ГЛАВА XIII. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (III семестр).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

17.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

118

Следовательно,

eiw = iz +

iw = Ln (iz +

и, значит,

Arcsin z = −i Ln (iz + √

В данной главе мы изучим основы теории аналитических функций комплексной переменной, находящей многочисленные приложения как в самой математике, так и в ее приложениях, таких, например, как теоретическая физика, аэро- и гидродинамика, теория упругости.

Ÿ1. Предел функции комплексной переменной. Непрерывность

Определение 1. Закономерность, по которой каждому комплексному числу z из множества D на комплексной плоскости ставится в соответствие по крайней мере одно комплексное число w = f(z), называется функцией комплексной переменной, определенной на множестве D.

Если каждому z D соответствует единственное значение w, то функция f(z) называется

однозначной, иначе многозначной. Например, функция w = zn является однозначной, а вот

√

функция w = n z, n ≥ 2 многозначной, а точнее, n-значной, поскольку мы установили в главе V, Ÿ8, что каждому ненулевому комплексному числу z соответствует n значений корня n-ой степени из этого числа.

Всюду в дальнейшем в этой главе, если это не оговаривается особо, мы будем рассматривать однозначные функции комплексной переменной.

Записав комплексное число z в алгебраической форме z = x + yi и выделив в выражении для функции w = f(z) = f(x + yi) действительную и мнимую части, мы можем записать ее в виде

w = u(x, y) + iv(x, y),

(1)

ãäå u(x, y), v(x, y) действительные функции действительных переменных x, y. Обратный переход мы можем осуществить с помощью очевидных формул:

x =

(z + z¯), y =

(z − z¯).

(2)

части функции

Пример 1. a) Выделить действительную и мнимую

w = iz

−2z

+3z−4i;

b) записать функцию комплексной переменной w =

2xy + (x

− y

(x2 + y2)2

как функцию переменной

z = x + yi.

Решение. a) Подставляя z = x + yi в выражение для функции w, мы получим:

w = i(x + yi)3 − 2(x + yi)2 + 3(x + yi) − 4i =

= i x3 + 3x2yi − 3xy2

− y3i

)

− 2 x2

+ 2xyi − y2

+ 3(x + yi) − 4i =

Таким образом, окончательно,

(

3xy2

)

x + x3

)

4xy + 3y 4 i.

3x y + y

−

2 x

−

y )

+ 3(

−

(

)

(

−

)

b) Воспользуемся формулами

w =

−3x2y + y3

−

2 x2 − y2

+ 3x + x3 − 3xy2

− 4xy + 3y − 4 i.

(2). Тогда, учитывая, что

y2 =

+ 2zz¯ + z¯2

2zz¯ + z¯2

− z¯2), x2

) =

+ z¯ ),

xy = 4i

−

(

−

x + y

+ 2zz¯ + z¯ ) −

− 2zz¯ + z¯ )

= zz,¯

мы найдем

(

(zz¯)

( )

(

)

(

()zz¯)

(

)

w =

2 ·

z2 − z¯2

z2 + z¯2 i

−

z2 − z¯2

z2 + z¯2 i

iz¯2

zz¯)

ò. å.		i
		i
	w =		.
	w =	z2	.

Введем теперь понятие предела функции комплексной переменой в точке. Здесь и в дальней-

шем нам будет удобно ассоциировать комплексные числа с точками на комплексной плоско-

ñòè и, значит, пользоваться терминологией, которую мы использовали в главах VIII и X äëÿ

119

некоторых множеств и линий на плоскости: окрестность, проколотая окрестность, область,

простая кривая è ò. ä.

Пусть функция f(z) определена в некоторой проколотой окрестности U˙ (z0) точки z0.

Определение 2. Комплексное число w0 называется пределом функции f(z) в точке z0, если для любого положительного числа ε отыщется проколотая δε-окрестность U˙ (δε, z0) U˙ (z0) точки z0, для всех точек z которой соответствующие значения функции f(z) принад-

лежат ε-окрестности U(ε, w0) точки w0.

Для этого предела сохраняется привычное обозначение w0 = lim f(z).

z→z0

Учитывая, что ε-окрестность точки z0 на комплексной плоскости представляет собой мно-

жество внутренних точек круга радиуса ε с центром в точке z0 и задается это множество в комплексной форме неравенством

|z − z0| < ε,

то мы можем переформулировать определение предела следующим образом: w0 = lim f(z),

z→z0

если для любого ε > 0 найдется δε > 0 такое, что для всех комплексных чисел z, удовлетво-

ряющих условию 0 < |z − z0| < δε, выполняется неравенство |f(z) − w0| < ε.

Совершенно аналогично мы можем ввести определение конечного предела в бесконечно уда-

ленной точке è бесконечного предела . Например, если функция f(z) определена вне некоторого круга (мы будем говорить, в окрестности бесконечно удаленной точки ), òî комплексное число w0 является пределом функции f(z) в бесконечно удаленной точке, если для любого ε > 0 найдется Mε > 0 такое, что как только |z| > Mε, òî |f(z) − w0| < ε. Обозначается этот

предел через lim f(z).

z→∞

Из определения предела следует, что функция f(z) стремится к своему предельному зна-

чению lim f(z) независимо от того по какой линии на комплексной плоскости точка z ïðè-

z→z0

ближается к точке z0. Отсюда вытекает, что, предел не существует, если мы укажем две линии, вдоль которых предельные значения функции будут различными.

Приведем простейшие примеры .

1) lim c = c, c

z→z0

Это вполне очевидно, так как здесь неравенство

|f(z) − w0| = |c − c| = 0 < ε

выполняется всегда при любом ε > 0.

= 0, n N.

2) zlim

→∞

Для этой функции неравенство

− 0

|f(z) − w0| =

< ε

при любом фиксированном ε > 0 выполняется

ïðè

ε |

, что и доказывает

данное предельное равенство.

√ε

Приведенное выше определение предела функции комплексной переменной можно дать и в другой, эквивалентной форме. А именно, если функция w = f(z) записана в âèäå (1) è

z0 = x0 + y0i, òî комплексное число w0 = u0 + v0i является пределом данной функции в точке z0, если и только если существуют оба предела

lim u(x, y) = u0;	lim v(x, y) = v0.
x→x0	x→x0
y→y0	y→y0

Доказывается это утверждение точно так же, как и соответствующий факт для векторных функций действительного аргумента (глава V, Ÿ7).

Âñå основные свойства, которые мы сформулировали в главе IV, Ÿ4 для предела числовой функции действительной переменной, имеют место также и для предела функции комплексной

переменной.

1) Если для функций f1(z) è f2(z), определенных в проколотой окрестности U˙ (z0) точки

z0, существуют конечные пределы lim f1(z) è lim f2(z), то существуют также пределы

z→z0 z→z0

Определение 3.

120

функций c1f1(z) + c2f2(z), c1, c2 C è f1(z)f2(z), причем

lim (c1f1(z) + c2f2

(z)) = c1

lim f1

(z) + c2

lim f2(z);

z→z0

lim f1(z)f2(z) = lim f1(z) lim f2(z).

z→z0

Если, сверх того,

f2(z) ̸=,0z

lim f

(z)

=,0то существует также предел дроби

U(z ) è

f1(z)/f2(z) è

→

f1(z)

lim f1(z)

lim

z→z0

f2(z)

z→z0

lim f2(z)

z→z0

2) Предположим, что функция

w =

f1(z) определена в проколотой окрестности U(z0)

точки z0 и существует конечный предел lim f1(z) = w0, а функция f2(w) определена в про-
колотой окрестности ˙	z→z0
U(w0) точки w0, содержащей множество значений функции f1(z) è
существует предел lim	f2(w) = L. Тогда существует предел композиции функций
w→w0

lim f2(f1(z)) = L.

z→z0

При вычислении предела функции комплексной переменной также могут возникать различ- ные неопределенности, которые требуют преобразования выражения под знаком предела.

Пример 2. Вычислить предел

iz3 − z2 + 5z − 4 + 3i w0 = lim ((2 + i)z − 1)(z2 + 2) .

z→∞

Решение. Здесь, очевидно, имеет место неопределенность ∞∞ . Разделив числитель и знаменатель дроби на z3, получим:

i − z1 +

−

4−z33i

w0 = lim

Отсюда, использовав свойство 1) и

z→∞

(

)(

)

2 + i − z1

1 + z22

приведенные выше примеры, находим:

w0 =

i − 0 + 0 − 0

i(2 − i)

1 + 2i

(2 + i − 0)(1 + 0)

2 + i

(2 + i)(2 − i)

Дадим теперь определение непрерывности

функции комплексной переменной. Предполо-

жим, что функция f(z) определена в некоторой окрестности точки z0.

Будем говорить, что функция f(z) непрерывна в точке z0, åñëè ñóùå-

ствует предел lim f(z), равный значению функции в данной точке, т.е.

z→z0

lim f(z) = f(z0).

z→z0

Если функция непрерывна в каждой точке множества D, то она называется непрерывной

на этом множестве.

