Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика в 4 ч. Ч. 4. Дифференциальные уравнения и системы. Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра инженерной математики

МАТЕМАТИКА

Методическое пособие

Ч а с т ь 4

М и н с к Б Н Т У

2 0 1 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра инженерной математики

МАТЕМАТИКА

Методическое пособие для текущего контроля знаний студентов

общетехнических специальностей

В4 частях

Ча с т ь 4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ. РЯДЫ

М и н с к Б Н Т У

2 0 1 3

УДК [51+512.64+514.742.2] (075.8) ББК 22.1я7

М34

А в т о р ы:

Н.А. Кондратьева, А.Н. Мелешко, Л.В. Бокуть, А.А. Литовко

Р е ц е н з е н т

В.И. Юринок

Математика : методическое пособие для текущего контроля знаний студентов

М34 общетехнических специальностей : в 4 ч. / Н.А. Кондратьева [и др.]. – Минск : БНТУ, 2009–2013. – Ч. 4 : Дифференциальные уравнения и системы. Ряды. – 2013. – 68 с.

ISBN 978-985-525-770-8 (Ч. 4).

Издание содержит вопросы по разделам курса математики третьего семестра для студентов общетехнических специальностей ПСФ, МТФ и СТФ, а также проверочные тесты, соответствующие действующей рабочей программе.

Издается с 2009 г. Часть 3 «Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные интегралы, интегралы по поверхности и их приложения. Теория поля», авторы: Н.А. Кондратьева, О.Г. Вишневская, Н.К. Прихач, вышла в БНТУ в 2011 г.

	УДК [51+512.64+514.742.2] (075.8)
	ББК 22.1я7
ISBN 978-985-525-770-8 (Ч. 4)	© Белорусский национальный
ISBN 978-985-525-079-2	технический университет, 2013

Введение

Данное методическое пособие предназначено для текущего контроля знаний студентов общетехнических специальностей ПСФ, МТФ и СТФ по математике. Включает контрольные вопросы и большой набор типовых задач по разделам курса «Математика» третьего семестра обучения: «Дифференциальные уравнения и системы. Ряды», предусмотренные действующей учебной программой для общетехнических специальностей высших учебных заведений.

Задачи отражают программный материал методов обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, теории рядов. Предложены задания на приложения этих разделов курса математики в технике, физике, механике, что способствует установлению межпредметных связей, помогает в решении задач прикладного характера. Задачи представлены в виде тестов с несколькими вариантами ответов. В начале каждого раздела приводится система контрольных вопросов, отражающая основные моменты теоретического курса и направленная на активацию самостоятельной подготовки студентов к письменному контролю качества усвоения теоретического материала и приобретенных навыков решения.

Преподаватели могут использовать представленные материалы для проведения рубежных срезов при использовании модульно-рейтинговой системы обучения и дальнейшей дифференциации и индивидуализации оценки знаний студентов.

Тема 8. Дифференциальные уравнения и системы

Теоретические вопросы

8.1.Определение дифференциального уравнения, его порядка, решения.

8.2.Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (ДУ).

8.3.Понятие общего и частного решения ДУ.

8.4.Определение и метод решения уравнения с разделяющимися переменными.

8.5.Однородные ДУ первого порядка, способ решения.

8.6.определение линейных (однородных, неоднородных) ДУ первого порядка, метод решения.

8.7.Уравнения Бернулли. Способ приведения его к линейному ДУ.

8.8.Определение и способ решения уравнений в полных дифференциалах.

8.9.Теорема Коши о существовании и единственности решения ДУ п -го

порядка.

8.10.Определение общего и частного решения ДУ п -го порядка.

8.11.Понятие линейных (однородных, неоднородных) ДУ п -го порядка.

8.12.Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ второго порядка.

8.13.Определение ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

8.14.Понятие характеристического уравнения и три возможных случая корней этого уравнения.

8.15.Способы решения линейного однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами при различных видах корней характеристического уравнения.

8.16.Понятие линейного однородного ДУ п -го порядка с постоянными коэффициентами.

8.17.Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ п - го порядка с постоянными коэффициентами.

8.18.Теорема о структуре общего решения неоднородного ДУ второго

порядка.

8.19.Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для отыскания частного решения неоднородного ДУ.

8.20.Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (метод неопределенных коэффициентов).

8.21.Теорема о структуре общего решения линейных неоднородных ДУ высших порядков.

8.22.Определение нормальной системы п ДУ первого порядка.

8.23.Теорема о существовании и единственности решения нормальной системы ДУ.

