95

ГЛАВА XVII. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

В математической статистике закон распределения случайной величины или случайного вектора, как правило, неизвестен. В распоряжении исследователя имеется лишь статистиче- ский материал, а именно совокупность достаточно большого числа эмпирических данных, по которым необходимо: во-первых, выбрать некоторую подходящую модель распределения, вовторых, оценить неизвестные параметры выбранного распределения и, в-третьих, проверить соответствие этой модели эмпирическим данным.

Ÿ1. Статистический ряд и его графическое представление

Предположим, что мы изучаем случайную величину X (дискретную или непрерывную) и

имеем возможность многократно повторять или хотя бы моделировать в одинаковых и независимых условиях вероятностный эксперимент, в каждом из которых данная случайная величина принимает одно из своих значений. Эти значения мы будем называть наблюдаемыми.

Совокупность n наблюдаемых значений

(x1, x2, . . . , xn)

называется выборкой объема n. Относительно выборки мы всюду в дальнейшем будем предполагать, что она имеет достаточно большой объем n и является конкретной реализацией n-мерного случайного вектора

(X1, X2, . . . , Xn),

координаты которого независимы и каждая из них имеет распределение исследуемой случайной величины X. Всюду в дальнейшем для удобства мы будем отождествлять выборку и

указанный случайный вектор.

Упорядочим выборку в зависимости от типа изучаемой случайной величины. Предположим сначала, что X дискретная случайная величина. Значения в выборке могут повторяться.

Пусть она содержит r различных значений

x1, x2, . . . , xr,

расположенных в порядке возрастания, и

m1, m2, . . . , mr

соответствующие этим значениям частоты, т. е. каждое значение xk, k = 1, r повторяется в

которая называется простым статистическим рядом. В третьей строке этой таблицы записа- mk

íû относительные частоты n соответствующих выборочных значений. Одним из способов

графического представления простого статистического ряда является полигон относительных

частот, который строится следующим образом: в системе координат на плоскости отмечаются

которые последовательно соединяются отрезками прямых. Полученная таким образом ломаная и называется полигоном относительных частот . В качестве примера построим полигон для простого статистического ряда

96

Он имеет вид

Другим способом визуализации простого статистического ряда является график эмпириче- ской функции распределения F (x), которая для любого действительного числа x представ-

ляет собой относительную частоту попадания наблюдаемых значений выборки на полуось (−∞, x), ò. å.

m(x), x R, n

ãäå m(x) число значений выборки, меньших x.

Эмпирическая функция распределения F (x) обладает всеми свойствами функции распределения F (x) случайной величины X, которые перечислены в параграфе 5 предыдущей главы. Из теоремы Бернулли следует, что для любого фиксированного x R при достаточно большом объеме выборки n с большой вероятностью значение эмпирической функции распределения сколь угодно мало отличается от соответствующего значения функции распределения, т. е. для любого ε > 0

lim P (|F (x) − F (x)| < ε) = 1.

n→∞

Запишем эмпирическую функцию распределения для простого статистического ряда (2):

Ее график:

Если исследуемая случайная величина X является непрерывной, то весь диапазон значений выборки мы разобьем на некоторое число r интервалов равной длины

[x0, x1), [x1, x2), . . . , [xr−1, xr],

98

Точечная оценка θ называется несмещенной, если существует ее среднее значение, равное

оцениваемому параметру θ, ò. å.

M(θ ) = θ.

Оценка θ называется состоятельной, если для любого ε > 0

lim P (|θ − θ| < ε) = 1,

n→∞

т. е. точечная оценка при достаточно большом объеме выборки с большой вероятностью сколь угодно мало отличается от оцениваемого параметра.

Рассмотрим метод моментов для нахождения точечных оценок. В Ÿ6 предыдущей главы мы ввели определение начального

µr = M(Xr), r N

è центрального

νr = M ((X − M(X))r) , r N

моментов случайной величины X. Будем считать, что все эти моменты существуют. Ïî

аналогии с ними введем понятия соответствующих эмпирических моментов, которые вычисляются по выборке (1).

Эмпирическим начальным моментом порядка r, r N случайной величины X называется

среднее арифметическое степеней xrk, k = 1, n выборочных значений.

ский начальный момент порядка r через µr. Тогда по определению

µr = n1 ∑n xrk.

k=1

В частности, эмпирический начальный момент первого порядка равен среднему арифметиче- скому выборочных значений или, короче, выборочному среднему . Для него используется обо-

значение x,¯ ò. å.

x¯ = µ1 = n1 ∑n xk.

k=1

Эмпирическим центральным моментом порядка r, r N случайной величины X называется величина, которая обозначается через νr и вычисляется по формуле

νr = n1 ∑n (xk − x¯)r.

k=1

Метод моментов нахождения точечных оценок заключается в том, что мы в качестве

точечных оценок моментов µr, νr, r N считаем соответствующие эмпирические моменты µr, νr , r N и затем уже вычисляем через них точечные оценки неизвестных параметров распределения.

В частности, точечной оценкой математического ожидания mX = M(X) является выбо-

рочное среднее x¯. Аналогично, точечной оценкой дисперсии σX2 = D(X) является эмпириче- ский центральный момент второго порядка ν2 , который мы в дальнейшем будем называть

выборочной дисперсией.

Проверим, являются ли оценки x¯ è ν2 несмещенными è состоятельными. Поскольку выборочные значения распределены точно также, как и случайная величина X, òî ïî свойствам

2) è 3) математического ожидания (глава XVI, Ÿ6, пункт 1)

ò. å. оценка x¯ математического ожидания mX является несмещенной. Состоятельность этой оценки напрямую следует из теоремы Чебышева.

99

Займемся выборочной дисперсией. Сначала преобразуем ее:

Таким образом,

ν2 = n1 ∑n (xk − mX )2 − (¯x − mX )2.

k=1

Отсюда, учитывая несмещенность выборочного среднего, независимость выборочных значе- ний и свойства математического ожидания и дисперсии, мы получаем:

Êàê выборочная дисперсия , òàê è несмещенная выборочная дисперсия являются состоятель-

ными оценками дисперсии, что также следует из теоремы Чебышева (с доказательством можно ознакомиться в учебнике Чистякова В.П. по курсу теории вероятностей, имеющемся в