Это определение, как и для числовой функции действительной переменной, мы можем переформулировать на языке приращений , а именно, если придать аргументу в точке z0 прира- щение ∆z и обозначить через ∆f(z0, ∆z) = f(z0 + ∆z) − f(z0) соответствующее приращение

функции в точке z0, то, очевидно, функция будет непрерывной в точке z0 в том и только в том случае, если приращение функции будет бесконечно малым при ∆z → 0, ò.å.

lim ∆f(z0, ∆z) = 0.

∆z→0

Если в точке z0 функция не является непрерывной, то она называется точкой разрыва

функции.

Из свойств предела немедленно следует, что линейная комбинация, произведение и частное двух непрерывных функций, а также их композиция являются непрерывными функциями.

121

Примером всюду непрерывной функции является полином комплексной переменной z с комплексными коэффициентами

Pn(z) = a0zn + a1zn−1 + . . . + an−1z + an.

Это следует из того, что, очевидно, функция w = z, а, значит, и любая натуральная степень переменной z являются непрерывными функциями.

Ÿ2. Производная функции комплексной переменной, дифференцируемость и дифференциал. Аналитическая функция

Пусть функция f(z) определена в некоторой окрестности точки z0.

Определение 1. Если существует конечный предел

lim	f(z) − f(z0)	,
z→z0	z − z0

то он называется производной функции f(z) в точке z0 и обозначается через f′(z0).

Обозначив, как и в предыдущем параграфе, через ∆z = z − z0 приращение аргумента в точке z0, а через

∆f(z0, ∆z) = f(z0 + ∆z) − f(z0)

соответствующее ему приращение функции, мы можем переписать определение производной в виде

f′(z0) = lim	∆f(z0, ∆z)	.	(1)

∆z→0	∆z

Покажем, что, как и для числовой функции действительной переменной, существование

производной функции комплексной переменной равносильно ее дифференцируемости в данной

точке, т. е. возможности представления приращения функции вблизи точки z0 â âèäå

∆f(z0, ∆z) = A∆z + φ(∆z)∆z,

(2)

ãäå A комплексная постоянная, φ(∆z) бесконечно малая при ∆z → 0 функция комплексной

переменной.

В самом деле, из определения производной по формуле (1) ясно, что функция

φ(∆z) =	∆f(z0, ∆z)	− f′(z0)
	∆z
является бесконечно малой при ∆z → 0. Значит,
∆f(z0, ∆z) = f′(z0)∆z + φ(∆z)∆z,			(3)

ò.е. приращение функции в точке z0 представляется в виде (2) с постоянной A = f′(z0). Обратно, если имеет место представление (2), то существует предел

lim	∆f(z0, ∆z)	= lim	A∆z + φ(∆z)∆z	=	lim (A + φ(∆z)) = A + 0 = A = f′(z0).
	∆z		∆z
∆z→0		∆z→0			∆z→0

Замечание. Из формулы (3) следует, что дифференцируемая в точке z0 функция является и непрерывной в этой точке .

Из формулы (3) для дифференцируемой в точке z0 функции f(z) следует, что приращение

функции складывается из двух частей : линейной относительно приращения аргумента ∆z части f′(z0)∆z и нелинейной φ(∆z)∆z. Линейная часть называется дифференциалом функции f(z) в точке z0 и обозначается через df(z0). Таким образом,

df(z0) = f′(z0)∆z.

Если функция w = f(z) дифференцируема в некоторой области D комплексной плоскости, т. е. в каждой точке z этой области, то, считая по определению, что dz = ∆z, мы можем пред-

ставить выражение для дифференциала функции в произвольной точке области в следующей

симметричной форме:

dw = w′dz.

Отсюда, w′ = ddwz еще одно обозначение для производной.

122

Правила дифференцирования числовых функций действительной переменной, связанные с алгебраическими операциями над функциями, переносятся также и на функции комплексной

переменной. А именно, если функции f1(z) è f2(z) дифференцируемы в точке z, то функции c1f1(z) + c2f2(z), ãäå c1, c2 комплексные числа, и f1(z)f2(z) также дифференцируемы в этой

точке и

(c1f1(z) + c2f2(z))′ = c1f1′ (z) + c2f2′ (z), (f1(z)f2(z))′ = f1′ (z)f2(z) + f1(z)f2′ (z).

Если, кроме того, функция f2(z) отлична от нуля в некоторой окрестности точки z, òî

дифференцируемой является и функция

(z)

, причем

(z)

f1(z)

′

′ (z)f2

(z)

−

(z)f′

(z)

(f2(z))

(f2(z))2

Правило дифференцирования композиции функций также сохраняется: если функция f1(z) дифференцируема в точке z, а функция f2(w) дифференцируема в точке f1(z), то композиция функций f2(f1(z)) дифференцируема в точке z è

(f2(f1(z))′ = f2′ (f1(z))f1′ (z).

Переформулируем здесь еще и правило дифференцирования обратной функции : если функция w = f(z) взаимно однозначно отображает область D комплексной плоскости z íà

область E комплексной плоскости w и в точке z D функция f(z) дифференцируема и f′(z) ̸=,0то обратная функция z = f−1(w) дифференцируема в точке w = f(z) è

(f−1)′	(w) =				1

					f′(z)
или в других обозначениях			1
z′		=		.

w			wz′

В качестве примера рассмотрим функцию w = zn, n Z. Докажем по индукции, что

(zn)′ = nzn−1.

(4)

Ïðè n = 1 формула (4) справедлива, так как

z′ = lim			(z + ∆z) − z	=	lim 1 = 1 = 1			·	z0.
		0	∆z
∆z	→				∆z	→	0

Предполагая теперь, что формула (4) верна для фиксированного n Z, убедимся в том, что она имеет место и при n ±1. В самом деле, воспользовавшись правилами дифференцирования произведения и частного, мы получим:

zn+1

)

′ = (zn

z)′ = (zn)

′z·

z + zn

z′ = nzn−1

z + zn

1·

1 = (n + 1)zn,

′

(zn)′

z·′

nzn−1

z·

−

)′ = (

)

−

· −

= (n − 1)z

−

Найдем условия, которые являются необходимыми и достаточными для дифференцируе-

мости функции комплексной переменной.

Теорема. Функция комплексной переменной f(z) = u(x, y) + iv(x, y) дифференцируема в точке z0 = x0+y0i тогда и только тогда, когда обе функции u(x, y) è v(x, y) дифференцируемы в точке M0(x0, y0) и в этой точке выполняются условия Коши-Римана :

ux′ (M0) = vy′ (M0), uy′ (M0) = −vx′ (M0).

(5)

Äî ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Необходимость. Предположим, что функция f(z) дифференцируема

âточке z0. Тогда вблизи этой точки ее приращение представляется в âèäå (2). Пусть

A = A1 + A2i, ∆z = ∆x + i∆y, φ(∆z) = φ1(∆x, ∆y) + iφ2(∆x, ∆y).

123

Тогда, учитывая, что

∆f(z0, ∆z) = f(z0 + ∆z) − f(z0) = ∆u(M0, ∆x, ∆y) + i∆v(M0, ∆x, ∆y),

A∆z = A1∆x − A2∆y + i(A1∆y + A2∆x),

(6)

φ(∆z)∆z = φ1(∆x, ∆y)∆x − φ2(∆x, ∆y)∆y + i(φ1(∆x, ∆y)∆y + φ2(∆x, ∆y)∆x),

мы можем записать приращения функций u(x, y), v(x, y) в точке M0 â âèäå

∆u(M0, ∆x, ∆y) = B1∆x + B2∆y + ψ1(∆x, ∆y)∆r, ãäå

φ1(∆x, ∆y)∆x − φ2(∆x, ∆y)∆y

B = A

, B

−

, ψ

(∆x, ∆y) =

, ∆r = (∆x)2

+ (∆y)2;

1 1

∆r

ãäå √

∆v(M0, ∆x, ∆y) = C1∆x + C2∆y + ψ2(∆x, ∆y)∆r,

C1 = A2, C2 = A1, ψ2(∆x, ∆y) =

φ1(∆x, ∆y)∆y + φ2(∆x, ∆y)∆x

∆r

Поскольку

|∆∆xr|

≤ 1,

|∆∆yr|

≤ 1, òî

lim ψ1(∆x, ∆y) =

lim ψ2(∆x, ∆y) = 0

∆x→0

∆y→0

и, значит, функции u(x, y), v(x, y) дифференцируемы в точке M0. Для доказательства условий Коши-Римана (5) воспользуемся первым из равенств (6). При ∆y = 0 мы получим ∆z = ∆x è

∆f(z0, ∆z) = ∆ux(M0, ∆x) + i∆vx(M0, ∆x),

(7)

ãäå ∆xu(M0, ∆x) = u(x0 +∆x, y0)−u(x0, y0), ∆xv(M0, ∆x) = v(x0 +∆x, y0)−v(x0, y0) частные приращения по переменной x функций u(x, y) è v(x, y), соответственно. Разделив обе части равенства (7) на ∆z = ∆x, мы найдем в пределе

f′(z0) =

lim

∆f(z0, ∆z)

lim

∆ux(M0, ∆x)

+ i lim

∆vx(M0, ∆x)

= u′

(M0) + iv′

(M0).

