ |
3ö |
|
|
|
æ 5 -6 |
4 |
ö |
|
|
|
|
|
|||||||
|
3) |
ç |
3 |
-3 2 |
÷ |
|
ç |
2 |
÷ |
|
4) X |
ç |
3 |
-3 |
2 |
÷ |
= (3 2 1 . |
|
|||||||
|
ç |
÷ × X = ç |
÷; |
|
×ç |
÷ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
4 |
-5 2 |
÷ |
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
ç |
4 |
-5 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||
1.3. Найти какой-либо базисный минор матрицы:
|
æ 6 |
-6ö |
|
|
æ |
0 |
0 |
2ö |
|
|
æ |
1 |
0 |
0 |
2 |
1 ö |
||||
1) |
ç |
2 |
-2 |
÷ |
; |
2) |
ç |
3 |
0 |
0 |
÷ |
; |
3) |
ç |
1 |
0 |
0 |
3 |
|
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
-1÷. |
|||||||||||||||
|
ç |
4 |
-4 |
÷ |
|
|
ç |
0 |
0 |
0 |
÷ |
|
|
ç |
2 |
0 |
0 |
5 |
0 |
÷ |
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
||||||||||
35
1.4. Определить ранг матрицы и указать один из базисных миноров:
|
æ |
2 3ö |
|
|
æ |
3 |
-1ö |
|
æ 1 |
2 |
ö |
|
æ |
1 |
2 |
1 |
ö |
|
|||
1) |
; |
2) |
; |
ç |
-4 |
-8 |
÷ |
; |
ç |
2 |
5 |
3 |
÷ |
; |
|||||||
ç |
-5 0 |
÷ |
ç |
-6 2 |
÷ |
3) A = ç |
÷ |
4) A = ç |
÷ |
||||||||||||
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
ç |
-1 |
3 |
÷ |
|
ç |
3 |
1 |
2 |
÷ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
|||||
|
æ 1 |
3 |
5 |
-1ö |
|
|
æ 1 |
-2 3 -1 2 |
ö |
|||||
|
ç |
2 |
-1 |
-3 |
4 |
÷ |
|
|
||||||
5) |
ç |
÷ |
; |
6) |
ç |
4 |
1 |
-1 2 |
-3 |
÷. |
||||
|
ç 5 |
1 |
-1 |
7 |
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
5 |
8 |
-11 7 |
-12 |
÷ |
|
7 |
7 |
9 |
1 |
|
|
è |
ø |
||||||
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
II уровень
2.1. Найти обратную матрицу для заданной матрицы, используя формулу (3.1):
|
æ1 |
1 |
1 |
ö |
|
|
æ -1 |
1 |
1 |
-1ö |
||
|
|
|
ç |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
÷ |
||||
1) |
ç1 2 3 |
÷ |
; |
2) |
ç |
÷. |
||||||
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
ç -1 |
1 |
1 |
1 |
÷ |
|
|
ç |
3 |
4 |
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
è1 |
ø |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
||||
2.2. Методом эквивалентных преобразований найти обратные для следующих матриц:
|
æ |
1 |
0 |
1ö |
|
|
æ |
1 |
5 |
3ö |
|
|
æ |
1 |
3 |
-3ö |
|||
1) |
ç |
0 |
2 |
2 |
÷ |
; |
2) |
ç |
2 |
9 |
4 |
÷ |
; |
3) |
ç |
3 |
1 |
3 |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷. |
||||||||||||||
|
ç |
0 |
0 |
3 |
÷ |
|
|
ç |
3 |
13 8 |
÷ |
|
|
ç |
-3 3 |
1 |
÷ |
||
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|||||||||
2.3. Решить матричные уравнения:
æ |
1 |
-2 |
3 ö |
æ |
1 |
2 |
3ö æ |
1 |
2 |
3 ö |
||||
ç |
2 |
|
|
÷ |
ç |
4 |
5 |
6 |
÷ |
ç |
4 |
3 |
|
÷ |
ç |
3 -1÷ |
× X ×ç |
÷ |
= ç |
-1÷. |
|||||||||
ç |
0 |
-2 |
1 |
÷ |
ç |
7 |
8 |
0 |
÷ |
ç |
1 |
-2 3 |
÷ |
|
è |
ø |
è |
ø è |
ø |
||||||||||
36
2.4. Найти ранг матрицы:
|
æ |
2 |
1 |
4 -4 7 ö |
|
|
æ |
2 |
-1 1 2 -6ö |
|
||||||
|
ç |
0 |
0 |
5 |
7 |
|
9 |
÷ |
|
|
ç |
1 |
5 -2 3 4 |
÷ |
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
ç |
÷ |
|
||||||||
1) |
ç |
2 |
1 |
-1 3 |
-2 |
÷ |
; |
2) |
ç |
3 |
4 -1 5 7 |
÷; |
|
|||
|
ç |
2 |
1 |
9 -11 16 |
÷ |
|
|
ç |
3 |
-7 4 1 -7 |
