Математика в 4 ч. Ч. 4. Дифференциальные уравнения и системы. Ряды

№

Условие

Варианты ответа

п/п

1.

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

(ДУ) 1-го порядка, не решая его:

2. однородное

(x + x2 )y′−(1+2x)y =1+2x

3. линейное

4. Бернулли

5.

в полных дифференциалах

2.

Записать уравнение кривой,

проходящей через

1.

y = −2e

4x−12

2.

y

= −2e

4x

точку А (3; -2), если известно, что угловой

коэффициент касательной в любой ее точке

3.

y = 4e−2x−12

4.

y = 4e−2x

равняется ординате этой точки, увеличенной в 4

раза

3.

Найти общее решение дифференциального

2x

2x

=1/ e

2e

x

1.

y =1/ e

2x +C 2.

y

+C

уравнения: xy′+ 2y + x5 y3ex

= 0

3.

y =1/ x2 2ex +C 4. y =1/ x2

2x +C

4.

Найти частное решение однородного линейного

1. y = −4 +e−x +3ex 2. y = −4 +sin x +3cos x

дифференциального уравнения:

3.

y = −6 +5ex + x

4. y = −4 +sin x

y

′′′

− y

′

= 0 ,

y(0)

′

′′

= 0, y (0)=

2, y (0)= 4

5.

Определить сколько решений имеет задача

1.

0 – нет решений

Коши:

2.

1 – одно решение

y

′′′

−4y

′

′

3.

∞ – бесчисленное множество решений

= 2sin 2x, y(0)= 0, y

(0)=1

6.

Найти

общее

решение

дифференциального

1.

y = ex (x −1)+C1

уравнения, допускающего понижение порядка:

2.

y = ln x(x −1)+C x2 +C

xy′′− y′ = x

2

e

x

1

2

3.

y = ex (x −1)+C x2 +C

2

1

4.

y = ln x(x −1)+C1

7.

Определить вид частного решения линейного

1.

(Acos 2x + Bsin 2x)ex

неоднородного ДУ, не решая его:

2.

x(Acos 2x + B sin 2x)ex

y′′−2y′+5y = ex cos 2x + xex sin 2x

3.

(Ax + B)cos 2x +(Cx + D)sin 2x

4.

x[(Ax + B)cos 2x +(Cx + D)sin 2x]

8.

Решить ДУ:

y′′+ 2y′= 4x3 − 2x

1.

y =C1sinx + C2cos2x + x3 − x + 3

2.

y =C

+ C

2

cos2x + x4

2 + x3 − x

1

+ 1 x4

3. y =C

+ C

2

e−2x

− x3 + x2 − x

1

2

4. y =C + C

2

e−2x

+

2x3 − x2 + x + 4

1

9.

Решить систему дифференциальных уравнений:

1.

x = C1et −C2et , y = C1e3t −C2et

x′= −2x + y

2. x = C −C

et

, y

= C

−C

et

1

2

1

2

y′ = −3x +

2y

3. x = C1 +C2e−t , y = 3C1 +C2e−t

4. x = C et +C

e−t

, y = 3C et +C

2

e−t

1

2

1

10.

Определить характер точки покоя системы:

1. вырожденное седло

x′= x + y

2. устойчивый врожденный узел

y

3. неустойчивый фокус

y′=

4. устойчивый фокус

№

Условие

Варианты ответа

п/п

1.

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

(ДУ) 1-го порядка, не решая его:

2. однородное

xdy − ydx

= 0

3. линейное

x2 + y2

4. Бернулли

5.

в полных дифференциалах

2.

Записать уравнение

кривой, проходящей через

1.

y = 5e

8x

/ 256

2.

y =5 / 256x

8

точку А(2; 5), если известно, что угловой

коэффициент касательной в любой ее точке в 8

3.

y = 5 / 256e8x

4.

y =5x8 / 256

раз больше углового коэффициента прямой,

соединяющей ту же точку с началом координат

3.

Найти общее решение дифференциального

1.

x =

1

2.

x =

1

′ 3

sin y

= xy

′

−2y

уравнения:

y /(C − tgy)

y /(C −cosy)

y x

3.

x =

4.

x =

y /(C −tgy)

y /(C −cosy)

4.

Найти частное решение однородного линейного

1.

y = 2x −4xe−x

−4x2e−x −2ex

дифференциального уравнения:

2.

y = 2e−x

−4xe−x

−4x2e−x

−2ex