∆z→0

∆z

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

Аналогично, если ∆x = 0, òî ∆z = i∆y,

∆f(z0, ∆z) = ∆uy(M0, ∆y) + i∆vy(M0, ∆y)

и, значит,

f′(z

) = lim

∆f(z0, ∆z)

= lim

∆uy(M0, ∆y)

+ i lim

∆vy(M0, ∆y)

= v′

)

−

iu′

i∆y

∆z

→

∆z

∆y

→

∆y

→

Следовательно,

f′(z0) = ux′ (M0) + ivx′ (M0) = vy′ (M0) − iuy′ (M0)

(8)

и, таким образом условия Коши-Римана (5) выполняются.

Достаточность. Предположим теперь, что функции u(x, y) è v(x, y) дифференцируемы в

точке M0(x0, y0) и в этой точке выполняются условия Коши-Римана (5). Тогда (глава VIII, Ÿ2, формула (3))

∆u(M0, ∆x, ∆y) = u′x(M0)∆x + u′y(M0)∆y + φ1(∆x, ∆y)∆r,

∆v(M0, ∆x, ∆y) = vx′ (M0)∆x + vy′ (M0)∆y + φ2(∆x, ∆y)∆r,

ãäå

lim φ1(∆x, ∆y) =	lim φ2(∆x, ∆y) = 0.	(9)
∆x→0	∆x→0
∆y→0	∆y→0

Отсюда, учитывая, что ∆r = |∆z| и принимая во внимание условия Коши-Римана (5), мы получим:

∆f(z0, ∆z) = ∆u(M0, ∆x, ∆y) + i∆v(M0, ∆x, ∆y) =

=u′x(M0)∆x − vx′ (M0)∆y + i(vx′ (M0)∆x + u′x(M0)∆y) + (φ1(∆x, ∆y) + iφ2(∆x, ∆y))|∆z| =

=(u′x(M0)∆x + ivx′ (M0)∆y)∆z + (φ1(∆x, ∆y) + iφ2(∆x, ∆y))|∆∆zz| ∆z = A∆z + φ(∆z)∆z,

Определение 2.

124

ãäå

A = u′x(M0)∆x + ivx′ (M0)∆y, φ(∆z) = (φ1(∆x, ∆y) + iφ2(∆x, ∆y)) ∆z .

|∆z|

Поскольку

∆z

= 1, òî ввиду (9)

lim φ(∆z) = 0 и, таким образом, приращение функции

∆z

в точке

∆z

представляется в âèäå→(2), что и означает ее дифференцируемость в данной

f(z)

точке.

Пример. Являются ли функции a) w =

(z +

) (функция Жуковского ) è b) w = z¯

дифференцируемыми?

Решение. Проверим для каждой из функций условия Коши-Римана (5).

w =

z +

x + yi +

x − yi

z )

x + yi)

x2 + y2 )

(

2 (

(

(x +

)

(y −

)i.

x2 + y2

Значит,

u(x, y) =

(x +

), v(x, y) =

−

)

x2 + y2

1 · (x2 + y2) − x · 2x

y2 − x2

x′

1 +

2 (

(x2 + y2)2

)

(

(x2 + y2)2 )

uy′ =

(0 + x

(− x2 + y2

)

−2) ·

2y)

= −

;

(x2 + y2)2

(

vx′ =

(0 − y (− x2 + y2

)

−2)

· 2x) =

(x2 + y2)2

) − y · 2y

(

1 +

− x

(x + y

x − y

y′

(

−

)

(

−

)

(

)

(x2 + y2)2

Следовательно, функция Жуковского дифференцируема при всех z ̸= 0òàê, как в каждой такой точке выполняются условия Коши-Римана.

b) Для этой функции w = x − yi и, стало быть, u(x, y) = x, v(x, y) = −y. Поскольку u′x = 1, u′y = 0; vx′ = 0, vy′ = −1,

то первое из условий Коши-Римана не выполняется ни в одной из точек комплексной плоскости. Таким образом, данная функция, очевидно, везде непрерывна, но нигде не дифференцируема.

Введем следующее важное

Функция комплексной переменной называется аналитической в точке, если она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности. Если функция является аналитической в каждой точке некоторой области, то она называется аналитической

в этой области.

Как мы увидим позже, аналитические функции обладают исключительно хорошими для исследования свойствами и находят широкое применение в приложениях теории функций комплексной переменной.

В приведенном выше примере функция Жуковского является аналитической во всей комплексной плоскости, кроме точки z = 0, а вторая функция w = z¯ не является аналитической.

Ÿ3. Элементарные аналитические функции комплексной переменной

Определим сначала основные элементарные функции комплексной переменной.

1) Комплексная экспонента.

w = ez

Именно так мы уже определяли эту функцию в главе V, Ÿ8. Там же мы отметили, что

125

Комплексной экспонентой называется функция, которая для любого комплексного числа z = x + yi определяется равенством

ez = ex+yi = ex(cos y + i sin y).

комплексная экспонента наследует свойства действительной экспоненты, связанные с алгебра- ическими операциями над ее значениями :

ez1 ez2 = ez1+z2 , ez1 = ez1−z2 , (ez)n = ezn, z1, z2, z C, n Z. ez2

Заметим также, что, поскольку функции cos y è sin y 2π-периодические, то комплекс-

ная экспонента является периодической функцией с чисто мнимым периодом 2πi. Прямые

Im z = 2πn, n Z разбивают комплексную плоскость z на полосы, каждая из которых взаимно однозначно отображается функцией на всю комплексную плоскость w с выколотой точкой 0.

Проверим экспоненту на аналитичность. Поскольку для нее u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y,

òî

u′x = ex cos y, u′y = −ex sin y; vx′ = ex sin y, vy′ = ex cos y.

Значит, условия Коши-Римана выполняются и комплексная экспонента является аналитиче-

ской во всей комплексной плоскости. Ïî формуле (8) предыдущего параграфа ее производная

равна

(ez)′ = ez.

2) Тригонометрические функции комплексной переменной.

Из определения комплексной экспоненты при z = ix è z = −ix, x R следуют равенства eix = cos x + i sin x, e−ix = cos x − i sin x.

Вычитая и складывая их почленно, мы находим:

sin x =	eix − e−ix	, cos x =	eix + e−ix	.
	2i
		2

Последние формулы служат основой для определения тригонометрических функций комплексной переменной z :

sin z =	eiz − e−iz	, cos z =	eiz + e−iz	.
	2i
		2

Эти функции 2π-периодические и наследуют все формальные свойства соответствующих тригонометрических функций действительной переменной. Отличительной особенностью

является их неограниченность. В самом деле, на мнимой оси z = iy, y R комплексной

плоскости		e−y − ey		e−y + ey
	sin iy =		, cos iy =
		2i
и, следовательно,			2
	ylim \| sin iy\| = ylim cos iy = +∞.

	→∞		→∞

Ввиду дифференцируемости экспоненты дифференцируемы также и функции sin z, cos z è

(sin z)′ =

(

eiz

−

e−iz

′

eiz(iz)′ − e−iz(−iz)′

eiz · i − e−iz · (−i)

eiz + e−iz

= cos z,

)

eiz(iz)′ + e−iz( iz)′

eiz i + e−iz

( i)

eiz

2e−iz

Таким образом,(

данные)функции являются аналитическими во всей комплексной плоскости

(cos z)′ =

eiz + e−iz ′ =

−

· −

−

sin z.

è äëÿ íèõ

(sin z)′ = cos z, (cos z)′ = − sin z.

является многозначной, а точнее, бесконечнозначной

Ввиду 2πi-периодичности экспоненциальной функции

126

Тангенс и котангенс комплексной переменной определяются равенствами

tg z =	sin z	, ctg z =				cos z	.
	cos z
						sin z
Функция tg z является аналитической везде, за				исключением точек zk = π2 + πk, k Z, è,
как и для тангенса действительной переменной,
(tg z)′		=		1	.

			cos2 z

Аналогично, областью аналитичности функции ctg z является вся комплексная плоскость,

кроме точек zn = πn, n Z, è	1
	(ctg z)′ = −		.
		sin2 z

3) Логарифмическая функция комплексной переменной.

Данная функция определяется как обратная к экспоненте, а именно, каждому комплексному числу z ̸= 0ставится в соответствие комплексное число w, такое, что

ew = z.