8.24.Определение линейной нормальной (однородной, неоднородной) системы ДУ.

8.25.Понятие линейно независимой и линейно зависимой системы векторов решения линейной системы ДУ.

8.26.определитель Вронского системы векторов решения линейной однородной системы ДУ.

8.27.Теорема о структуре общего решения однородной системы ДУ.

8.28.Теорема о структуре общего решения неоднородной системы ДУ.

8.29.Метод решения линейных однородных систем ДУ с постоянными коэффициентами.

8.30.Метод вариации произвольных постоянных для нахождения общего решения линейной неоднородной системы ДУ с постоянными коэффициентами.

Варианты заданий

ВАРИАНТ 1

№

Условие

Варианты ответа

п/п

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

(ДУ) 1-го порядка, не решая его:

2. однородное

xy′+ y = y2 ln x

3. линейное

4. Бернулли

в полных дифференциалах

Записать

уравнение

кривой, проходящей через

y = 7e

= 5e

7 x+2

точку А(0; 5), если известно, что угловой

коэффициент касательной в любой ее точке

y = 5e7 x

y = 7e5x+2

равняется ординате этой точки, увеличенной в 7

раза

Найти общее решение дифференциального

x = (y tgy +ln

cos y

+C)2 / y2

ydx +2xdy = 2y

уравнения:

x = (ytgy +C)2 / y2

cos

x = (y cos y +ln

cos y

+C)2 / y2

x = (y cos y +C)2 / y2

Найти частное решение однородного линейного

y =1− x +ex

y =1−ex

дифференциального уравнения:

y =1−ex +e2x

4. y =1− x

(5)

−9y

′′′

0, y(0)=1,

′

y (0)= −1,

′′

′′′

(4)

(0)=

y (0)= 0,

(0)= 0, y

Определить сколько решений имеет задача Коши:

0 – нет решений

′′

′

′′

1 – одно решение

= x + x, y(0)=1,

y (0)= −1,

(0)= 2

∞ – бесчисленное множество решений

Найти

общее решение

дифференциального

y =C x / 2

уравнения,

допускающего

понижение порядка:

(y −C

= 4(C x)+13 , y = ±x +C

′

′′

= y

′2

−1

2xy y

y =C1 x / 2 +C2

4. 9C2 (y −C2 )2 = 4(C1x2

+1)3 , y = ±x2 +C

Определить вид частного решения линейного

Ax2 + Bx +C

2. (Ax2 + Bx +C)e2x

неоднородного ДУ, не решая его:

′′

−4y = x

Ax2e2x

x(Ax2 + Bx +C)e2x

Решить ДУ:

y′′+ y =sinx + cos2x

y = 2sinx + 3cosx + C1ex + C2 xe−x

y = − 1 xcosx −

1 cos2x

+ C cos x

+ C

sinx

y = 1 xsinx −cos2x + C ex + C

e−x

4. y =sinx + 2xcos2x + C1cosx + C2sinx

Решить систему дифференциальных уравнений:

x = C1e3t

+C2 , y = −2C1e3t −C2

x′

= x − y

2. x = C e3t

et , y = −2C e3t

+ 2C

e−t

y′= −4x + y

3. x =3C1et + C2 , y =3C1e−2t −C2

4. x = 3C et

et , y = 3C e−2t

−C

e2t

10.

Определить характер точки покоя системы:

