63

позволяют находить их средние значения и величины их средних отклонений от средних зна-

чений.

Всюду ниже в данном параграфе мы будем считать, что дискретная случайная величина задана таблицей

а непрерывная плотностью распределения вероятностей p(x).

1. Математическое ожидание и его свойства. Мода, медиана

Пусть X дискретная èëè непрерывная случайная величина. Изучим характеристики по-

ложения случайной величины на числовой оси.

Математическим ожиданием (средним значением или центром распревеличины X называется число, которое обозначается через M(X) èëè

mX и вычисляется для дискретной случайной величины по формуле

∑∞

Поясним это понятие на примере дискретной случайной величины с конечным множеством различных значений {x1, x2, . . . , xr}. Предположим, что мы повторили n раз в одинаковых

условиях и независимо друг от друга наш вероятностный эксперимент и пусть при этом слу- чайная величина приняла свои значения, которые называются наблюдаемыми, ñ частотами, указанными в нижней строке таблицы

Обозначим среднее арифметическое наблюдаемых значений через x¯. Тогда

Ïî теореме Бернулли, которую мы рассмотрим ниже в Ÿ8, пункт 1, при большом n величины

mnk , k = 1, r, которые называются относительными частотами значений случайной величи- ны, с боëüшой вероятностью сколь угодно мало отличаются от соответствующих вероятностей

pk, k = 1, r. Следовательно,

∑r

x¯ ≈ xkpk = mX .

k=1

Таким образом, при большом числе повторений вероятностного эксперимента математи- ческое ожидание случайной величины приближенно равно среднему арифметическому ее на-

блюдаемых значений.

Найдем математическое ожидание функции случайной величины , т. е. случайной величины f(X), ãäå f(x) определенная на всей действительной оси функция.

Åñëè X дискретная случайная величина, òî f(X), очевидно, имеет распределение

64

k=1

åñëè ряд в правой части равенства (3) абсолютно сходится.

Пусть теперь X è f(X) непрерывные случайные величины. Как уже отмечалась в предыдущем параграфе, вероятность мы можем ассоциировать с единичной массой, непрерывно распределенной на числовой прямой . Тогда плотность распределения вероятностей p(x) ïðåä-

ставляет собой плотность распределения масс, а математическое ожидание M(X) является, как видно из формулы (2), статическим моментом материальной прямой R относительно на- чала отсчета x = 0. Функция f(x) перераспределяет массу на числовой прямой, причем плотность распределения масс в точке f(x), как и в точке x, равна, очевидно, p(x). Следовательно, статическим моментом материального множества f(R), а, значит, и математическим ожиданием непрерывной случайной величины f(X) является интеграл

Тогда дискретная случайная величина f(X, Y ) имеет математическое ожидание

∑∞ ∑∞

k=1 l=1

при условии, что ряд в правой части сходится абсолютно .

Åñëè (X, Y ) непрерывный случайный вектор с плотностью распределения вероятностей p(x, y) è f(X, Y )

Займемся теперь свойствами математического ожидания. 1). M(C) = C, ãäå C действительная постоянная.

В самом деле, постоянную C мы можем рассматривать как дискретную случайную величину X с единственным значением X = C, которое она принимает с вероятностью p = 1. Тогда по формуле (1)

M(C) = C · 1 = C.

2). Если случайная величина X имеет математическое ожидание M(X), то для любого действительного числа c

M(cX) = cM(X).

Свойство очевидным образом следует из формул (3) и (4) для функции f(x) = cx.

3). Если обе случайные величины X è Y являются дискретными или непрерывными и имеют средние значения, то их сумма X + Y также имеет среднее значение и

M(X + Y ) = M(X) + M(Y ).

65

Äëÿ дискретных случайных величин ïî формуле (5) для функции f(x, y) = x+y è формулам (12) è (13) предыдущего параграфа

Åñëè X è Y непрерывные случайные величины, òî ïî формуле (6) настоящего параграфа и формуле (20) предыдущего

=xpX (x)dx + ypY (y)dy = M(X) + M(Y ).

−∞ −∞

4). Если для независимых дискретных или непрерывных случайных величин X, Y существуют математические ожидания M(X), M(Y ), то существует также математическое

ожидание их произведения и

M(XY ) = M(X)M(Y ).

Åñëè X è Y дискретны, òî ïî формуле (5) для функции f(x, y) = xy è формуле (14) предыдущего параграфа

=xpX (x)dx ypY (y)dy = M(X)M(Y ).

−∞ −∞

Введем еще две характеристики положения случайной величины.

Определение 2. Модой случайной величины X называется число, которое обозначается через Mo(X) и для дискретной случайной величины совпадает с тем из значений xk, для которого вероятность pk максимальна, а для непрерывной с точкой, где плотность p(x) достигает максимума или верхней грани. В том и другом случае предполагается, что указанные значения существуют.

Иначе говоря, мода это наиболее вероятное значение случайной величины. Определение 3. Точка Me(X) числовой оси называется медианой случайной величины X,

если в ней функция распределения удовлетворяет неравенству

F (Me(X)) ≤ 12 ≤ F (Me(X) + 0).

Таким образом, медиана это середина распределения случайной величины.

Äëÿ непрерывной случайной величины ее функция распределения непрерывна, поэтому

F (Me(X)) = F (Me(X) + 0) и, следовательно, медиана является корнем уравнения

F (x) = 12.

66

Замечание. Как мода, так и медиана случайной величины могут находиться неоднозначно.

Пример 1. Найти математическое ожидание, моду и медиану дискретной случайной

величины из примера 1 предыдущего параграфа.

Решение. а). Здесь случайная величина имеет распределение

Тогда по формуле (1)

M(X) = 1 · 0,8 + 2 · 0,16 + 3 · 0,032 + 4 · 0,008 = 1,248.

Мода и медиана в этом случае совпадают и равны, очевидно, 1.

В случае b) возможными значениями случайной величины могут быть любые натуральные числа, а соответствующие им вероятности равны

pk = P (X = k) = 0,8 · 0,2k−1, k N.

Для суммирования ряда в правой части рассмотрим степенной ряд

∑∞

f(x) = kxk−1, x (−1, 1).

k=1

Он допускает почленное интегрирование в интервале сходимости (глава XII, Ÿ3). Проинтегрируем обе его части и воспользуемся рядом геометрической прогрессии:

Как и в случае a) мода и медиана здесь равны 1.

Пример 2. Вычислить среднее значение, моду и медиану непрерывной случайной величины

èç примера 2, рассмотренного в Ÿ5.

Решение. Для этой случайной величины плотность распределения вероятностей равна