комплексная логарифмическая функция

на чисто мнимые числа, кратные 2πi. явное выражение. Пусть w = Ln z = Тогда во определению экспоненты

и ее значения отличаются друг от друга Обозначим эту функцию через Ln z и найдем для нее

u + vi, z = |z|(cos arg z + i sin arg z), ãäå arg z [0, 2π).

ew = z eu(cos v + i sin v) = |z|(cos arg z + i sin arg z),

откуда мы заключаем, что

eu = |z| = u = ln |z|, v = arg z + 2πn, n Z.

Следовательно,

Ln z = ln |z| + (arg z + 2πn)i, n Z.

(1)

Если зафиксировать в последней формуле целое n, то мы получим однозначную функцию, которая называется n-ой ветвью логарифмической функции. Эта ветвь взаимно однозначно отображает комплексную плоскость z без нуля на полосу Im w [2πn, 2π(n + 1)) комплексной плоскости w. В частности, при n = 0 функция

ln z = ln |z| + i arg z

называется главным значением логарифма. Очевидно,

Ln z = ln z + 2πni, n Z.

Логарифмы комплексных чисел обладают основными свойствами логарифмов положи-

тельных чисел : Ln(z1z2) = Ln z1 + Ln z2, Ln z1 = Ln z1 − Ln z2, (2) z2

ãäå z1, z2 неравные нулю комплексные числа. Для доказательства первого из этих равенств

достаточно вспомнить, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (глава V, Ÿ8) и воспользоваться формулой (1):

Ln(z1z2) = ln |z1z2| + (arg(z1z2) + 2πn)i = ln(|z1||z2|) + (arg z1 + arg z2 + 2πn)i =

=(ln |z1| + (arg z1 + 2πn1)i) + (ln |z2| + (arg z2 + 2πn2)i) = Ln z1 + Ln z2, n, n1, n2 Z

èn = n1 + n2. Второе из равенств (2) доказывается аналогично.

Замечание. Во избежание ошибок равенства (2) следует понимать не как равенства чисел,

à êàê равенства множеств.

127

Приведем примеры вычисления логарифмической функции.

Ln(−e) = ln |− e| + (arg(−e) + 2πn)i = ln e + (π + 2πn)i = 1 + π(2n + 1)i,

= ln 6 +

(4n + 1)i,

Ln(6i) = ln |6i| + (arg(6i) + 2πn)i = ln 6 + (2 + 2

πn)i

Ln(1 − i) = ln |1 − i| + (arg(1 − i) + 2πn)i = ln √2 + (

+ 2πn)i = ln √2 +

(8n + 7)i,

ãäå n Z.

Покажем, что каждая из ветвей логарифмической функции w = Ln z дифференцируема в

любой точке z ̸= 0Воспользуемся. правилом дифференцирования обратной функции, учитывая, что здесь z = ew:

(Ln z)′ =	1	=	1	=	1	.
	(ew)′		ew
					z

Таким образом,

(Ln z)′ = z1 .

Следовательно, любая ветвь комплексного логарифма является аналитической функцией во всей комплексной плоскости, исключая точку z = 0.

4) Обратные тригонометрические функции комплексной переменной.

Здесь речь идет о функциях Arcsin z, Arccos z, Arctg z, Arcctg z. Они являются обратными к соответствующим тригонометрическим функциям. Найдем для них явные выражения.

Функция w = Arcsin z является обратной к синусу. Поэтому

z = sin w = eiw − e−iw .

Отсюда,

e2iw − 2izeiw − 1 = 0.

Решая это уравнение как квадратное относительно eiw, мы получим

√

Каждая из ветвей этой бесконечнозначной функции является аналитической функцией во всей комплексной плоскости, исключая точки z = ±1 и для нее по правилу дифференци-

рования обратной функции

(Arcsin z)′ =

√

(sin w)′

cos w

√

ò.å.

1 − sin2 w

1 − z2

(Arcsin z)′ =

√1 − z2

Совершенно аналогично мы можем убедиться в том, что

Arccos z = −i Ln (z + √z2 − 1), (Arccos z)′ = −√

;

1 − z2

Arctg z =

1 + iz

, (Arctg z)′

;

1 − iz

1 + z2

z + i

, (Arcctg z)′ =

Arcctg z =

−

1 + z2

5) Степенная функция комплексной переменной.

Для фиксированного комплексного числа c степенная функция определяется равенством zc = ec Ln z, 0 ̸=z C.

Элементарной функцией комплексной переменной

128

Несмотря на такое определение степени в общем случае нельзя утверждать, ÷òî

Ln zc = c Ln z.

Например,

ii = ei Ln i = ei(ln |i|+(arg i+2πn)i = ei(ln 1+(π2 +2πn)i = e−(π2 +2πn), n Z

и, значит,Ln ii = Ln e−(π2 +2πn) = ln e−(π2 +2πn) + 2πki = − (π2 + 2πn) + 2πki, n, k Z.

Таким образом, множество комплексных чисел

Ln ii = − (π2 + 2πn) + 2πki, n, k Z

не совпадает с множеством действительных чисел

i Ln i = − (π2 + 2πn), n Z,

ò. å.

Ln ii ̸=i Ln i.

Аналогично на примерах можно убедиться в том, что все основные свойства действительных степеней для комплексных нарушаются, т. е. в общем случае:

zc1 zc2 ̸=zc1+c2 , zc1 ̸=zc1−c2 , (zc1 )c2 ̸=zc1c2 , c1, c2 C. zc2

Степенная функция комплексного аргумента, как и логарифм, является бесконечнознач-

ной, каждая из ее ветвей аналитическая функция	è
(zc)′ = (ec Ln z)′ = ec Ln z(c Ln z)′		c		c
	= ec Ln z ·		= c ·	z	.

		z		z

Заметим, что производную степенной функции комплексной переменной мы не можем запи-

сать в привычном виде

(zc)′ = czc−1,

так как в предыдущем абзаце мы отметили, что, вообще говоря,

zc ̸=zc−1. z

6) Показательная функция комплексной переменной.

По аналогии с предыдущей эта функция при фиксированном комплексном a ̸= 0задается

равенством

az = ez Ln a.

Показательная функция бесконечнозначная, каждая ее ветвь аналитическая функция ñ

производной	(az)′ = (ez Ln a)′ = ez Ln a(z Ln a)′ = ez Ln a Ln a = az Ln a.
Таким образом,
	(az)′ = az Ln a,

если при вычислении правой части в выражениях az è Ln a выбирать одну и ту же ветвь

логарифма.

называется функция, полученная из основных элементарных с помощью конечного числа алгебраических операций и композиций. Ясно, что любая элементарная функция является аналитической в своей области определения с той лишь оговоркой, что, если в ее выражении явно или неявно участвует логарифм, то речь идет о некоторой выделенной ветви этой функции. Примерами элементарных функций

129

служат гиперболические функции комплексной переменной. Они определяются точно также,

как и соответствующие функции действительной переменной (глава IV, Ÿ4, пункт 1):

sh z = 12(ez − e−z) синус гиперболический; ch z = 12(ez + e−z) косинус гиперболический ;

sh z

th z = ch z тангенс гиперболический ;

ch z

cth z = sh z котангенс гиперболический .

Непосредственной проверкой мы можем убедиться в том, что гиперболические функции sh z è ch z выражаются через соответствующие тригонометрические по формулам

sh z = −i sin iz, ch z = cos iz.

Первые две из этих функций являются аналитическими во всей комплексной плоскости, а

функции th z è cth z аналитичны везде, кроме точек zk =						(2k+1)π	i, k Z è zn = πni, n
						2
Z, соответственно. Выражения для производных этих функций точно такие же, как и для
соответствующих функций действительной переменной:
(sh z)′ = ch z;
(ch z)′ = sh z;
(th z)′ =		1		;

	ch2 z
(cth z)′ =		−	1		.

			sh2 z

Ÿ4. Интеграл функции комплексной переменной. Интегральные теорема и формула Коши

Пусть L кусочно-гладкая, содержащая свои граничные точки, линия на комплексной плоскости. Выберем на ней определенную ориентацию. В соответствии с выбранной ориентацией

разобьем линию на малые части точками z0, z1, . . . , zn (z0 начальная, zn конечная точки линии) и на каждой из дуг zk−1zk, k = 1, n выберем произвольно по точке ck.

Рассмотрим однозначную функцию комплексной переменной f(z), заданную на кривой L.

Составим для нее интегральную сумму

∑n

In = f(ck)∆zk,

k=1

ãäå ∆zk = zk − zk−1, k = 1, n.

Определение. Конечный предел (если он существует ) интегральных сумм In ïðè óñëî- вии, что диаметры всех частей разбиения линии L стремятся к нулю, не зависящий ни

от способа разбиения, ни от выбора точек внутри дуг разбиения, называется интегралом функции комплексной переменной f(z) ïî∫линии L. Обозначается он через

f(z)dz. (1)

Если интеграл (1) существует, то функция f(z) называется интегрируемой по линии L. Для интегралов по замкнутым кривым используется такое же обозначение, как и для криволиней-

ных интегралов:

f(z)dz.

