Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (IV семестр).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

987.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

2. Непрерывные случайные величины

a). Равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], åñëè

åå плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке, а вне его равна нулю. Обозначим постоянную через C и найдем ее пользуясь свойством 1) плотности (Ÿ5):

+∞

−

∫

p(x)dx = ∫

Cdx = Cx a = C(b − a) = 1 = C =

b a

−∞

Следовательно,

, x [a, b];

p(x) =

−

Найдем функцию распределения

0, x / [a, b].

этой случайной величины, использовав формулу (4) èç

параграфа 5. Очевидно, что F (x) = 0 ïðè x < a. Åñëè x [a, b], òî

F (x) = ∫

1 az a =

b a dz = b

−a .

Наконец, если x > b, òî

−

F (x) = F (b) + ∫x 0 dz = 1 + 0 = 1.

Таким образом,

x < a;

−

F (x) =

x − a

, x

[a, b];

Для любого отрезка [c, d]

[a, b]

x > b.

d − a

c − a

d − c

P (c

≤

d) = F (d)

−

F (c) =

−

a − b

−

Значит, вероятность попадания

равномерно распределенной случайной величины на любой

промежуток, расположенный на отрезке [a, b], пропорциональна длине этого промежутка .

Найдем числовые характеристики

равномерного распределения, пользуясь соответствую-

щими формулами предыдущего параграфа.

+ b

M(X) = ∫

a =

x · b a dx = 2(bx

2(b−

a) = a

2 .

Стало быть,

−

M(X) = a +2 b,

ò. å. среднее значение для равномерного распределения совпадает с серединой отрезка , íà êî-

тором оно задано.

Для вычисления дисперсии найдем предварительно M(X2) :

a2 + ab + b2

M(X2) = ∫

a =

x2 · b a dx = 3(bx

3(b−

a) =

Тогда

−

D(X) = M(X2)

(X) =

+ ab + b2

a + b

2 =

(b − a)2

−

− (

)

Таким образом, для равномерного распределения

D(X) =	(b − a)2	, σ(X) =	b − a	.

	12		2√3

Ìîäà этой случайной величины совпадает, очевидно, с любой точкой отрезка [a, b], à медиана

с серединой этого отрезка.

Замечание. Равномерное распределение используется в тех вероятностных экспериментах, где генерируемая случайная величина принимает равновозможные значения в некотором про-

межутке числовой оси.

Пример 1. Интервал движения автобуса 20 минут. Время прихода пассажира на оста-

новку равновозможно любое. Найти распределение и числовые характеристики случайной величины X случайного времени ожидания пассажиром автобуса.

Решение. По условию задачи здесь уместно использовать геометрическую вероятность (Ÿ2). Тогда для любого x [0, 20] вероятность того, что время ожидания окажется меньшим x

равна	x
P (X < x) =		.
	20

Следовательно, для этой случайной величины функция распределения

F (x) =	x0,,	x < 0;
F (x) =	x0,,	x [0, 20];


	20

1, x > 20

является линейной, поэтому плотность распределения вероятностей равна

	1
p(x) = F ′(x) =		, x [0, 20];
p(x) = F ′(x) =	20	, x [0, 20];

0, x / [0, 20],

ò.е. случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [0, 20]. Тогда по приведенным выше формулам

	202		100	10
M(X) = 10; D(X) =		=		; σ(X) = √		; Mo(X) = x, x [0, 20]; Me(X) = 10.
	12		3
					3

b). Экспоненциальное распределение.

Непрерывное распределение называется экспоненциальным èëè показательным, åñëè åãî

плотность распределения вероятностей экспоненциально убывает на положительной полуоси ,
т. е. задается выражением	{
	{
p(x) =	µe−λx, x ≥ 0;
	0, x < 0,

ãäå λ è µ положительные числа. Найдем зависимость между λ è µ, пользуясь свойством 1) плотности (Ÿ5):

+∞

∫

p(x)dx = ∫

µe−λx dx =

∫

e−λx d(−λx) =

−

−∞

λx

+∞

lim

e λx

µ(0

1) = µ = 1.

