ÓÄÊ 517.44(075.8)+517.958(075.8)+519.2(075.8)

Автор: П.Г. Ласый

Рецензент:

Ã.Ì.Çàÿö, ведущий научный сотрудник Института математики НАН Беларуси, кандидат физико-математических наук, доцент

В пособии изложен теоретический материал по курсу математики, читаемом в четвертом

семестре на энергетическом факультете БНТУ. В нем представлены следующие разделы: "Ïðå- образование Лапласа\, "Математическая физика\, "Теория вероятностей\, "Математическая статистика\. Изложение хорошо проиллюстрировано примерами и графиками, построенны-

ми в среде компьютерной алгебры Mathematica. Данное пособие может быть полезным как студентам при их подготовке к практическим занятиям и экзамену, так и преподавателям, читающим курс математики на энергетическом факультете БНТУ.

Белорусский национальный технический университет Пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел. (017)292-82-73

E-mail: kafvm2@bntu.by http://www.bntu.by/ef-vm2 Регистрационный • БНТУ/ЭФ41-45.2016

c Ласый П.Г., 2016c БНТУ, 2016

3

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ГЛАВА XIV. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

(ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ÿ1. Определение преобразования Лапласа и его основные свойства.

Таблица изображений. Теорема Бореля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ÿ2. Нахождение оригинала по изображению. Обратное преобразование Лапласа. . . . . . . . . .14 Ÿ3. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений . . . . . 19 ГЛАВА XV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Ÿ1. Построение математической модели распространения теплоты в стержне . . . . . . . . . . . . . 23

Ÿ2. Решение методом Фурье смешанной задачи для одномерного однородного уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Ÿ3. Решение методом Фурье задачи Дирихле для двумерного уравнения Лапласа в круге. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Ÿ4. Решение задачи Коши для одномерного однородного волнового уравнения. Формула Даламбера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

Ÿ5. Метод сеток (конечных разностей) решения задач математической физики . . . . . . . . . . . 35

ГЛАВА XVI. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ÿ1. Пространство элементарных событий, алгебра событий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 Ÿ2. Аксиоматическое определение вероятности. Способы задания вероятности. . . . . . . . . . . .40 Ÿ3. Условная вероятность. Теоремы умножения и сложения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ÿ4. Формула полной вероятности. Условные вероятности гипотез (формулы Бейеса) . . . . . 48 Ÿ5. Случайные величины, случайные векторы и их распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Ÿ6. Числовые характеристики случайных величин и случайных векторов. . . . . . . . . . . . . . . . .62

1. Математическое ожидание и его свойства. Мода, медиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3. Характеристики зависимости между случайными величинами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Ÿ7. Некоторые часто встречающиеся в теории вероятностей и ее приложениях распределения случайных величин и их числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1. Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2. Непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Ÿ8. Предельные теоремы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88 2. Центральная предельная теорема. Формулы Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

ГЛАВА XVII. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Ÿ1. Статистический ряд и его графическое представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Ÿ2. Оценки неизвестных параметров распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1. Точечные оценки. Метод моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2. Интервальные оценки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Ÿ3. Статистическая проверка гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Ÿ4. Линейная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие является заключительной четвертой частью электронного учебника автора по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ. Изложенный в нем материал полностью соответствует программе курса математики, читаемом в четвертом семестре на энергетическом факультете.

При написании этого пособия я, не претендуя на безупречность, стремился к полноте и строгости в определениях, формулировках и доказательствах утверждений. Полагаю, что по этой причине учебник не стал перегруженным, так как я старался выбирать короткие и содержательные доказательства, которые позволяют оставаться в пределах отведенных на курс учебных часов. Опущенные здесь громоздкие доказательства некоторых утверждений можно найти в учебниках, список которых помещен в конце данного пособия. Имеющиеся в каждом параграфе не всегда тривиальные примеры и достаточное количество графиков дополняют и поясняют изложение.

Текст лекций подготовлен мной с помощью программы набора и верстки сложных текстов

MiKTEX. Все имеющиеся в тексте графики являются точными, они построены в среде ком-

пьютерной алгебры Mathematica.

В тексте имеются многочисленные ссылки на первую, вторую è третью части электронного учебника автора.