òó æå

Свойства интеграла функции комплексной переменной

130

Найдем выражение интеграла функции комплексной переменной через действительную и мнимую части этой функции. Пусть f(z) = f(x + yi) = u(x, y) + iv(x, y) è ck = ak + bki, ∆zk =

∆xk + i∆yk, k = 1, n. Тогда интегральная сумма In преобразуется к виду

	n
	∑
	In = (u(ak, bk) + iv(ak, bk))(∆xk + i∆yk) =
n	k=1
n	n
=	(u(ak, bk)∆xk − v(ak, bk)∆yk) + i (v(ak, bk)∆xk + u(ak, bk)∆yk).
k=1	k=1
∑	∑

Очевидно, первая сумма в последнем равенстве является интегральной для векторной функ-

öèè (u(x, y), −v(x, y)), а вторая интегральной для векторной функции (v(x, y), u(x, y))				ïî
линии L. Следовательно, в пределе мы получим:		∫
∫	f(z)dz = ∫ u(x, y)dx − v(x, y)dy + i	∫	v(x, y)dx + u(x, y)dy.	(2)
L	L	L

Формально равенство (2) мы получим, если в левой части под знаком интеграла в выражении f(z)dz = (u(x, y) + iv(x, y))(dx + idy) раскроем скобки. Таким образом, интеграл функции

комплексной переменной сводится к двум криволинейным интегралам векторных функций. Из (2) следует, что непрерывная на L функция f(z) интегрируема по линии L, òàê êàê â

этом случае функции u(x, y) è v(x, y) также непрерывны на L и поэтому оба криволинейных

интеграла в правой части существуют (глава X, Ÿ1, пункт 2).

совершенно аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла векторной функции. Перечислим основные из них.

1) Åñëè f1(z), f2(z) интегрируемые по линии L с выбранной на ней ориентацией функции комплексной переменной, то интегрируема также по этой линии и функция a1f1(z) +

a2f2(z), a1, a2 C è∫	(a1f1(z) + a2f2(z))dz = a1	∫	f1(z)dz + a2	∫	f2(z)dz.
L		L		L

2) Пусть линия L с зафиксированной на ней ориентацией разбита на две дуги L1, L2 è функция f(z) интегрируема по каждой из этих дуг. Тогда данная функция интегрируема по

линии L è	∫ f(z)dz =	∫ f(z)dz + ∫ f(z)dz.
	∫ f(z)dz =	∫ f(z)dz + ∫ f(z)dz.
	L	L1	L2

3) Обозначим через L+ линию L с выбранной на ней ориентацией, а через L−

линию с противоположной ориентацией. Тогда, если функция f(z) интегрируема по L+ (L−), то она интегрируема и по L− (L+) è

∫∫

f(z)dz = − f(z)dz.

L+ L−

Все эти свойства непосредственно следуют из определения интеграла функции комплексной переменной.

4) Если функция f(z) непрерывна на линии L, òî

∫		≤ ∫	\|	\|
	f(z)dz			f(z) dl.
	f(z)dz			f(z) dl.

Åñëè æå |f(z)| ≤ M, z L для некоторой положительной константы M, òî

∫		≤

			Ml,
	f(z)dz		Ml,

131

ãäå l длина линии L.

Первое неравенство вытекает из предельного перехода в следующей оценке для интеграль-

ной суммы:

|In| =

f(ck)∆zk

≤

|f(ck)||∆zk| ≤

|f(ck)|∆lk,

ãäå ∆lk длина дуги zk

∑

−

k=1

∫ ∫ ∫

|f(z)|dl ≤ Mdl = M dl = Ml.

L L L

Обсудим теперь методы вычисления интеграла функции комплексной переменной. Естественно, мы можем использовать формулу (2), вычислив два криволинейных интеграла. Однако это не всегда удобно. Иногда проще воспользоваться комплексным параметрическим

уравнением кривой L, т. е. уравнением z = z(t), t [α, β], где комплекснозначную функцию z(t) действительного аргумента t мы будем считать непрерывно дифференцируемой. В этом случае интеграл (1) мы можем вычислить по формуле

∫	f(z)dz = ∫β f(z(t))dz(t) =	∫β f(z(t))z′(t)dt.	(3)
L	α	α

Для доказательства формулы (3) достаточно записать параметрические уравнения кривой L â âèäå x = Re z(t), y = Im z(t), t [α, β] и в формуле (2) совершить переход справа налево, выразив криволинейные интегралы через определенные по параметру t.

Пример 1. Вычислить интегралы :
a) ∫	(Re z)2 dz, ãäå L дуга параболы y = x2 от точки z1 = 2 + 4i до точки z2 = 1 + i;
	z

b)(z − z0)ndz для произвольных фиксированных z0 C, R > 0, n Z, причем

|z−z0|=R

окружность |z − z0| = R обходится против часовой стрелки.

Решение. a) Воспользуемся формулой (2). Полагая z = x + yi, мы получим:

∫	z	dz =	x + yi	(dx + idy) =	∫	xdx − ydy	+ i	∫	ydx + xdy	.
	(Re z)2		x2			x2
		∫							x2
L		L			L			L

Вычислим каждый из криволинейных интегралов:

∫

( x −

)

xdx − ydy

xdx − x2dx2

I =

dx2

(

ln x − x2

= ln 1

− 1 − (ln 2

− 4) = 3 − ln 2;

ydx + xdy

dx + xdx

I2 = ∫

= ∫

(dx + 2dx) = 3x 2

= −3.

Тогда

∫

(Re z)2 dz = I1 + I2i = 3 − ln 2 − 3i.

b) Пусть z0 = x0 + y0i, x0, y0 R. Тогда параметрические уравнения данной окружности имеют вид:

x = x0 + R cos t, y = y0 + R sin t, t R

132

и, значит,

z = x + yi = x0 + y0i + R(cos t + i sin t) = z0 + Reit,

ò. å.

z= z0 + Reit

комплексное параметрическое уравнение окружности. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (3):

	I		2π			2π	2π
I =	I	(z − z0)ndz = ∫		(Reit)nd z0 + Reit	)	= ∫	RneintRieitdt = Rn+1i ∫	ei(n+1)tdt.
	\|z−z0\|=R		0	(	)	0	0

Åñëè n ̸=−1, òî

Rn+1i

2π

Rn+1

Ïðè n = 1

I =

ei(n+1)t

(e2πi(n+1) − 1) =

(1 − 1) = 0.

i(n + 1)

n + 1

−

2π

I = i ∫

dt = it 0

= 2πi.

Таким образом,

−

z0)ndz =

{

2πi, n = −1,

0, n ̸=−1.

|z−z0|=R

Элегантные утверждения имеют место для интегралов аналитических в некоторой обла-

сти функций. Речь будет идти об интеграле по замкнутой кривой (контуру), ограничивающему область на комплексной плоскости.

Интегральная теорема Коши. Пусть функция комплексной переменной f(z) является

аналитической в односвязной области	D è L D простая, замкнутая, ориентированная,
кусочно-гладкая линия. Тогда	I
	f(z)dz = 0.

Мы приведем упрощенное доказательство этой теоремы в предположении непрерывности производной f′(z) в области D (как мы увидим в дальнейшем аналитическая функция явля-

ется бесконечно дифференцируемой).

Ввиду непрерывности функции на кривой L интеграл

f(z)dz

существует и для него справедлива формула (2). Благодаря сделанному предположению, дей-

ствительная u(x, y) и мнимая v(x, y) части функции f(z)									непрерывно дифференцируемы в
замкнутой области D, ограниченной контуром L и, стало быть, к каждому из интегралов в
		можем применить формулу Грина					(глава X, Ÿ2), в соответствии с которой
правой части (2) ìû e			u(x, y)dx − v(x, y)dy = ∫∫ (−vx′
		I1 = I	u(x, y)dx − v(x, y)dy = ∫∫ (−vx′				(x, y)) − uy′ (x, y))dxdy,
		L			D
		I2 = I			D
		I2 = I	v(x, y)dx + u(x, y)dy =e∫∫ (ux′ (x, y) − vy′ (x, y))dxdy.
		L			D
					D
Ввиду аналитичности функции f(z) всюду в					области	D		выполняются условия Коши-Римана
Ввиду аналитичности функции f(z) всюду в					e	D
u′	(x, y) = v′	(x, y), u′ (x, y) = v′		(x, y)	u′ (x, y)	−	v′ (x, y) = 0, v′ (x, y)			u′ (x, y) = 0.
x	y	y	− x		x	−		y	− x	− y

133

Следовательно,	I
	I1 = I2 = 0 = f(z)dz = I1 + I2i = 0.

Следствие. Пусть функция f(z) удовлетворяет условиям интегральной теоремы Коши. Тогда интеграл этой функции по любой простой, кусочно-гладкой линии L D, соединяющей две фиксированные точки z1, z2 D, не зависит от L.

В самом деле, пусть L1 è L2 две кривые, ведущие из точки z1 в точку z2.