µ e

Отсюда µ = λ и, таким образом,

при фиксированном положительном λ экспоненциальное

−

(x→+∞

−

)

−

распределение имеет плотность

λe−λx,

x ≥ 0;

p(x) = {

0, x < 0,

математи-

Для экспоненциального распределения используется обозначение Ex(λ). Среди многочисленных приложений экпоненциального распределения отметим его применение в

ческой теории надежности.
Отыщем выражение для функции распределения					данной случайной величины. Ясно, что
F (x) = 0 ïðè x < 0. Åñëè æå x ≥ 0, òî
x	x						x
0	0						x
F (x) = ∫	λe−λz dz = − ∫	e−λz d(−λz) = − e−λz						= 1 − e−λx.
F (x) = ∫	λe−λz dz = − ∫	e−λz d(−λz) = − e−λz				0		= 1 − e−λx.
Значит,	F (x) = {			e−λx,	x ≥ 0;
		1	−	e−λx,	x ≥ 0;
			−	0, x < 0.

Займемся числовыми характеристиками экспоненциального распределения. Интегрируя по частям и применяя правило Лопиталя, получим:

+∞

M(Ex(λ)) = ∫

x · λe−λxdx = −

∫

xd(e−λx) = − xe−λx

0 ∞

+ ∫

e−λxdx =

= lim

λx

1 e

λx

lim

λx 1 =

∞

lim

− x→+∞

− − −

−

= − x→+∞

−

(x→+∞ − − )

eλx

x′

lim

1) =

lim

= 0 +

(eλx)′

− λ

− x→+∞

−

− x→+∞ λeλx

λ λ

Èòàê, среднее значение

данной случайной величины равно

M(Ex(λ)) =

Аналогично найдем и дисперсию.

+∞

M(Ex2(λ)) = ∫

x2 · λe−λxdx = − ∫ x2d(e−λx) = − x2e−λx

∞

+ ∫ e−λxdx2 =

lim

x2e

λx

0 +

∞

λxdx =

lim

∞

λx

−

2 ∫0

xe−

∫0

x · λe−

= − x→+∞

−

− x→+∞ eλx +

dx =

lim

(x2)′

lim

λeλx

λ2

− x→+∞ (eλx)′ + λM(X) = − x→+∞

lim

(2x)′

lim

= 0 +

λ2

Значит,

− x→+∞ (λeλx)′

= − x→+∞ λ2eλx

λ2

D(Ex(λ)) = M(Ex2

(λ)) − M2(Ex(λ)) =

−

λ2

Следовательно, для экспоненциального распределения

D(Ex(λ)) =

, σ(Ex(λ)) =

λ2

Очевидно, плотность данного распределения достигает максимума, равного λ ïðè x = 0. Поэтому

Mo(Ex(λ)) = 0.

Медиана является корнем уравнения F (x) = 1/2. Значит,

1 − e−λx = 12 = e−λx = 12 = x = lnλ2,

ò. å.

Me(Ex(λ)) = lnλ2.

Пример 2.

Время безотказной работы прибора бытовой радиоэлектроники имеет экспоненциальное распределение. Наработка на отказ, т. е. среднее время безотказной работы прибора, составляет пять лет. Найти вероятность того, что до отказа прибор проработает от четырех до семи лет.

Решение. Обозначим время безотказной работы прибора через T. По условию M(T ) = 5. С другой стороны, T = Ex(λ) и, значит, M(T ) = 1/λ. Следовательно, λ = 1/5 и функция распределения случайной величины T имеет вид

F (t) =	1		e−5t ,	t ≥ 0;
{		−	0,	t < 0.

Тогда искомая вероятность равна

P (4 ≤ T ≤ 7) = F (7) − F (4) = 1 − e−75 − (1 − e−45 ) = e−45 − e−75 ≈ 0,2027.

c). Нормальное распределение.

Непрерывная случайная величина с плотностью распределения вероятностей

(x−m)2

p(x) = Ae− 2 2 , x R,

ãäå m действительное число, A è σ положительные числа, называется нормальным распределением èëè распределением Гаусса. Найдем выражение для постоянной A при фиксированных m è σ. Для этого выполним в интеграле

+∞					+∞			(x−m)2
∫	p(x)dx = A ∫ e−									dx
								2 2
−∞					−∞
замену переменной					x − m
		z =				.			(1)
					σ
Тогда, учитывая, что x = σz + m, dx = σdz, мы получим
+∞					+∞				2
∫	p(x)dx = Aσ ∫ e−z2 dz.
−∞					−∞
Â главе X, Ÿ2 мы нашли значение интеграла Пуассона									(формула (19)), из которого следует,
÷òî	+∞

	∫	e−	x2	dx = √
							2π.		(2)
			2

−∞

Значит, по известному свойству плотности распределения вероятностей

∫+∞ √ p(x)dx = Aσ 2π = 1,

−∞

откуда

A = √ . σ 2π

Таким образом, плотность распределения вероятностей нормального распределения представляет собой функцию

	1		e−	(x−m)2
p(x) =	σ√			2 2	, x R,	(3)
		2π

зависящую от двух действительных параметров m è σ > 0.