÷ |
|
||||
|
ç |
÷ |
|
|
ç |
÷ |
|
|||||||||
|
ç |
|
|
|
5 |
|
1 |
÷ |
|
|
ç |
0 |
11 -5 4 -4 |
÷ |
|
|
|
è 8 4 1 |
|
ø |
|
|
è |
ø |
|
||||||||
|
æ |
1 |
0 |
0 |
1 4 ö |
|
|
|
æ |
1 -1 2 3 |
|
4 |
ö |
|||
|
ç |
0 |
1 |
0 |
2 5 |
÷ |
|
|
|
ç |
2 1 -1 2 |
|
0 |
÷ |
||
|
ç |
÷ |
|
|
|
ç |
|
÷ |
||||||||
3) |
ç |
0 |
0 |
1 |
3 |
6 |
÷; |
|
|
4) |
ç |
-1 2 1 1 |
|
3 |
÷. |
|
|
ç |
1 |
2 3 |
14 32 |
÷ |
|
|
|
ç |
1 5 -8 -5 -12 |
÷ |
|||||
|
ç |
÷ |
|
|
|
ç |
÷ |
|||||||||
|
ç |
4 |
5 |
6 |
32 77 |
÷ |
|
|
|
ç |
3 -7 8 9 |
13 |
÷ |
|||
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
|||||||||
Задания для самостоятельного решения
1. Различными методами найти обратные для следующих матриц:
|
|
|
|
|
|
æ1 |
|
|
2ö |
|
|
|
æ |
4 |
0ö |
|
|
æ 2 |
7 |
3ö |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1) |
|
|
; |
2) |
; 3) |
ç |
3 9 4 |
÷ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
ç |
÷; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
3 4ø |
|
|
|
è |
-2 4ø |
|
|
ç |
1 |
5 |
3 |
÷ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
æ 2 |
|
5 |
|
7 |
ö |
|
|
æ 1 |
|
2 |
2 ö |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4) |
ç |
6 3 |
|
4 |
÷ |
; |
5) |
ç |
2 1 |
-2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
ç |
÷. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
5 |
-2 |
|
|
÷ |
|
|
ç |
2 |
-2 1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
-3ø |
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
Решить матричное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) |
æ 2 5 |
ö |
× X |
= |
æ 4 -6ö |
; |
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 -2ö æ |
3 4ö |
; |
|||||||||||
ç |
|
÷ |
ç |
2 1 |
÷ |
|
|
|
|
|
2) X ×ç |
3 4 |
÷ |
= ç |
-1 5 |
÷ |
||||||||||||
|
è 1 3 |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø è |
ø |
|
||||||||||
|
æ 1 |
2 |
|
2 ö |
|
|
|
æ 1 |
|
2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
ç |
2 1 |
|
|
÷ |
X |
= |
ç |
0 3 |
÷ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ç |
|
-2÷ × |
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ç |
2 |
-2 1 |
÷ |
|
|
|
ç |
4 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
è |
ø |
|
|
|
è |
|
-1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
37
|
|
æ 3 |
|
5 |
-2 |
ö |
æ |
1 |
0 |
3 |
ö |
|
|
4) |
X |
ç |
1 |
-3 2 |
÷ |
; |
|||||||
×ç |
÷ |
= ç |
-1 |
-3 |
4 |
÷ |
|||||||
|
|
ç |
6 |
|
7 |
-3 |
÷ |
è |
ø |
|
|||
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
æ 1 |
|
-1ö |
|
æ 0 1 |
ö æ |
2 |
1 ö |
|
||||
ç |
|
1 |
÷ |
× X ×ç |
|
|
÷ = ç |
3 |
|
÷. |
|||
|
è 2 |
|
ø |
|
è -1 2 |
ø è |
-1ø |
|
|||||
3. |
Найти ранг матрицы и указать один из базисных миноров: |
|
|
||||||||||||||||||
1) |
æ 0 -11ö |
|
|
|
2) |
æ -7 -3 |
ö |
|
3) |
æ |
0 |
0 3 2 ö |
|
|
|||||||
ç |
|
|
÷; |
|
|
|
ç |
÷; |
|
ç |
1 |
-1 6 -4 |
÷; |
|
|
||||||
|
è 4 1 |
ø |
|
|
|
|
è 21 9 |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
-5 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 3 2 -1ö |
|
ç |
1 |
3 |
1 |
1 |
|
-6 |
÷ |
|
||||
|
æ 1 2 -3ö |
|
|
ç |
|
÷ |
|
||||||||||||||
4) |