	L1	z2
	L1
	z1	L2
	z1	D
		D
	O	x
	O

Обозначим через L2− кривую L2 с противоположной ориентацией, т. е. ведущую из z2 â z1.
Тогда L1 L2− замкнутый контур и по интегральной теореме Коши
			I	f(z)dz = 0.
		L1	L2−
Воспользовавшись свойствами 2) и 3) интеграла, мы получаем						∫ f(z)dz = ∫ f(z)dz,
I	f(z)dz = ∫	f(z)dz+∫ f(z)dz = 0		∫	f(z)dz = − ∫ f(z)dz	∫ f(z)dz = ∫ f(z)dz,
L1 L2−	L1	L2−		L1	L2−	L1	L2

что и доказывает следствие. Ясно, что в этом случае значение интеграла определяется только начальной и конечной точками, поэтому он обозначается через

∫z2

f(z)dz

и называется определенным интегралом.

Покажем, что функция f(z), удовлетворяющая условиям интегральной теоремы Коши, обладает первообразной, т. е. существует функция комплексной переменной F (z), для которой

F ′(z) = f(z), z D.

В качестве такой первообразной мы можем взять интеграл

F (z) = ∫z f(s)ds,						(4)
	z0
ãäå z0 фиксированная точка области D. В самом деле,
	z+∆z		z		z+∆z
∆F (z, ∆z) = F (z + ∆z) − F (z) =	∫	f(s)ds −	∫	f(s)ds =	∫	f(s)ds.
	z0		z0		z

В качестве пути интегрирования в последнем интеграле мы выберем отрезок прямой, соединяющей точки z è z + ∆z. Параметрическое уравнение этого отрезка

s = z + t∆z, t [0, 1].

134

Применяя формулу (3), мы получим:

z+∆z		1	1
∫z	f(s)ds =	∫0	f(z + t∆z)∆zdt = ∆z ∫0	f(z + t∆z)dt.

Следовательно,

		1
	∆F (z, ∆z)	= ∫0	f(z + t∆z)dt.

	∆z
Пусть z = x + yi, ∆z = ∆x + i∆y. Тогда

∫1 ∫1 ∫1

f(z + t∆z)dt = u(x + t∆x, y + t∆y)dt + i v(x + t∆x, y + t∆y)dt.

0 0 0

К интегралам в правой части мы применим теорему о среднем для определенного интеграла (глава VII, Ÿ1):

∫1 ∫1

u(x+t∆x, y +t∆y)dt = u(x+t1∆x, y +t1∆y), v(x+t∆x, y +t∆y)dt = v(x+t2∆x, y +t2∆y),

0 0

ãäå t1, t2 [0, 1]. Таким образом,

∆F (z, ∆z) = u(x + t1∆x, y + t1∆y) + iv(x + t2∆x, y + t2∆y) ∆z

и, стало быть,

lim			∆F (z, ∆z)	=	lim (u(x+t1∆x, y+t1∆y)+iv(x+t2∆x, y+t2∆y)) = u(x, y)+iv(x, y) = f(z),
lim		0	∆z	=
∆z	→	0	∆z		∆x→0
	→				∆y	→	0
						→

ò. å.	∆F (z, ∆z)
F ′(z) = lim		= f(z).
	∆z
∆z→0

Используя формулу (8) из Ÿ2, несложно убедиться в том, что любые две первообразные F1(z)

è F2(z) функции f(z) связаны комплексной константой, т. е. существует комплексное число

C такое, что

F2(z) = F1(z) + C.

(5)

Верна в этом случае также и формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного

интеграла:	z2
	z2								z2
	z1
	∫
	∫	f(z)dz = F (z2) − F (z1) = F (z) z1								,
ãäå F (z) некоторая первообразная функции f(z). Для доказательства											достаточно восполь-
зоваться формулой (4) и учесть соотношение (5).
Пример 2.	Вычислить интеграл		∫
			∫	z sin2 z2dz
			L
по кривой L, соединяющей точки z1 = −√					i è z2 =	√		i.
по кривой L, соединяющей точки z1 = −√				π4	i è z2 =	√	π2	i.

135

Решение. Элементарная

функция z sin2 z2

является

аналитической во всей комплекс-

ной плоскости, поэтому для вычисления данного интеграла применима формула Ньютона-

Лейбница.

∫

z sin2 z2dz = ∫

z sin2 z2dz =

1 − cos 2z2

d 2z2

8 ∫

√π2 i

(

) (

)

(

2z2 − sin 2z2

)

√

π4 i

π + 2

((−π − sin(−π)) − (−π/2 − sin(−π/2))) = − 16 .

−

Переформулируем интегральную

теорему Коши для многосвязной области на комплексной

плоскости.

Интегральная теорема Коши для многосвязной области. Пусть ôóíкция комплекс-

ной переменной f(z) является аналитической в области

D è L, Li, i = 1, n непересекаю-

щиеся, простые, замкнутые, кусочно-гладкие, контуры содержащиеся в области D, причем

все контуры Li, i = 1, n охватываются контуром L и ни один из них не вложен в дру-

гой. Тогда, åñли многосвязная область на комплексной плоскости, ограниченная контурами

L, Li, i = 1, n содержится в области D, то при условии одинаковой ориентации всех конту-

ðîâ L, Li, i = 1, n

f(z)dz = k=1 I f(z)dz,

∑Lk

Для простоты проведем рассуждения для двухсвязной области.

LMM1

Соединим точку M L с точкой M1 L1 простой, кусочно-гладкой линией LMM1 , содержа-

щейся в области, ограниченной контурами L è L1. Для определенности будем считать, что

линии L è L1 положительно ориентированы, т. е. при их обходе соответствующие области

остаются слева. Линия L′ = LMM1

L1−

LM1M

L, ãäå L1− кривая L1 с отрицательной ори-

ентацией, является границей уже

односвязной области. Применяя к ней интегральную теорему

Êîøè è свойства 2) и 3) интеграла функции комплексной переменной, мы получим:

I f(z)dz =

∫

f(z)dz +

I f(z)dz +

∫

f(z)dz + I

f(z)dz =

L′

LMM1

L−

LM1M

∫

f(z)dz − I f(z)dz − ∫

f(z)dz + I f(z)dz = 0 = I f(z)dz = I f(z)dz.

LMM1

Основой многих приложений теории функций комплексной переменной является

Интегральная формула Коши. Пусть функция комплексной переменной f(z) является

аналитической в односвязной области D è D D область, ограниченная простой, замкну-

той, кусочно-гладкой, положительно ориентированной линией

Тогда для любой точки

D имеет место формула

)

f(z) = 2πi

tf(tz

dt.

(6)

−

2επ .

136

Äо к а з а т е л ь с т в о. Возьмем круг радиуса r с центром в точке z, целиком содержащийся

âобласти D. Уравнение ограничивающей его окружности запишем в виде |t − z| = r, t C.

Будем считать ее положительно ориентированной. Функция f(t)	t
t−z комплексной переменной

является аналитической в двухсвязной области, ограниченной линией L и окружностью |t − z| = r.

Тогда по интегральной теореме Коши для многосвязной области

I	(t)		I	f(t)
	f	dt =			dt.
	t − z			t − z

L|t−z|=r

Учитывая, что (пример 1, b))	I	dt
			= 2πi,

		t − z

мы можем записать

|t−z|=r

)

f(t)

f(t

dt −

2πif(z) =

dt − 2πif(z) =

t z

−

|t−z|=r

f(t) − f(z)

f(t)

−

f(z)

dt =

dt.

t − z

|t−z|=r |t−z|=r |t−z|=r

Таким образом, интеграл	I	f(t) − f(z) dt
		f(t) − f(z) dt
		t − z
	\|t−z\|=r

не зависит от r. Покажем, что он равен нулю. Ввиду своей аналитичности функция f(z) является и непрерывной в области D, поэтому при любом заданном ε > 0 мы можем подобрать радиус r настолько малым, чтобы для всех точек окружности |t − z| = r выполнялось неравенство

|f(t) − f(z)| <

Тогда, пользуясь свойством 4) интеграла функции комплексной переменной, мы получим:

t z

≤

t z

≤

f(t)

− f(z)

f(t)

− f(z)

dl =

2π

2πr = ε.