1. устойчивый узел

2. центр

x′

= x −3y

3. седло

4. неустойчивый фокус

y′=3x + y

ВАРИАНТ 2

№						Условие											Варианты ответа
п/п						Условие											Варианты ответа
п/п
1.	Определить тип дифференциального уравнения							1. с разделяющимися переменными
	(ДУ) 1-го порядка, не решая его:							2. однородное
	ydx +(2x − y2 )dy = 0							3. линейное
								4. Бернулли
								5.	в полных дифференциалах
2.	Записать уравнение кривой, проходящей через							1.	y = 2e					3x+2									2.	y = 3e		2x
	точку А(-1; 3), если известно, что угловой							1.	y = 2e														2.	y = 3e
	коэффициент касательной в любой ее точке							3.	y = 2e3x														4.	y = 3e2x+2
	равняется ординате этой точки, увеличенной в 2
	раза
3.	Найти общее решение дифференциального							1.	y =1/(C sin 2x +cos x)
	уравнения: y′+ 2y = y2ex							2.	y =1/(Ce2x									+ex )
								3.	y =1/(C sin 2x + x)
								4.	y =1/(Ce2x + x)
4.	Найти частное решение однородного линейного							1.	y =1−ex														2. y =1+ x −ex
	дифференциального уравнения:							3.	y =1+ x														4. y =1+ex −ex
	y	′′′	− y	′′	= 0 ,	′	′′	3.	y =1+ x														4. y =1+ex −ex
	y		− y		= 0 ,	y(0)= 0, y (0)= 0, y (0)= −1
5.	Определить сколько решений имеет задача							1.	0 – нет решений
	Коши:							2.	1 – одно решение
	y′′′−3y′= 2 −6x, y(0)=1							3.	∞ – бесчисленное множество решений
6.	Найти				общее решение		дифференциального	1.	y = C1ex							+1/ x +C2
	уравнения, допускающего понижение порядка:							2.	y =C ln x +1/ x
	x3 y′′+ x2 y′=1							3.		1
								3.	y =C1 ln x +1/ x +C2
								4.	y =C1 ln x +C2
7.	Определить вид частного решения линейного							1.	A									2.				Ax + B
	неоднородного ДУ, не решая его:							3.	Aex									4. Ae7 x
	y′′−8y′+7 y =14
8.	Решить ДУ:					y′′+ y =sinxcos3x		1.	y =		1		cos4x +									1	sin2x + C1cosx + C2sinx
								1.	y =	10			cos4x +									6	sin2x + C1cosx + C2sinx
										10									3			6
								2.	y = 2sin4x +										3		cos2x + C ex + C							2	e−x
								2.	y = 2sin4x +												cos2x + C ex + C								e−x
																		2							1
																		2
								3.	y = 1 sin4x + C ex + C															2	e−x
										3												1		2
										3		1			sin4x + 1 sin2x + C cosx + C
								4.	y = −			1																				sinx
								4.	y = −																							sinx
										30													6		1					2
										30													6
9.	Решить систему дифференциальных уравнений:							1.	x = 3C1et −3C2et , y = 3C1e0,5t																				−3C2e−0,25t
	x′= −x +8y							2.	x = C					+C			2	e−3t , y = 0,5C −									0,25C			2	e−3t
										1							2								1					2
	y′= x + y							3.	x = 3C1 −3C2et , y = 3C1 −3C2e−0,25t
								4. x = C e3t								+C				2		e−3t , y = 0,5C e3t							−0,25C				2	e−3t
										1										2					1								2
10.	Определить характер точки покоя системы:							1. вырожденное седло
	x′ = x + y							2. устойчивый врожденный узел
								3. центр
	y′ = −10x − y							4. неустойчивый фокус
								4. неустойчивый фокус

ВАРИАНТ 3

№

Условие

Варианты ответа

п/п

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

(ДУ) 1-го порядка, не решая его:

2. однородное

ydx = (y2 −2x)dy

3. линейное

4. Бернулли

в полных дифференциалах

Записать уравнение кривой, проходящей через

y = 2e

3x+2

y = 3e

точку А(-1; 3), если известно, что угловой

коэффициент касательной в любой ее точке

y = 2e3x

y = 3e2x+2

равняется ординате этой точки, увеличенной в 2

раза

Найти общее решение дифференциального

y =1/(C sin 2x +cos x)

уравнения: y′+ 2y = y2ex

y =1/(Ce2x

+ex )

y =1/(C sin 2x + x)

y =1/(Ce2x + x)

Найти частное решение однородного линейного

y =1−ex

y =1+ x −ex

дифференциального уравнения:

y =1+ x

4. y =1+ex −ex

′′′

− y

′′

= 0 ,

′

′′

y(0)= 0, y (0)= 0, y (0)= −1

Определить сколько решений имеет задача

0 – нет решений

Коши:

1 – одно решение

y′′′−3y′ = 2 −6x, y(0)=1

∞ – бесчисленное множество решений

Найти

общее решение

дифференциального

y = C1ex

+1/ x +C2

уравнения, допускающего понижение порядка:

y =C ln x +1/ x

x3 y′′+ x2 y′=1

y =C1 ln x +1/ x +C2

y =C1 ln x +C2

Определить вид частного решения линейного

2. Ax + B

неоднородного ДУ, не решая его:

Aex

4. Ae7 x

y′′−8y′+7 y =14

Решить ДУ:

y′′− 2y′+ 2y =ex (2cosx − 4xsinx)

y = x2ex cosx + ex (C1cosx + C2sinx)

y = xex cosx

+ C ex + C

e−x

y = ex (cosx + C cosx + C

sinx)

4. y = e x (x2 + C1e x + C2 e−x )

Решить систему дифференциальных уравнений:

x = 3C1et −3C2et , y = 3C1e0,5t

−3C2e−0,25t

x′= −x +8y

x = C

e−3t , y = 0,5C −0,25C

e−3t

y′= x + y

x = 3C1 −3C2et , y = 3C1 −3C2e−0,25t

4. x = C e3t

e−3t

, y = 0,5C e3t

−0,25C

e−3t

10.