Для нормального распределения используется обозначение N(m, σ).

Функция распределения этой случайной величины представляет собой несобственный инте-

ãðàë	x				x
			1				(z−m)2
	F (x) = ∫				∫	e−
		p(z)dz =	σ√				2 2	dz,
				2π
	−∞				−∞

который не выражается через элементарные функции.

Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и

ее приложениях. Эта роль обусловлена тем фактом, что помимо прямых его применений (например, в математической обработке результатов экспериментов), нормальное распределение

является предельным для многих других важных в приложениях распределений . Â ýòîì ìû

убедимся в следующем параграфе, где будем изучать предельные теоремы теории вероятностей.

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой èëè кривой Гаусса. Èç выражения (3) для плотности следует, что нормальная кривая симметрична относи-

тельно прямой x = m, достигает максимума в точке m, равного	1		, и выглядит следующим
	σ√
		2π

образом:

	PHXL
	1
Σ	2 Π
	O	M	X
	O	M

Найдем числовые характеристики нормального распределения. Для вычисления его среднего значения в интеграле

+∞		1		+∞		(x−m)2
M(N(m, σ)) = ∫	xp(x)dx =	σ√		∫	xe−		dx
						2 2
			2π
−∞				−∞

мы проведем подстановку (1). В результате получим:

+∞

M(N(m, σ)) =

σ√

∫

(σz + m)e−

2 σdz =

√

σ ∫

ze−

2 dz + m

∫

e−

2 dz .

2π

−∞

Тогда, учитывая, что

+∞

−∞

∫

ze−

dz = − ∫

e−

d (− 2 )

−

− z→+∞

−

z→−∞

−

= 0

0 = 0

lim

и, принимая во внимание (2), мы находим:

−∞

M(N(m, σ)) =

√2π (0 + m√2π)

= m,

Следовательно,

M(N(m, σ)) = m,

ò. å. параметр m нормального распределения представляет собой его математическое ожи-

дание.

Найдем дисперсию данного распределения.

+∞	1		+∞	(x−m)2
D(N(m, σ)) = ∫ (x − m)2p(x)dx =	σ√		∫ (x − m)2e−		dx.
				2 2
		2π

−∞

Выполним подстановку (1) в правой части последнего равенства, затем проинтегрируем по частям и воспользуемся соотношением (2) è правилом Лопиталя:

+∞

σ2

+∞

σ2

+∞

(e−

) =

D(N(m, σ)) =

σ√

∫

σ2z2e− 2 σdz =

√

∫ z2e−

2 dz = −

√

∫

2π

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

√2π

−∞

lim

ze 2

−√2π

−

− ∫

−

−√2π (2 z→+∞

− −

)

2 lim

σ2

z2′

√

σ2

√

σ2

√

= σ2.

2π

2 lim

2π

−√2π

z→+∞

′

−

√2π

(z→+∞ ze

−

)

−√2π (

−

)

(

)

Значит,

D(N(m, σ)) = σ2, σ(N(m, σ)) = σ

и, таким образом, параметр σ нормального распределения является его средним квадратич-

ным отклонением.

Из симметрии нормальной кривой относительно прямой x = m следует, что мода и медиана нормального распределения совпадают с его математическим ожиданием m.

Для того, чтобы иметь возможность эффективно вычислять вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на промежуток числовой оси, рассмотрим функ-

öèþ			x

1			∫0	e−	z2
Φ(x) =	√				2 dz, x R,
		2π

которая называется функцией Лапласа. Альтернативные названия:

функция ошибок. Перечислим ее свойства.

1). Функция Лапласа является возрастающей.

Это следует из того, что при всех действительных x Φ′(x) =

√2π

2). Функция Лапласа нечетна.

