1. Дискретные случайные величины

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (IV семестр).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

987.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Запишем плотности условных распределений по формулам (11) и (12):

−

2(3

− x −

2y)

(x, y)

([0, 1], [0, 1]);

pX (x y) =

5 4y

(x, y) / ([0, 1], [0, 1]);

−

(x, y)

([0, 1], [0, 1]);

pY (y

x) =

2 − x

(x, y) / ([0, 1], [0, 1]).

Тогда по формулам (13) ïðè

[0, 1]

2(3 − x − 2y)

M(X

Y = y) =

dx =

(3x

2xy)dx =

∫0

5 − 4y

∫0

−

3x2

3 1

(

−

− x2y) 0

(

−

− y)

−

3(5

4y)

6(4y

Значит, уравнение регрессии случайной

величины

X имеет вид:

−

x =

, y [0, 1].

6(4y

−

Аналогично, при x [0, 1]

3 − x − 2y

M(Y

X = x) = y

dy =

(3y

2y2)dy =

2 − x ∫0

∫0

2 − x

−

и, тем самым,

3y2

xy2

2y3

−

3 x 2

−

(

)

1 x (

6(x

2 − x

− 2 −

−

2 −

3) =

6(2−

, x [0, 1]

y =

6(x

−

уравнение регрессии случайной величины Y. Таким образом, линии регрессии этих случайных

величин являются дугами гипербол на отрезке [0, 1] :

1.0

X=M HX ÈY =YL

0.8

0.6

0.4

Y=M HY ÈX =XL

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Ÿ7. Некоторые часто встречающиеся в теории вероятностей и ее приложениях распределения случайных величин и их числовые характеристики

Рассмотрим сначала

дущего параграфа.

M(IA) = 0 · q + 1 · p = p, D(IA) = 02 · q + 12 · p − p2 = p − p2 = pq, σ(IA) =

Стало быть, для индикатора

M(IA) = p, D(IA) = pq, σ(IA) =

a). Распределение индикатора.

Индикатором IA события A называется случайная величина, которая принимает значение 1 с вероятностью p = P (A) > 0, если событие произошло и значение 0 с вероятностью q = 1−p, если событие не произошло. Таким образом, индикатор имеет распределение

xk	0	1	.
pk			.
pk	q	p

Найдем его среднее значение è дисперсию ïî формулам (1), пункт 1 и (4), пункт 2 преды-

Мода индикатора равна его значению, для которого достигается максимум вероятностей p è q. Следовательно,

									1
								1
		Mo(IA) =						0, p ≤ 2;
2	мода принимает
2
Таким образом, при p = 1								1, p ≥	2	.
Таким образом, при p = 1						два значения.
Найдем медиану индикатора. Для него функция распределения равна
							0,	≤
							0,	x ≤ 0;
		F (x) =			q, 0 < x 1;
				ïðè			1,	x > 1.
							1,	x > 1.
Значит, F (+0) = q и поскольку q		≥	1		p		1	, то по определению медианы
		≥	2		≤ 2			1
								1

								1
		Me(IA) =						0, p ≤ 2;
								2

								1, p >		.

b). Схема Бернулли (биномиальное распределение ).

Пусть в одинаковых условиях проводится серия из n вероятностных экспериментов, в каждом из которых некоторое событие A может произойти с одной и той же вероятностью p = P (A) > 0. Все эксперименты серии мы будем считать независимыми, т. е. исход каждого из них не зависит от исходов всех предыдущих. Рассмотрим случайную величину X,

равную числу экспериментов, в которых событие A произошло. Распределение этой случайной величины мы и назовем схемой Бернулли или биномиальным распределением . Для схемы Бернулли иногда используется обозначение B(n, p). Очевидно, схему Бернулли мы можем

рассматривать как сумму n независимых одинаково распределенных индикаторов IA.