Определить характер точки покоя системы:

1. вырожденное седло

x′ = x + y

2. устойчивый врожденный узел

3. центр

y′ = −10x − y

4. неустойчивый фокус

ВАРИАНТ 4

№

Условие

Варианты ответа

п/п

Определить тип дифференциального уравнения

1. с разделяющимися переменными

(ДУ) 1-го порядка, не решая его:

2. однородное

y′ = ex−y

3. линейное

4. Бернулли

в полных дифференциалах

Записать

уравнение кривой, проходящей через

y = 4e

6x+12

y = 4e

точку А(-2; 4), если известно, что угловой

коэффициент касательной в любой ее точке

y = 6e4x+12

равняется ординате этой точки, увеличенной в 6

раз

Найти общее решение дифференциального

y =1/ cos x3

C −cos x

уравнения:

y′= y4 cos x + ytgx

y =1/ cos x3

C −tgx

y = cos x3

C −tgx

y = cos x3

C −cos x

Найти частное решение однородного линейного

y = 2x −1

y = 2x +e2x −1

дифференциального уравнения:

y = ex +e2x −1

4. y = e2x −1

y′′′−4y′ = 0 ,

′

′′

y(0)= 0, y (0)= 2, y (0)= 4

Определить сколько решений имеет задача Коши:

0 – нет решений

y′′+ 1 y′

−

y =

0, y(0)= 0, y′(0)=1, y′′(0)= −1

1 – одно решение

∞ – бесчисленное множество решений

Найти

общее

решение дифференциального

y =C1 sin x −C2 x −0,5sin 2x

уравнения,

допускающего понижение порядка:

y = −x −0,5sin 2x +C

′′

′

+ y tgx =sin 2x

y = −0,5C1 sin 2x +C2

y =C1 sin x − x −0,5sin 2x +C2

Определить вид частного решения линейного

Asin 2x

неоднородного ДУ, не решая его:

x(Asin 2x + B cos 2x)

y′′+ y′− 2y = 8sin 2x

Asin 2x + B cos 2x

(Asin 2x + B cos 2x)e−2x

Решить ДУ:

y'' −9y' + 20y = x2e4x

y =C1 cos 4x + C2 sin 5x + (x3 3 − x + 2)e4x

2. y =C1e5x + C2e4x −

(x3 3 + x2 + 2x)e4x

3. y =C1e5x + C2e4x +

(x3 3 + x + 2)e4x

y =C cos 5x + C

sin 4x + x3 −1 2 x2 + x +1

Решить систему дифференциальных уравнений:

x = C1e−3t

+C2et , y =1/ 3C1e−3t

−C2et

x′

= −2x −3y

2. x = C e−3t

, y =1/ 3C e−3t −C

y′= −x

3. x = −3C1et +C2et , y = −3C1e1/ 3t +C2e−t

4. x = C e−3t

et , y =1/ 3C e−3t

−C

10.

Определить характер точки покоя системы:

1. вырожденное седло

x′

=5x −3y

2. неустойчивый узел

3. центр

y′ = x + y

4. неустойчивый фокус

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.43 Mб0Маркетинг и ценообразование.pdf
#
24.11.2025706.66 Кб0Маркетинг персонала.pdf
#
24.11.20252.35 Mб0Маркетинг.pdf
#
24.11.2025982.26 Кб0Маркетинговые исследования рынка.pdf
#
24.11.20251.16 Mб0Маркшейдерские работы при разведке и добыче полезных ископаемых.pdf
#
24.11.20251.35 Mб1Математика в 4 ч. Ч. 4. Дифференциальные уравнения и системы. Ряды.pdf
#
24.11.20252.01 Mб0Математика в примерах и задачах. В 10 ч. Ч. 1. Элементы линейной алгебры.pdf
#
24.11.20253.2 Mб0Математика для первокурсника. Повторение курса средней школы.pdf
#
24.11.20252.24 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.17 Mб0Математика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.2025980.98 Кб0Математика. В 2 ч. Ч.1.pdf