Математика в 4 ч. Ч. 4. Дифференциальные уравнения и системы. Ряды

№

Условие

Варианты ответа

п/п

1.

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

(ДУ) 1-го порядка, не решая его:

2. однородное

y′=

xy2 + x

3. линейное

4. Бернулли

x2 y − y

5.

в полных дифференциалах

2.

Записать

уравнение

кривой, проходящей через

1.

y = −e

2x

2.

y = 3e

2x

точку А(3; 0) и обладающей следующим

свойством: отрезок, который касательная в

3.

y =3x − x

2

4.

y = −x

+3x

2

любой точке кривой отсекает на оси Oy , равен

квадрату абсциссы точки касания.

3.

Найти общее решение дифференциального

1.

y = 2e−x2

/

2x2e−2x2

+e−2x2

+ 4C

уравнения: y′+2xy = 2x3 y3

2.

y = −2x2 / 2x2e−2x2 +e−2x2 + 4C

3.

y = 2e−x2 / e−2x2 + 4C

4.

y = −2x2 / e−2x2 + 4C

4.

Найти частное решение однородного линейного

1.

y = cos x −sin x

2.

y = e3x

дифференциального уравнения:

3.

y = e3x − x

4.

y = cos3x −sin 3x

y′′′+2y′′+9y′+18y = 0,

y(0)=1,

′

′′

y (0)= −3,

y (0)= −9

5.

Определить сколько решений имеет задача

1.

0 – нет решений

Коши:

2.

1 – одно решение

y′′′−4y′′+5y′−2y = 2x +3, y(0)= 4, y′(0)= 0,

3.

∞ – бесчисленное множество решений

y (0)=1

′′

6.

Найти

общее решение дифференциального

1.

y = −C1e−x

+C2

+C

уравнения, допускающего понижение порядка:

2.

y = −0,5ex

−C e−x

y′′+ y′ =sin x

1

2

3.

y = −0,5tgx −0,5sin x −C e−x

+C

2

1

4.

y = −0,5cos x −0,5sin x

−C e

−x +C

2

1

7.

Определить вид частного решения линейного

1.

x(Acos 2x + B sin 2x)

2.

Acos 2x + Bsin 2x

неоднородного ДУ, не решая его: y′′+ y = cos 2x

3. Acos 2x

4.

Ae−x cos 2x

8.

Решить ДУ: y′′−3y′+ 2y =3e2x

1.

y =5e2x + C1ex + C2e2x

2.

y =(3x + 2)e2x + C

cos x

+ C

2

sin x

1

3. y =3xe2x + C ex

+ C

2

e2x

1

4. y = −3x2e

2xC ex

+ C

2

e2x

1

9.

Решить систему дифференциальных уравнений:

1.

x = −C1et

+ 9C2et , y = −C1e−0,75t + 9C2e0,5t

x′=5x +8y

2.

x = −C et

+ 9C

2

, y = −C e−0,75t

+ 9C

2

1

1

y′=3x +3y

3.

x =C1e−t

+ C2 , y = −0,75C1e−t

+ 0,5C2

4.

x =C e−t

+ C

2

e9t

, y = −0,75C e−t

+ 0,5C

2

e9t

1

1

10.

Определить характер точки покоя системы:

1. устойчивый узел

x′= x

2. неустойчивый узел

3. седло

y′ = 2y

4. устойчивый фокус

№

Условие

Варианты ответа

п/п

1.

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

(ДУ) 1-го порядка, не решая его:

2. однородное

′

1

3. линейное

xy

+ y = x ln x

4. Бернулли

5.

в полных дифференциалах

2.

Записать уравнение

кривой,

проходящей через

1.

y = −x +6x

2

2.

y = 6e

2x

точку А(2; 8) и обладающей следующим

свойством: отрезок, который касательная в

3.

y = 6x − x

2

4.

y

= −e

2x

любой точке кривой отсекает на оси Oy , равен

квадрату абсциссы точки касания.

3.

Найти общее решение дифференциального

1.

y = e

−x 3

xe

3x

+C

y′+ y =

x

уравнения:

2.

y = −x3 xe3x

−e3x

/ 3 +C

2

y

3.

y = e−x 3 xe3x −e3x / 3 +C

4.

y = −x3 xe3x +C

4.

Найти частное решение однородного линейного

1.

y =1+ 2x +3x2 / 2 −e3x

+ xe3x

дифференциального уравнения:

2.

y =1+ 2x +3/ 2x2

+ xe3x

y(5)

−6y(4) +9y′′′= 0 ,

′

′′

′′′

(4)

3.

y =1+ 2x +3x2 / 2 + xe3x

0, y (0)= 27

y(0)= y (0)

= y

(0)

= y (0)=

4.

y =1+ 2x +3/ 2x2 + −e3x + xe3x

5.

Определить сколько решений имеет задача

1.

0 – нет решений

Коши:

2.

1 – одно решение

y′′′−4y′′+5y′−2y = 2x +3, y(0)= 4, y′(0)= 0,

3.

∞ – бесчисленное множество решений

y

(0)=1

′′

6.

Найти

общее

решение дифференциального

1.

y =C1 x −C12 ln(x +C1 )+C2 x

уравнения, допускающего понижение порядка:

2.

y =C x −C2 ln(x +C )+C

x

2

y′′=

y′

2

1

1

1

2

3.

y =C x −C2 x ln(x

+C )

+C

2

x

1

1

1

4.

y =C x −C2 x ln(x +C )

+C

2

1

1

1

7.

Определить вид частного решения линейного

1.

Acosx + Bsinx

2.

Asin x

неоднородного ДУ, не решая его: y′′+ y =sin x

3.

e−x (Acos x + B sin x)

4.

x(Acos x + B sin x)

8.

Решить ДУ:

y′′− y = x2 − x +1

1.

y =3x(x2

− x +1)+ C1ex + C2e−x

2. y = −x2 + x −3 + C ex + C

2

e−x

1

3.

y = 4x2 + C cos x −C

2

sin x

1

4. y = 2x2 −5x + C ex

+ C

2

e−x

1

9.

Решить систему дифференциальных уравнений:

1.

x =C1e−t

+ C2 , y = −4C1e−t

+ 2C2

x′

=3x + y

2. x =C e−t

+ C

2

e5t , y = −4C e−t + 2C

2

e5t

1

1

y′=8x + y

3. x = −C1et + 5C2 , y = −C1e−4t + 5C2

4. x = −C et

+ 5C

2

et

, y

= −C e

−4t + 5C

2

e2t

1

1

10.

Определить характер точки покоя системы:

1. устойчивый узел

x′

= x −3y

2. центр

3. седло

y′=3x + y

4. неустойчивый фокус

№

Условие

Варианты ответа

п/п

1.

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

(ДУ) 1-го порядка, не решая его:

2. однородное

xyy

′

− y

2

=

(x2 + y2 )x

3. линейное

y − x

4. Бернулли

5.

в полных дифференциалах