В самом деле,

−x

z = s, dz =

−

ds,

−

Φ(−x) = √

e− 2 dz =

= −√

∫

2π ∫

2π

z = x = s = x

3). x lim Φ(x) = ±

→±∞

интеграл вероятностей ,

e−x22 > 0.

e−s2 ds = −Φ(x).

Действительно, из (2) ввиду четности подынтегральной функции следует, что

0				+∞				√
		x2				x2			2π
∫	e−		dx =	∫	e−		dx =			.
		2				2
								2
−∞				0

Поэтому		· (±	√		)

lim Φ(x) =	1			2π		=		1	.
	1			2π				1

x→±∞	√2π		2				±	2

Значения функции Лапласа берутся из таблиц, которые можно найти в любом учебнике по теории вероятностей и математической статистике. Любая современная программа компьютерной математики имеет функцию Лапласа в качестве встроенной. Например, в программе

Mathematica функция ошибок имеет синтаксис Erf[z] и задается выражением

			z
2			∫	2
erf(z) =	√			e−t dt.
		π

Поэтому, чтобы использовать определенную нами функцию Лапласа в этой программе, мы должны переопределить в ней функцию ошибок, написав следующий код:

	1	Erf [	x		].
Φ[x_] :=			√
	2
				2

Найдем, используя функцию Лапласа, вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X на отрезок [a, b]. Ïî формуле (5), Ÿ5

	1		∫a	e−	(x−m)2
P (a ≤ X ≤ b) =	σ√				2 2	dx.
		2π

Проведем в интеграле все ту же замену переменной (1). В результате, учитывая, что эта замена

[

]

преобразует отрезок [a, b]

в отрезок

− m

b − m

, мы получим:

b−m

dz =

P (a X b) =

e−z2 σdz =

dz +

e−z2

a ∫m

∫

≤ ≤

σ√

√

b m

2π

a m

2π

−

dz = Φ b − m

Φ a − m .

√

∫0

−

√

∫0

−

(

) −

(

)

2π

Таким образом,

≤

(

)

−

(

)

P (a

b) = Φ

b − m

− m

(4)

Найдем, пользуясь формулой (4), вероятность модуля отклонения нормально распределен-

ной случайной величины относительно ее среднего значения

m на заданную величину ε > 0.

(m + ε)

ε)

P (|X − m| < ε) = P (m

− ε < X < m + ε) = Φ (

−

) − Φ (

(m −

−

) =

= Φ (

)

− Φ (−

)

= Φ (

) + Φ

(

) = 2Φ (

Стало быть,

(5)

Èç (5) ïðè ε = 3σ следует, что P (|X − m| < ε) = 2Φ (σ ).

P (|X − m| < 3σ) = 2Φ(3) = 0,9973.

Тем самым мы получили так называемое правило трех σ : практически все значения нормально распределенной случайной величины заключены в интервале (m −3σ, m + 3σ), симметрич-

ном относительно среднего значения.

Пример 3. Систематическая ошибка удержания высоты самолетом равна +20м, а слу- чайная ошибка нормально распределена и имеет среднее квадратичное отклонение 75м. Для полета самолету отведен коридор высотой 100м. Чему равны вероятности того, что само-

лет будет лететь ниже, внутри и выше коридора, если самолету задана высота, соответствующая середине коридора?

Решение. Возьмем за начало отсчета середину коридора. По условию случайная ошибка X удержания высоты самолетом имеет нормальное распределение N(20, 75). Тогда по формуле

(4) вероятность того, что самолет будет лететь внутри отведенного ему коридора , равна

P (

−

≤

50) = Φ

50 − 20

) −

−50 − 20

(

)

= Φ (

) + Φ

(

) = 0,155422 + 0,324676 ≈ 0,4800.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025564.19 Кб0Лагiстыка.pdf
#
24.11.20252.38 Mб1Лексические и грамматические аспекты перевода технических текстов.pdf
#
24.11.20253.27 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (I семестр).pdf
#
24.11.20252.56 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf
#
24.11.202517.87 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (III семестр).pdf
#
24.11.2025987.88 Кб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (IV семестр).pdf
#
24.11.20251.25 Mб0Литейные сплавы.pdf
#
24.11.2025816.49 Кб0Логика пособие.pdf
#
24.11.20251.06 Mб0Логика специализированный модуль Философия.pdf
#
24.11.20255.34 Mб1Логика. Практикум.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Логика.pdf