Математика в 4 ч. Ч. 4. Дифференциальные уравнения и системы. Ряды

№

Условие

Варианты ответа

п/п

1.

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

(ДУ) 1-го порядка, не решая его:

2.

однородное

(1− x2 )y′− xy −5 = 0

3.

линейное

4.

Бернулли

5.

в полных дифференциалах

2.

Записать уравнение кривой, проходящей через

1.

e

x

(x −13/ 4)

2

+ y

2

=169 /16

точку А(2; 3) и обладающей следующим

свойством: длина перпендикуляра, опущенного

2.

x(ex −13/ 4)2

+e2 y

=169 /16

из начала координат на касательную к кривой,

равна абсциссе точки касания.

3.

(x −13/ 4)2 + y2

=169 /16

4.

(ex −13/ 4)2

+e2 y

=169 /16

3.

Найти общее решение дифференциального

1.

y = x(e2x / 2 +C)2

2.

y = (x2 / 2 +C)2

′

уравнения:

xy −2 x

3

y = y

3.

y = (e2x / 2 +C)2

4.

y = x(x2 / 2 +C)2

4.

Найти частное решение однородного линейного

1.

y =10 −11ex

+e12x

2.

y =10x −11ex

+e12x

дифференциального уравнения:

3.

y =11ex +e12x

4.

y =10 +ex

−11e12x

y′′′−13y′′+12y′ = 0 ,

′

′′

y(0)= 0, y

(0)=

1, y (0)=133

5.

Определить сколько решений имеет задача

1.

0 – нет решений

Коши:

1

2.

1 – одно решение

′

2

3.

∞ – бесчисленное множество решений

y

−2y = −x , y(0)= 4

6.

Найти

общее

решение дифференциального

1.

y = −C cos x − x

2.

y = −x +C

уравнения, допускающего понижение порядка:

3.

y = −C cos x +C

4.

y = −C cos x − x +C

y

′′

= y

′

+1

2

2

tgx

1

1

7.

Определить вид частного решения линейного

1.

Acos x

3. x(Acos x + B sin x)

неоднородного ДУ, не решая его:

2.

Ax cos x

4.

Acos x + B sin x

y′′+ y = 2cos x

8.

Решить ДУ: y′′−2y′=8x3 −10

1.

y =C1 + C2e4x

+8x3

2.

y =C ex + C

2

e4x −

2x4 + x3 − 4

1

3.

y =C cos x + C

2

sin 4x + 6x3 − x2 + 2x + 7

1

4.

y =C + C

2

e2x

− x4

− 2x3 −3x2 + 2x

1

9.

Решить систему дифференциальных уравнений:

1. x = C1 +C2e7t , y = −C1 +5 / 3C2e7t

x′= 2x +3y

2. x

= C e−t

+C

2

e7t ,

y = −C e−t +5 / 3C

e7t

1

1

2

y′=5x +

4y

3. x = −C1 +7C2et , y = −C1 +C2e5t / 3

4. x = −C et

+7C

2

et

, y = −C e−t +7C

e5t / 3

1

1

2

10.

Определить характер точки покоя системы:

1.

центр

x′= −4y

2.

неустойчивый фокус

3.

седло

y′= x

4.

устойчивый фокус

№

Условие

Варианты ответа

п/п

1.

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

(ДУ) 1-го порядка, не решая его:

2. однородное

x − y = (x +3y)y′

3. линейное

4. Бернулли

5.

в полных дифференциалах

2.

Записать уравнение кривой,

проходящей через

1. (e

x

2

2 y

точку А(1; -2) и обладающей следующим

−2,5)

+e

= 6,25

свойством: длина перпендикуляра, опущенного

2. (x −2,5)2 + y2

= 6,25

из начала координат на касательную к кривой,

3. (ex −2,5)2 +e y

= 6,25

равна абсциссе точки касания.

4. (x − 2,5)2 + y = 6,25

3.

Найти общее решение дифференциального

2. y = x x

2

+C

1.

y = x x +C

y′ =

x

e2x + y

уравнения:

y = ex

x2 +C

y = ex

3.

4.

x+C

y

4.

Найти частное решение однородного линейного

1.

y = −2x +e−x

+e3x

+e4x

дифференциального уравнения:

2.

y = −2x +e−x +e3x

y(4) −10y′′+9y = 0,

′

′′

8, y

′′′

3.

y = −2ex +e−x +e3x +e4x

y(0)= 0, y

(0)=

0, y (0)=

(0)= 24

4.

y = −2ex +e−x +e3x

5.

Определить сколько решений имеет задача

1.

0 – нет решений

Коши:

2.

1 – одно решение

x

x

x

3.

∞ – бесчисленное множество решений

xe

y

dy + e

y

′

−

1

y

dx, y(0)=

2, y (0)=1