÷òî

Поскольку ε произвольно мало, то отсюда

и следует,

−

− |

f(t) − f(z)

dt = 0,

t − z

|t−z|=r

						137
а, значит, и	I	)
		)	dt − 2πif(z) = 0,
		tf(tz	dt − 2πif(z) = 0,
	L	−
что равносильно (6).
Интегральная формула Коши позволяет вычислить функцию комплексной переменной
внутри области, если она известна только на границе этой области и по этой причине она
широко используется в математической физике при решении краевых или граничных задач.
С другой стороны, из (6) следует, что
	I		)
	I	zf(zz0 dz = 2πif(z0)				(7)
	L	−
и, таким образом, интегральная формула Коши позволяет вычислять интегралы по замкнутым
контурам.
Пример 3. Вычислить интеграл		I
			e−z
			4z2 + π2 dz.
		\|z−1\|=2
Окружность \|z − 1\| = 2 положительно ориентирована.
Решение. Подынтегральная функция является аналитической везде за исключением точек
z1 = −π2 i, z2 = π2 i. Обе они располагаются внутри окружности интегрирования. Пусть L1, L2
непересекающиеся, положительно ориентированные окружности с центрами в точках z1, z2,
соответственно, содержащиеся внутри окружности \|z − 1\| = 2.
		y
		2
		L2
		1
					x
	-1	O	1	2	3
		-1
		L1
		-2
Ïî интегральной теореме Коши для многосвязной области
I	e−z		e−z			e−z
I	4z2 + π2 dz = I		4z2 + π2 dz + I			4z2 + π2 dz.
\|z−1\|=2		L1			L2

Каждый из интегралов в правой части мы вычислим по формуле (7).

	e−z
I1 = I		dz = I
	4z2 + π2
L1		L1

Здесь f(z) = e−z , поэтому

4(z− π2 i)

e−z

4(z− π2 i) dz. z + π2 i

eπ2 i

Аналогично

= 2πif (−

2 i)

= 2πi ·

(

π2 i

)

= −2

(cos 2

+ i sin 2 ) = −2i.

4 −π2 i −

e−z

e− π2 i

(

)

(

))

−

4(z+ π2 i)

I2 = I

4z2 + π2 dz = I

(

π2 i + π2 i

)

= 2

−2

= −2i.

π2 i dz = 2πi · 4

cos

+ i sin

138

Поэтому	I	e−z

			dz = I1 + I2 = −i.
		4z2 + π2

|z−1|=2

Продифференцировав формально по переменной z обе части равенства (6), мы получим:

f(t)

′

f(t)

′

f(t)

f′(z) =

(

)

dt =

dt.

(8)

2πi

−

2πi

−

2πi

−

z)2

Проверка этой формулы технически мало отличается от доказательства интегральной формулы Коши (6).

Аналогично, отправляясь от формулы (8), повторным дифференцированием мы можем убедиться в том, что существует вторая производная f′′(z) è

f′′(z) =

f(t)

dt.

2πi

−

z)3

Дальнейшее дифференцирование приводит к общей формуле

f(n)(z) =

f(t)

dt, n N.

(9)

2πi

−

z)n+1

Таким образом, аналитическая в односвязной области функция комплексной переменной

бесконечно дифференцируема и для ее производных имеет место формула (9).

Äëÿ вычисления интегралов формулу (9) мы перепишем в виде

f(z)

dz =

2πi

f(n−1)(z0), n N.

(10)

−

z0)n

−

1)!

Пример 4. Вычислить интеграл

sin 3z

z3 + z2

по положительно ориентированной окружности L : |z| = 21 .

Решение. Поскольку

dz = I

sin 3z

z+1

dz,

z3 + z2

то, учитывая, что функция f(z) =

sin 3z

, мы можем

z+1 является аналитической в круге |z| ≤

воспользоваться формулой (10) при n = 2 è z0 = 0. Òàê êàê

(z) =

sin 3z

′ =

(sin 3z)′(z + 1) − sin 3z · (z + 1)′

3 cos 3z · (z + 1) − sin 3z

( z + 1 )

′

(z + 1)2

òî

sin 3z

dz = 2πif′(0) = 2πi · 3 = 6πi.

z3 + z2

В заключение этого параграфа вернемся к представлению аналитической в односвязной области D функции комплексной переменной f(z) через действительную и мнимую части:

f(z) = u(x, y) + iv(x, y).

Во всех точках области выполняются условия Коши-Римана

ux′ (x, y) = vy′ (x, y), uy′ (x, y) = −vx′ (x, y).

(11)

Выше мы отметили, что аналитическая функция бесконечно дифференцируема, что дает нам право почленного дифференцирования равенств (11):

u′′xx(x, y) = vyx′′ (x, y), u′′yy(x, y) = −vxy′′ (x, y).

139

Отсюда, учитывая, что vxy′′ (x, y) = vyx′′ (x, y) (глава VIII, Ÿ3), следует u′′xx(x, y) + u′′yy(x, y) = 0.

Таким образом, функция u(x, y) удовлетворяет уравнению Лапласа ∆u = 0, т. е. она являет-

ся гармонической. Совершенно аналогично мы можем убедиться в том, что и функция v(x, y)

также гармоническая.

Гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, называются сопря-

женными гармоническими. Выше мы убедились в том, что действительная и мнимая части аналитической в односвязной области функции комплексной переменной являются сопряженными гармоническими.

Если известна îäíà из пары сопряженных другую. Пусть, например, известна функция векторное поле на плоскости

гармонических функций, то нетрудно найти и v(x, y). Найдем u(x, y). Для этого заметим, что

a¯(x, y) = vy′ (x, y)¯ı − vx′ (x, y)¯ȷ

является потенциальным, поскольку ∂yvy′ (x, y) = vyy′′ (x, y) = −vxx′′ (x, y) = ∂x(−vx′ (x, y)). Тогда из (11) следует, что функция u(x, y) служит потенциалом поля a¯(x, y) и, стало быть, она может быть найдена как криволинейный интеграл

(∫x,y)

u(x, y) = vy′ (s, t)ds − vx′ (s, t)dt + C, C R, (12)

(x0,y0)

где интегрирование проводится по любой линии, расположенной в области D и соединяющей точки (x0, y0) è (x, y). Эта формула была получена нами в главе XI, Ÿ3. Если область D является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат, то функцию u(x, y) мы можем найти по формуле

u(x, y) = ∫x vy′ (s, y)ds −	∫y vx′ (x0, t)dt + C.	(13)
x0	y0

Аналогично, если известна функция u(x, y), то для нахождения второй функции v(x, y) мы можем использовать формулу

v(x, y) =	(∫x,y)	−uy′ (s, t)ds + ux′ (s, t)dt + C	(14)
(x0,y0)
или формулу	∫x uy′ (s, y)ds + ∫y ux′ (x0, t)dt + C.
v(x, y) = −	∫x uy′ (s, y)ds + ∫y ux′ (x0, t)dt + C.		(15)
	x0	y0

Таким образом, мы можем, пользуясь формулами (12) (15), восстановить аналитиче-

скую функцию комплексной переменной по одной из ее частей (действительной или мнимой). Пример 5. Убедиться в том, что функция u(x, y) = ex(x cos y − y sin y) может служить

действительной частью аналитической функции f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Найти мнимую часть v(x, y) и записать выражение для функции f(z).

Решение. Покажем, что функция u(x, y) гармоническая. Действительно,

u′x = ex(x cos y − y sin y + cos y), u′y = ex(−x sin y − sin y − y cos y); u′′xx = ex(x cos y − y sin y + 2 cos y), u′′yy = ex(−x cos y − 2 cos y + y sin y)

140

и, значит, u′′xx+u′′yy = 0. Функцию v(x, y) мы найдем по формуле (15), взяв в качестве стартовой точку O(0, 0).

∫x ∫y

v(x, y) = − es(−s sin y − sin y − y cos y)ds + (−t sin t + cos t)dt + C =

0 0

= ∫

+ C =

(s sin y + sin y + y cos y)des

+ ∫

td cos t + sin t 0

− ∫

esd(s sin y + sin y + y cos y)+

= (s sin y + sin y + y cos y)es 0

+ t cos t 0

− ∫

cos tdt + sin y + C = (x sin y + sin y + y cos y)ex − (sin y + y cos y)−

− e

+ sin y + C = e (x sin y + y cos y) + C.

0 sin y + y cos y − sin t 0

Следовательно,

f(z) = ex(x cos y − y sin y) + i(ex(x sin y + y cos y) + C) =

= ex(x cos y − y sin y + i(x sin y + y cos y)) + Ci = (x + yi)ex(cos y + i sin y) + Ci = zez + Ci.

Таким образом,

f(z) = zez + Ci, C R.

Ÿ5. Комплексные числовые ряды. Степенные комплексные ряды. Ряд Тейлора аналитической функции

Теория действительных числовых и степенных рядов естественным образом обобщается и

на случай рядов комплексных чисел.

