5

ГЛАВА XIV. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ (ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ)

В математике и ее приложениях немаловажное значение имеют различные интегральные преобразования, одним из которых является преобразование Лапласа , служащее предметом изучения в данной главе. Преобразование Лапласа упрощает операции дифференцирования и интегрирования функций (оригиналов), превращая их в алгебраические операции над интегралами (изображениями оригиналов), что дает возможность в некоторых случаях эффективно применять это преобразование при решении задач.

Ÿ1. Определение преобразования Лапласа и его основные свойства. Таблица изображений. Теорема Бореля

Формально интегралом Лапласа комплексной функции f(t), определенной на действитель-

ной оси называется функция

∫+∞

0

комплексного аргумента p.

Естественно интеграл (1) сходится не для любой функции f(t). Для большинства приложе-

ний достаточно рассматривать интеграл Лапласа на множестве функций, называемых

налами.

Определение 1. Оригиналом называется функция f(t) (вообще говоря, комплексная ), определенная на всей действительной оси и обладающая свойствами :

1)f(t) = 0, t ≤ 0;

2)на любом отрезке действительной полуоси [0, +∞) данная функция кусочно-непрерывна ;

3)существуют действительные числа a è A > 0 такие, что при всех действительных t выполняется неравенство |f(t)| < Aeat.

Число a называется показателем роста, а число α = inf a точным показателем роста

оригинала f(t). Множество всех оригиналов с точным показателем роста α мы обозначим через O(α).

Свойства 2) и 3), как мы увидим ниже, обеспечивают абсолютную сходимость интеграла Лапласа в некоторой полуплоскости, а свойство 1) связано с обратимостью преобразования Лапласа.

Приведем примеры оригиналов, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Примеры. 1) Функция Хевисайда

{

1(t) =

0, t ≤ 0;

1, t > 0.

Очевидно, эта функция является оригиналом и точный показатель роста для нее равен

α = 0.

Всюду в дальнейшем мы для удобства будем предполагать, что функция Хевисайда незримо присутствует в записи функции f(t) в качестве множителя, что обеспечивает выпол-

нение условия 1) из определения оригинала. 2) Степенная функция tn, n N.

Для нее по правилу Лопиталя (глава V, Ÿ4) для любого ε > 0

поэтому найдется такое T > 0, ÷òî ïðè âñåõ t > T выполняется неравенство

tn < 1 tn < eεt.

eεt

Кроме того, tn ≤ T neεt на отрезке [0, T ]. Тогда, полагая A = max{1, T n}, мы получаем tn < Aeεt, t ≥ 0

6

и, значит, произвольное ε > 0 является показателем роста данной функции. Поэтому степенная функция является оригиналом и поскольку, очевидно, отрицательное число не может быть

аналогично мы можем убедиться в том же и для функции cos λt.

5) Гиперболические функции sh λt, ch λt, λ C.

Известно (глава XIII, Ÿ3), что данные гиперболические функции связаны с соответствующими тригонометрическими формулами

sh λt = −i sin iλt, ch λt = cos iλt,

поэтому они также являются оригиналами с точным показателем роста α = |Im(iλ)| = |Re λ|. Докажем теперь теорему о сходимости интеграла Лапласа (1).

Теорема 1. Интеграл Лапласа (1) для оригинала f(t) O(α) сходится абсолютно в ком-

интеграл Лапласа является аналитической функцией и допускает дифференцирование по аргументу p под знаком интеграла.

Действительно, выбрав при Re p = x > α показатель a роста оригинала так, чтобы x > a >

абсолютно в полуплоскости Re p = x > α.

Воспользовавшись свойствами определенного интеграла (глава VII, Ÿ1) и предыдущим равенством, мы найдем оценку для интеграла Лапласа:

Отсюда, очевидно, следует (2).

Доказательство аналитичности и дифференцируемости интеграла Лапласа ввиду его сложности мы здесь приводить не будем.

Из доказанной теоремы следует, что интеграл Лапласа, как функция комплексного аргумента p, обладает хорошими аналитическими свойствами .

Определение 2. Отображение, по которому каждому оригиналу f(t) формулой (1) ставится в соответствие интеграл Лапласа F (p), называется преобразованием Лапласа. Функцию F (p) мы будем называть изображением оригинала f(t).

8

4. Дифференцирование оригинала.

Если существует производная f′(t) è f′(t) O(α), òî

Действительно, интегрируя по частям в интеграле Лапласа

∫t

Покажем сначала, что интеграл f1(t) = f(s)ds является оригиналом. Для этого восполь-

0

зуемся свойствами определенного интеграла (глава VII, Ÿ1) и определением оригинала:

Поскольку t O(0), f(t) O(α), то при любом ε > 0 найдется Aε > 0 такое, что

|tf(t)| < Aεe(α+ε)t, t ≥ 0