Математика в 4 ч. Ч. 4. Дифференциальные уравнения и системы. Ряды

№

Условие

Варианты ответа

п/п

1

Исследовать

на

сходимость

ряд

1.

сходится

+∞

1

2.

расходится

∑(2n +n)sin

n

2

n=1

+1

2

Исследовать

на

сходимость

ряд

1.

сходится

+∞

2n +1

2n

2.

расходится

∑

n

n=1

3

Исследовать

на

сходимость

ряд

1.

сходится

+∞

2

1

2.

расходится

∑n

ln

+1

n=1

n

4

Исследовать на сходимость ряд

1.

сходится

+∞

1

2.

расходится

∑n=1

n2 (cos2 n +1)

5

Исследовать на сходимость ряд

1.

сходится абсолютно

∑(−1)n+1

1

2.

сходится условно

+∞

3.

расходится

n=1

ln(3n +2)

6

Исследовать на сходимость ряд

1.

сходится абсолютно

+∞

(−1)n 5

n

+n

4

n

2.

сходится условно

∑

3.

расходится

n=1

5

7

Найти область сходимости степенного ряда

1. (0; 2)

2. (−2; 2)

∞

(x −2)n

3. [0; 2]

4. [0; 4)

∑n=1

(2n −1) 2n

8

Найти

область

сходимости

1.

x (−∞; −4) (0; +∞)

функционального ряда ∑+∞ (

x +2

−1)n

2.

x (− 4;− 2) (− 2; 0)

n=1

3. x (−4; 0)

4.

x (−2; 0)

9

Вычислить коэффициенты a0 , a1 , b1

1.

a0 = 0 ,

a1 =

2π−3

,

b1 = 7π

разложения в ряд Фурье периодической с

2

периодом 2π функции

f

(x), заданной на

2.

a0

= 0 ,

a1 =

1

,

b1 = 0

промежутке [−π; π]:

π

0,

−π≤ x ≤ 0

a0 = 0 ,

π

11

3.

a1 = 3 ,

b1 = π

f (x)=

π

−

x

, 0 < x ≤ π

4.

a

0

=1−2π,

a = 4π,

b =1

4

2

10

Найти коэффициенты b , b

разложения в ряд

1.

b1 = 8 + π,

b2 = −

1

2

1

2

(π−2)

Фурье функции f (x), заданной на интервале

π

(0; π), продолжив её нечётным образом:

2.

b1

= π

(π+2)2 ,

b2 = π−2

f (x)= (x −2)2

2

2

(π−2)2

b = 4 −π

3.

b = −

,

π

1

2

4.

b1 = 2 π,

b2 = (π−2)2

ВАРИАНТ 25

№

Условие

Варианты ответа

п/п

1

Исследовать

на

сходимость

ряд

1.

сходится

+∞ 5 7 9 (2n +3)

2.

расходится

∑n=1 5 6 7 (n +4)

2

Исследовать

на

сходимость

ряд

1.

сходится

+∞

2n +3

n

2.

расходится

∑

3n +5

n=1

3

Исследовать

на

сходимость

ряд

1.

сходится

+∞

−

2.

расходится

n +2

n +1

∑

n +3 −

n +2

n=1

4

Исследовать на сходимость ряд

1.

сходится

+∞

+1 2

2.

расходится

n

∑

n +1

n=1

5

Исследовать на сходимость ряд

1.

сходится абсолютно

+∞

1

2.

сходится условно

∑(−1)n

3.

расходится

2n −1

n=1

6

Исследовать на сходимость ряд

1.

сходится абсолютно

+∞

(−1)n

1

2.

сходится условно

∑

3.

расходится

n

2

n=1

+ 4

7

Найти область сходимости

1.

[−8; 8]

2. (−9; 9)

∞

n

[−9; −7]

4. [−7; 7]

степенного ряда ∑

(x +28)

3.

n=1

n

8

Найти

область

сходимости

1.

x (−∞; 5)

2. x (−∞; 5]

функционального

ряда

3.

x [5; +∞)

4. x (5; +∞)

∑+∞ (0,36 − x2 )n

n=1

9

Вычислить коэффициенты a0 ,

a1 ,

1.

a0

=

π

,

a1 = −

2

,

b1 = −π−1

b1

разложения в ряд Фурье

2

π

периодической с периодом 2π

2.

a0

=

π+1

,

a1 = −

2

,

b1 =

−π−1

функции f (x), заданной на

2

π

π

промежутке [−π; π]:

3.

a0 = π,

a1 = −π,

b1 = π+1

f (x)= − x +1 2, −π ≤ x ≤ 0

4.

a0 =1,

a1 = π+1,

b1 = 2π+1

0,

0 < x ≤ π

10

Найти коэффициенты b ,

b

89

= 1

−

7

π 7

1

2

1.

b =

,

b

разложения в ряд Фурье функции

94 + ln2 7

π

1

2

f (x), заданной на интервале

98

−

π

196

−

π

(0; π), продолжив её нечётным

2.

b

=

1

+7

7

, b

=

1−7

7

π(49 +ln

2

π(196

2

1

2

+ln

f (x)= 7−

x

7)

7)