67

Найдем интеграл I, воспользовавшись методом интегрирования по частям (глава VII, Ÿ3, пункт 2) и правилом Лопиталя (глава V, Ÿ4):

Стало быть,

M(X) = −14 + 13 = 121 .

Мода этой случайной величины, как видно из выражения для плотности p(x), имеет два значе-

íèÿ Mo(X) = 0 è Mo(X) = 1. Что касается медианы, то, поскольку F (0) = 0,5, òî Me(X) = 0. Замечание. Как уже выше отмечалось в этом пункте, математическое ожидание можно рассматривать как момент случайной величины относительно начала x = 0. В теории вероятностей и ее приложениях используются и другие начальные моменты, а именно, начальным моментом порядка r, r N случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Xr при условии, что оно существует. Обозначим начальный момент

порядка r через µr. Тогда по определению

µr = M(Xr).

В частности, µ1 = M(X), т. е. начальный момент первого порядка совпадает со средним зна- чением случайной величины.

2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение

Всюду в этом пункте мы будем считать, ÷òî математические ожидания всех рассматри-

ваемых случайных величин и функций от них существуют .

Изучим характеристики рассеивания случайной величины относительно ее центра распре-

деления.

Определение 1. Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее центра называется дисперсией данной случайной величины и обозначается через

−∞

для непрерывной.

Получим, пользуясь свойствами 1) 3) математического ожидания (пункт 1), иногда более

удобную, чем (1), формулу для вычисления дисперсии.

D(X) = M (X2 − 2M(X)X + M2(X)) = M (X2) − 2M(X)M(X) + M (M2(X)) =

= M (X2) − 2M2(X) + M2(X) = M (X2) − M2(X).

Таким образом, дисперсию можно вычислить(åùå) и по формуле

D(X) = M X2 − M2(X)

68

и, значит, по формулам (3) и (4) пункта 1 для дискретной случайной величины

∑∞

−∞

Сформулируем и докажем основные свойства дисперсии.

Следствием формул (1) (3) является свойство

1). D(X) ≥ 0, причем D(X) = 0 X = C, ãäå C R, для дискретной случайной величины и X = C для непрерывной случайной величины, исключая, возможно, конечное число точек

на любом конечном промежутке числовой оси.

2). D(cX) = c2D(X), ãäå c R.

Это свойство следует из (1) è свойств 1) и 2) математического ожидания. 3). Åñëè X è Y дискретные или непрерывные случайные величины, то

D(X ± Y ) = D(X) ± 2M((X − M(X))(Y − M(Y ))) + D(Y ),

а для независимых случайных величин

D(X ± Y ) = D(X) + D(Y ).

Действительно, по формуле (1) è свойствам 2), 3) математического ожидания

D(X ± Y ) = M (X ± Y − M(X ± Y ))2 = M ((X − M(X)) ± (Y − M(Y )))2 =

Если случайные величины X è Y независимы, то независимы, очевидно, и случайные величи- ны X − M(X) è Y − M(Y ), следовательно, по свойству 4) математического ожидания

M((X−M(X))(Y −M(Y ))) = M(X−M(X))M(Y −M(Y )) = (M(X)−M(X))(M(Y )−M(Y )) = 0.

Поэтому,

D(X ± Y ) = D(X) + D(Y ).

Определение 2. Средним квадратичным отклонением случайной величины X называется

число, которое обозначается через σ(X) èëè σX и вычисляется по формуле

√

σ(X) = D(X),

т.е. среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии случайной ве-

личины.

Пример 1. В урне находятся пять шаров два белых и три черных. Наугад извлечены два шара. Пусть X случайная величина, равная числу белых шаров среди извлеченных. Найти

среднее квадратичное отклонение этой случайной величины.

Решение. Данная случайная величина принимает три значения: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2. Ñî-

ответствующие им вероятности мы найдем по формуле классической вероятности, учитывая, что здесь элементарными исходами являются различные пары шаров из пяти, имеющихся в урне. Количество таких пар равно

Таким образом, дискретная случайная величина X имеет распределение

69

Ее среднее значение мы найдем по формуле (1) предыдущего пункта:

M(X) = 0 · 0,3 + 1 · 0,6 + 2 · 0,1 = 0,8.

Для вычисления дисперсии используем формулу (4):

D(X) = 02 · 0,3 + 12 · 0,6 + 22 · 0,1 − 0,82 = 1 − 0,64 = 0,36.

Следовательно, √

σ(X) = 0,36 = 0,6.

Пример 2. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид :

дисперсию этой случайной величины.

Решение. Постоянные a è d мы найдем, пользуясь свойством 1) функции распределения (Ÿ5).

lim F (x) = lim a = a = 0, lim F (x) = lim d = d = 1.

Таким образом, a = 0, d = 1. Функция распределения должна быть везде непрерывна. Обеспечим ее непрерывность в точках x = 1 è x = e, т. е. там, где меняется ее аналитическое представление. В точке x = 1 :

Математическое ожидание этой случайной величины мы вычислим по формуле (2) предыдущего пункта, применив метод интегрирования по частям:

71

Åñëè æå X è Y непрерывные случайные величины è p(x, y) плотность распределения вероятностей случайного вектора (X, Y ), òî

−∞ −∞

Изучим свойства ковариации.

1). Для любого действительного числа c

cov(cX, Y ) = cov(X, cY ) = c cov(X, Y ).