Ясно, что в схеме Бернулли случайная величина принимает целые неотрицательные зна- чения 0, 1, . . . , n. Найдем вероятность для каждого значения k из этого диапазона, которую

мы обозначим через Pn(k). Åñëè X = k, то в данной серии экспериментов событие A произо-

øëî k ðàç è n − k раз не произошло. Всего существует Cnk таких возможных и исключающих

друг друга комбинаций и вероятность реализации каждой из них ввиду независимости экспериментов серии равна pkqn−k, ãäå q = 1 − p. Тогда по третьей аксиоме теории вероятностей

(Ÿ2)

Pn(k) = Cnkpkqn−k, k = 0, 1, . . . , n.	(2)
Равенство (2) называется формулой Бернулли. Следует заметить, что	она не всегда удобна

для вычисления вероятностей, особенно при больших n и малых p. Ниже мы найдем более

удобную формулу для приближенного вычисления

вероятностей в схеме Бернулли. Запишем

биномиальное распределение в таблицу:

. . .

Cn1pqn−1

. . .

Cnkpk qn−k

. . .

pn .

Найдем математическое ожидание

и дисперсию для схемы Бернулли. Проще всего это

сделать, если представить ее, как указывалось выше, в виде суммы n независимых одинако-

во распределенных индикаторов IA. Тогда по формулам (1) и свойствам 3) математического ожидания è дисперсии (Ÿ6)

M(X) = np, D(X) = npq, σ(X) = √		(3)
	npq.

достигается при единственном значении

k, заключенном между числами

Вычислим моду схемы Бернулли. По формуле Бернулли

Pn(k + 1)

k+1

−

n·(n−1)·...·(n−k)

= n − k

−

(k+1)!

(k)

Ckpkqn

−

n (n

...

k+1)

k + 1

−

Тогда Pn(k + 1) > Pn(k) ïðè (n − k)p > (k + 1)q k < np − q, Pn(k + 1) < Pn(k), åñëè k > np − q è Pn(k + 1) = Pn(k) ïðè k = np − q. Значит, если число np − q нецелое, то максимум вероятностей Pn(k)

np − q è np − q + 1 = np + p. Если же число np − q целое, то указанный максимум достигается при k = np − q è k = np + p. Таким образом, мода схемы Бернулли находится по формуле1

[np + p],			np	q / Z;
Mo(X) = { np	−	q èëè np + p,	np	− q	Z.	(4)
	−			−

Из формул (3) и (4) следует, что ìîäà, ò. å. наиболее вероятное значение, располагается â

непосредственной близости от среднего значения M(X) = np.

Получить простое выражение для медианы схемы Бернулли не представляется возможным. Ее следует вычислять по определению, складывая вероятности возможных значений.

Пример 1. Стрелок производит серию независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и больше 0,5. Известно, что вероятность одного

попадания при двух выстрелах равна 0,42. Найти наиболее вероятное число попаданий при

шести выстрелах и соответствующую ему вероятность.

Решение. Ясно, что случайная величина X, равная числу попаданий после любого числа вы-

стрелов распределена по схеме Бернулли. Найдем вероятность p попадания при одном выстре-

ле, пользуясь тем, что по условию P2(1) = 0,42. Ïî формуле Бернулли P2(1) = C21pq = 2p(1−p) и, значит, искомая вероятность находится из уравнения 2p(1 − p) = 0,42 p2 − p + 0,21 = 0.

Его корнями являются числа 0,3 è 0,7. По условию задачи p > 0,5, следовательно, p = 0,7. Наиболее вероятное число попаданий при шести выстрелах мы найдем по формуле (4):

Mo(X) = [6 · 0,7 + 0,7] = [4,9] = 4.

Тогда по формуле Бернулли

(4) = C4

0,74

0,32 =

6 · 5 · 4 · 3

0,74

0,32 = 15

0,74

0,32

= 0,324135.

c). Распределение Пуассона .

Рассмотрим схему Бернулли B(n, p), предполагая, что число n экспериментов серии может быть неограниченно большим, а среднее значение np сохраняет постоянное значение λ > 0.

Таким образом полученную случайную величину X мы и назовем распределением Пуассона . Здесь p = λ/n → 0 ïðè n → ∞, поэтому распределение Пуассона называют иногда законом

редких явлений.

Очевидно, возможными значениями распределения Пуассона являются все целые неотрицательные числа 0, 1, 2, . . . . Для каждого числа k из этого множества найдем соответствующую

ему вероятность, которую мы обозначим через P (k). Эту вероятность мы вычислим предельным переходом в формуле Бернулли при n → ∞, учитывая, что p = λ/n, q = 1 − λ/n :

lim P

(k) =

lim Ckpkqn

lim

. . .

k + 1) λ

n−k =

−

k! ·

−

(n)

− n)

P (k) = n→∞ n

n→∞

(

λk

lim

n − 1

. . .

n − k + 1

−k

− n)

(

− n)

n→∞ n

(

λk

λ n

λk

−n

−λ

λk

nlim

1 −

nlim (

(1 −

)

e−λ.