ç |
2 |
-3 1 |
÷; |
|
ç |
-1 2 3 0 |
÷ |
6) |
ç |
1 |
1 |
4 |
1 |
|
-7 |
÷ |
; |
|||
5) ç |
|
|
|
÷; |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
ç |
3 4 1 -2 |
÷ |
|
ç |
1 |
1 |
1 |
5 |
|
-8 ÷ |
|
|||
|
ç |
3 |
1 |
|
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
è |
-4ø |
|
ç |
-3 1 4 1 |
÷ |
|
ç |
1 |
2 |
3 |
4 |
-10 |
÷ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
ç |
÷ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
-4 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|||||
|
æ 1 |
0 |
0 |
1 |
4 |
|
2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
2 |
3 |
14 |
32 |
12 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7) |
ç |
0 |
1 |
0 |
2 |
5 |
|
2 |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
4 |
5 |
6 |
32 |
77 |
30 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ç |
0 |
0 |
1 |
3 |
6 |
|
3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы
|
|
|
æ -2 |
|
1 ö |
|
|
|
æ1/ 4 0 |
ö |
æ |
-7 / 3 2 -1/ 3ö |
|
|||||
1. |
1) |
|
; |
2) |
ç |
5 / 3 |
-1 -1/ 3 |
÷ |
; |
|||||||||
ç |
|
÷ |
ç |
|
|
÷; 3) |
ç |
÷ |
||||||||||
|
|
|
è3 / 2 |
-1/ 2ø |
|
|
|
è1/ 8 1/ 4ø |
ç |
-2 |
1 |
1 |
÷ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|||
|
æ 1 |
-1 |
1 |
|
ö |
|
|
æ 1/ 9 2 / 9 |
|
2 / 9 ö |
|
|
|
|||||
4) |
ç |
-38 41 -34 |
÷ |
; |
5) |
ç |
2 / 9 1/ 9 |
|
-2 / 9 |
÷ |
|
|
|
|||||
ç |
÷ |
ç |
|
÷. |
|
|
|
|||||||||||
|
ç |
|
27 |
-29 24 |
÷ |
|
|
ç |
2 / 9 |
-2 / 9 1/ 9 |
÷ |
|
|
|
||||
|
è |
|
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
|
||||||||
38
|
|
|
|
æ 2 -23ö |
|
|
|
|
æ |
0 |
|
1 ö |
|
|
æ |
1 |
2 / 3 ö |
|
|
|
||||||||||||
2. |
|
|
1) |
2) |
|
; |
3) |
ç |
-2 / 3 |
1 |
|
÷ |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
÷; |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
è 0 |
8 ø |
|
|
|
|
è -19 /10 3 /10ø |
|
|
ç |
2 / 3 |
-1/ 3 |
÷ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
||||||
4) |
æ |
7 14 / 5 |
-19 / 5ö |
; |
5) |
|
æ10 / 3 -5 / 3ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
è |
6 13 / 5 -18 / 5ø |
|
|
|
|
è -5 / 3 1/ 3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
|
|
1) r = 2, |
M2 = |
|
0 |
-11 |
|
; |
2) r = 1, M1 = 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) r = 2, M2 = |
|
0 3 |
|
; 4) r = 2, |
|
M2 = |
|
|
1 2 |
|
; 5) r = 2, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 -3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
M2 = |
|
|
1 |
3 |
|
; 6) r = 4, M4 = |
|
1 3 |
1 |
1 |
; |
7) r = 3, M3 = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 2 3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
-1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет вид
ìa11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1, |
|
||||
ïa x + a x + ... + a x = b , |
|
||||
ï |
21 1 |
22 2 |
2n n |
2 |
|
í............................................. |
|
||||
ï |
|
|
|
|
|
ïa x |
+ a x |
+ ... + a x |
= b |
, |
|
î |
m1 1 |
m2 2 |
mn n |
m |
|
где aij – коэффициенты системы; bi – свободные члены;
хj – неизвестные; i =1,m;
j =1,n.
Матричная запись СЛАУ
AX = B,
(4.1)
(4.2)
39