Это следует из формулы (1) è свойства 2) математического ожидания. 2). Для случайных величин X, Y, Z с одинаковым типом распределения

cov(X + Y, Z) = cov(X, Z) + cov(Y, Z).

Проверим это свойство, использовав формулу (2) è свойство 3) математического ожидания:

cov(X + Y, Z) = m(X+Y )Z − mX+Y mZ = mXZ + mY Z − (mX mZ + mY mZ) =

= (mXZ − mX mZ) + (mY Z − mY mZ) = cov(X, Z) + cov(Y, Z).

3). Если случайные величины X è Y независимы, то cov(X, Y ) = 0.

Действительно, в этом случае по формуле (2) è свойству 4) математического ожидания cov(X, Y ) = mXY − mX mY = mX mY − mX mY = 0.

4). Абсолютная величина ковариации случайных величин X è Y не превышает произведения их средних квадратичных отклонений :

| cov(X, Y )| ≤ σX σY .

Для доказательства применим свойство 3) дисперсии (пункт 2) к случайной величине

Y − λX,

ãäå λ произвольное действительное число:

D(Y − λX) = D(Y ) − 2M((Y − M(Y ))(λX − M(λX))) + D(λX).

Отсюда, использовав свойство 2) математического ожидания è дисперсии, мы находим:

D(Y − λX) = D(Y ) − 2λM((Y − M(Y ))(X − M(X))) + λ2D(X) = = D(Y ) − 2λ cov(X, Y ) + λ2D(X) = σY2 − 2λ cov(X, Y ) + λ2σX2 .

Дисперсия неотрицательна, следовательно, при любом действительном λ

что возможно лишь тогда, когда дискриминант квадратного уравнения

σY2 − 2λ cov(X, Y ) + λ2σX2 = 0

неположителен. Следовательно,

4 cov2(X, Y ) − 4σX2 σY2 ≤ 0 | cov(X, Y )| ≤ σX σY .

Из свойства 3) ковариации следует, что, åñëè cov(X, Y ) ̸=,0то случайные величины X è Y

зависимы. Для выяснения степени линейной зависимости между случайными величинами, введем еще одну характеристику, которая выражается через ковариацию.

Определение 2. Коэффициентом корреляции случайных величин X è Y, каждая из которых не является постоянной, называется число, которое обозначается через ρ(X, Y ) è

вычисляется по формуле

ρ(X, Y ) = cov(X, Y ). σX σY

72

Установим свойства коэффициента корреляции.

1). |ρ(X, Y )| ≤ 1.

Это неравенство следует из определения коэффициента корреляции и свойства 4) ковариации.

2). Для независимых случайных величин X è Y ρ(X, Y ) = 0.

Это следствие свойства 3) ковариации.

3). Между случайными величинами X è Y существует линейная зависимость тогда и только тогда, когда

Докажем это свойство. Пусть сначала случайные величины линейно связаны равенством

Y = kX + b, k, b R.

Ввиду (6) неравенство

D(Y − λX) = σY2 − 2λ cov(X, Y ) + λ2σX2 ≥ 0

выполняется при всех действительных λ. Ïî свойству 1) дисперсии D(Y − kX) = D(b) = 0. Значит, число k является корнем уравнения

следовательно, его дискриминант равен нулю, т. е.

4 cov2(X, Y ) − 4σX2 σY2 = 0,

что равносильно равенству (7).

Обратно, пусть выполняется равенство (7). Тогда дискриминант квадратного уравнения

(8) равен нулю и для его единственного корня λ = k мы имеем D(Y − kX) = 0. Тогда по свойству 1) дисперсии Y − kX = b, b R Y = kX + b. Ñ â î é ñ ò â î 4) ä î ê à ç à í î.

Найдем величины k è b линейной зависимости в случае (7). Коэффициент k является корнем уравнения (8), в котором cov(X, Y ) = ±σX σY . Тогда из (8)

k = ±σY . σX

Òàê êàê b = Y −kX, òî M(b) = M(Y −kX) è ïî свойствам 1) 3) математического ожидания b = mY −kmX . Следовательно, если выполняется условие (7), то между случайными величинами X è Y существует линейная зависимость

Y = ±σY (X − mX ) + mY . σX

В первой урне находятся два белых шара и три черных, во второй два белых и два черных шара. Выбрасывается игральная кость. Если число выпавших очков нечетно, то из первой урны наудачу извлекаются два шара, если четно, то два шара извлекаются из второй урны. Рассмотрим случайные величины X индикатор четности выпавших очков,

ò.å. X = 1, если число выпавших очков четно, и X = 0, если оно нечетно и Y число белых

шаров среди двух извлеченных из урны. Найти коэффициент корреляции этих случайных величин.

Решение. Найдем распределение дискретного случайного вектора (X, Y ). Случайная вели- чина X принимает два значения x1 = 0, x2 = 1, а случайная величина Y три значения

y1 = 0, y2 = 1, y3 = 2. Найдем вероятности значений случайного вектора, пользуясь теоремой умножения вероятностей (Ÿ3).

73

Запишем найденное распределение в таблицу:

Вычислим вероятности возможных значений случайных величин X è Y. Очевидно,

1 p1· = p2· = 2,

à ïî формуле (13) предыдущего параграфа

Таким образом, данные случайные величины имеют распределения:

Вычислим их средние значения и средние квадратичные отклонения, пользуясь формулой (1) пункта 1 и формулой (4) пункта 2.

Пример 2. Найти ковариацию непрерывных случайных величин из примера 4 предыдущего