→∞

(

)

→∞

(

)

1Здесь, как и раньше, мы используем обозначение [ ] для целой части числа.

Тем самым мы получили следующую формулу Пуассона :

P (k) = λk e−λ, k = 0, 1, 2, . . . .

Она может служить для приближенного вычисления вероятностей в схеме Бернулли :

Pn(k) ≈ P (k), k = 0, 1, . . . , n.

В табличном представлении распределение Пуассона выглядит следующим образом:

xk	0	1			2	. . .		k		. . .	.
pk	e−λ	λe−λ		λ2	e−λ	. . .	λk		e−λ	. . .	.
pk	e−λ	λe−λ	2		e−λ	. . .	k!		e−λ	. . .
			2				k!

Математическое ожидание è дисперсию распределения Пуассона также проще всего полу- чить предельным переходом в формулах (3). Принимая во внимание то, что

lim npq =	lim λ		λ
lim npq =	lim λ	(1 − n) = λ,
n→∞	n→∞	(1 − n) = λ,

мы находим:	√λ.
M(X) = D(X) = λ, σ(X) =

Рассуждая точно так же, как и выше для схемы Бернулли, мы найдем формулу для вычис-

ления моды распределения Пуассона :
Mo(X) = {	λ],		λ / Z;
Mo(X) = {	λ[	1 èëè λ,	λ	Z.
	−

Пример 2. На высокоточном производстве брак составляет 0,05%. Проводится контроль-

ная проверка тысячи изделий. Найти вероятность того, что среди изделий имеются бракованные, но их количество не превосходит трех.

Решение. Рассмотрим случайную величину X, равную числу бракованных изделий среди проверяемых. Она распределена по схеме Бернулли, в которой n = 1000, p = 0,0005. Тогда искомая вероятность равна

P (1 ≤ X ≤ 3) = P1000(1) + P1000(2) + P1000(3).

Ïî формуле Бернулли1

P1000(1) = C10001 · 0,0005 · 0,9995999 = 0,5 · 0,9995999 = 0,303379;

P1000(2) = C10002 · 0,00052 · 0,9995998 = 500 · 999 · 0,00052 · 0,9995998 = 0,0758068; P1000(3) = C10003 · 0,00053 · 0,9995997 = 500 · 333 · 998 · 0,00053 · 0,9995997 = 0,0126155.

Тогда

P (1 ≤ X ≤ 3) = 0,303379 + 0,0758068 + 0,0126155 = 0,391801.

Вычислим эту вероятность иначе. Здесь n велико, а p мало, поэтому мы можем использовать формулу Пуассона для вычисления вероятностей в схеме Бернулли:

									λ						1			1
	P1000(1)			≈ P (1) =							e−λ =						e−2 ,
									1!						2
									λ2						1						1
	P1000(2)			≈ P (2) =								e−λ =						e−			2 ,
									2!							8
									λ3						1						1
	P1000(3)			≈ P (3) =								e−λ =								e−2 .
									3!							48
Следовательно,
	1		e−	1	1		e−	1	1				e−	1				31			e−	1
P (1	≤ X ≤ 3) ≈			2	+			2 +						2 =								2 = 0,391718.
		2				8				48									48

Изучим теперь некоторые важные в приложениях

1Вычисления проведены в среде компьютерной алгебры Mathematica.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025564.19 Кб0Лагiстыка.pdf
#
24.11.20252.38 Mб1Лексические и грамматические аспекты перевода технических текстов.pdf
#
24.11.20253.27 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (I семестр).pdf
#
24.11.20252.56 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf
#
24.11.202517.87 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (III семестр).pdf
#
24.11.2025987.88 Кб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (IV семестр).pdf
#
24.11.20251.25 Mб0Литейные сплавы.pdf
#
24.11.2025816.49 Кб0Логика пособие.pdf
#
24.11.20251.06 Mб0Логика специализированный модуль Философия.pdf
#
24.11.20255.34 Mб1Логика. Практикум.pdf
#
24.11.20252.15 Mб0Логика.pdf