По определению, комплексным числовым рядом называется бесконечная сумма, слагаемыми которой являются комплексные числа :

∑∞

c1 + c2 + . . . + cn + . . . = cn.	(1)
n=1

Ряд (1) считается сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм, т. е. существует предел

				lim Cn,	(2)
			n	n→∞
			n
ãäå Cn = c1 + c2 + . . . + cn			= k=1 ck, n N. Предел (2) принимается за сумму ðÿäà (1).
Соответственно, ряд (1)		расходится
Соответственно, ряд (1)			∑	, если предел (2) не существует или равен бесконечности.
Пусть
n	n			cn = an + bni, n N

è An = ak, Bn = bk, n N. Тогда Cn = An + Bni, n N. Âûøå (Ÿ1) мы отметили, что

k=1 k=1

предел	(2) существует в том и только в				том случае, когда существуют оба предела		lim An
предел	∑	∑			том случае, когда существуют оба предела		lim An
							n→∞
è lim Bn, причем		lim Cn =	lim An + i lim Bn. Таким образом, ðÿä (1) сходится тогда и
n→∞		n→∞	n→∞		n→∞
только тогда, когда сходятся ряды					∞	∞
					∞	∞
					an,	bn,	(3)
				n=1		n=1
				∑		∑

141

составленные из действительных и мнимых частей, причем

∞	∞	∞
∑	∑	∑
	cn =	an + i bn.
n=1	n=1	n=1
В главе XII, Ÿ1 мы доказали необходимый признак сходимости для действительного ряда,

который без изменений переносится и на комплексный ряд: åñëè ðÿä		(1) сходится, то его
общее слагаемое исчезает на бесконечности, т.е.
nlim cn = 0 nlim \|cn\| = 0.		(4)
→∞	→∞

Ðÿä (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится положительный числовой ряд

∑∞

|cn|.

n=1

Из неравенств |an|, |bn| ≤ |cn|, n N è |cn| ≤ |an| + |bn|, n N è признака сравнения для

положительных рядов (глава XII, Ÿ1) следует, что комплексный ряд (1) абсолютно сходится

в том и только в том случае, когда абсолютно сходятся оба ðÿäà (3). Отсюда мы сразу

же заключаем, что из абсолютной сходимости ряда

(1) следует его сходимость. Обратное,

вообще говоря, неверно.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряды :

∞

1 + i

∞ in

a) n=1(1 + ni) (

)

; b) n=1 n .

∑

Решение. а) Покажем, что данный ряд сходится абсолютно . Òàê êàê

√

+ i

1 + i

(1 + ni) (1

= |1 + ni|

)

= √1 + n2 ( 2

òî

∞

1 + i

∞

√

1 + n2 (

)

(1 + ni)

(

)

n=1

∑

∑ √

√2

Применим к последнему ряду

признак Даламбера

(глава XII, Ÿ1). Здесь an =

√1 + n

(

)

поэтому

√

n+1

lim

an+1

= lim

1 + (n + 1)

√

→∞

√

(

)

√1 + n

√

nlim √

+ (1 +

1 )2

1 + (n + 1)2

nlim

· 1 =

< 1,

√

1 + n2

+ 1

→∞

что и означает абсолютную сходимость ряда а).

b) Здесь абсолютной сходимости не наблюдается , так как ряд из модулей

∞

∞ 1

n=1

= n=1 n

∑

совпадает с гармоническим рядом, который,

êàê ìû

установили в главе XII, Ÿ1, расходится.

Ñàì æå ðÿä b) сходится, поскольку мы можем представить его в виде

∞ in

∞

(−1)n

+ i

∞

(−1)n+1

n=1 n

n=1

−

∑

а оба знакочередующихся ряда в правой части сходятся по признаку Лейбница (глава XII, Ÿ1).

Теорема 2.

142

Комплексным степенным рядо м с центром в точке z0 C называется ряд, составленный

из целых неотрицательных степеней линейного выражения z − z0 с комплексными коэффици-

ентами:	∞
	∞
	∑
	cn(z − z0)n.	(5)

n=0

Ðÿä (5) сходится равномерно к своей сумме C(z) на множестве D, если для любого положительного числа ε найдется номер nε такой, что при n > nε äëÿ âñåõ z D выполняется

неравенство	C(z) −

n	ck(z − z0)k	< ε		∞
∑			∑


k=0			k=n+1

ck(z − z0)k < ε.

В главе XII, Ÿ3 мы доказали теорему Абеля, которая позволила нам выяснить структуру множества сходимости действительного степенного ряда. Для комплексного степенного ряда

(5) справедлив аналог этой теоремы и его доказательство также совершенно аналогично.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (5) сходится в некоторой точке z1 ̸=z0, то он сходится абсолютно в круге |z − z0| < |z1 − z0|, а в любом круге |z − z0| ≤ r, 0 < r < |z1 − z0| этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Из этой теоремы следует, что для некоторого неотрицательного числа R внутри круга

|z − z0| < R

комплексный степенной ряд (5) сходится абсолютно, вне этого круга он расходится, à â

точках окружности |z − z0| = R требуется дополнительное исследование там он может как

сходиться, так и расходиться . Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Для вычисления радиуса сходимости, как и в главе XII, Ÿ3, мы можем в подходящих случаях использовать, например, признаки Даламбера èëè Êîøè.

Точно также, как и в предыдущей главе, несложно проверить, что внутри круга сходимо-

сти степенной ряд (5) мы имеем право почленно дифференцировать и интегрировать любое

количество раз и полученные после этого степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Отсюда, в частности, следует, что сумма степенного ряда является

аналитической функцией внутри круга сходимости.

Важным для нас примером степенного комплексного ряда является ряд геометрической

прогрессии

∑∞

n=0

с комплексным знаменателем z. Очевидно, радиус его сходимости равен 1 и, таким образом, данный ряд сходится абсолютно в круге |z| < 1, вне круга он расходится, а в любой точке

окружности |z| = 1

lim |zn| = lim |z|n = 1 ̸= 0

n→∞ n→∞

и, значит, ряд также расходится, поскольку для него не выполняется необходимое условие

сходимости (4). Сумма этого ряда, как и соответствующего действительного, равна					1	, ò. å.
				∞	1−z	, ò. å.
					1−z
	1
	−			∑
1		z	=	zn, \|z\| < 1.		(6)
				n=0

Докажем теперь теорему о разложении аналитической функции в степенной ряд.

Пусть функция f(z) является аналитической в области D комплексной плоскости и z0 D. Тогда в круге |z −z0| < r, r > 0, содержащемся в области D, данная функция

представляется степенным рядом			(5), коэффициенты которого вычисляются по формулам
		(n)		1	I	f(z)dz
cn =	f	(z0)	=				, 0 ≤ n Z,	(7)

		n!		2πi		(z − z0)n+1

|z−z0|=r

				143
ò.å.	∞	f(n)(z0)
	∞	f(n)(z0)
	∑		(z − z0)n.
	f(z) =	n!	(z − z0)n.	(8)
	n=0

Ряд в правой части равенства (8) называется рядом Тейлора функции f(z) в точке z0 (рядом

Маклорена, если z0 = 0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, прежде всего, что выражение (7) для коэффициентов ряда Тейлора следует из формулы (9) предыдущего параграфа. Далее, поскольку

−

z0)

−

z0)

−

z−z0

t z0

−

то, пользуясь разложением (6), мы можем записать

1	=	∞	(z − z0)n		,	(9)
t z			(t z0)n+1

−		n=0		−
		∑

причем для любой точки t окружности |t −z0| = r ряд в правой части абсолютно сходится при

z−z0

< 1

−

< r.

−Оценим

теперь по модулю разность между функцией f(z) è n-ой частичной суммой ряда

Тейлора,

воспользовавшись интегральной формулой Коши, разложением (9) и свойством 4),

Ÿ4 интеграла функции комплексной переменной.

f(k)

(z0)

f(t)dt

f(z)

− k=0

−

z0)k

− k=0

f(t)d

−

z0)k

k+1

2πi

−

2πi

−

z0)

∑

−

∑

−

z0)

f(t)(z

z0)

∞

f(t)

−

− k=0

−

k+1

2πi

k=0

−

z0)

2πi

−

z0)

−

∑

−

∞

z0)

∞

z0)

f(t)

−

k+1

f(t)

k=n+1

−

k+1

dl.

2πi

k=n+1 (t

−

z0)

≤ 2π

−

z0)

−

∑

t z0

∑

| −

окружности

= r è,

Ввиду аналитичности

функции f(z) она является

непрерывной на

−

стало быть, по теореме Вейерштрасса (глава VIII, Ÿ1) ее модуль |f(z)| ограничен на данной окружности, т. е. найдется константа M > 0, для которой во всех точках окружности

|f(z)| ≤ M.

(10)

Далее, для любой точки t окружности |t − z0| = r

∞

(z − z0)k

∞

|z − z0|k

∞

z − z0|

k .

∑

−

z0)k+1

−

k+1

)

k=n+1 (t

≤ k=n+1

r k=n+1

прогрессии

Остаток сходящегося

ряда геометрической

∞

z − z0|

∑

(

)

n=0

бесконечно мал при n → ∞ и, значит, для любого положительного числа ε найдется номер nε,

начиная с которого

∞

z − z0| k <

ε .

∑

(

)

k=n+1

Следовательно, для всех точек t окружности |t − z0| = r

∞

z0)k

∑

−z0)k+1

, n > nε.

(11)

−

k=n+1

144

Учитывая неравенства (10) и (11), мы можем продолжить начатую выше оценку:

∑

t z0

f(k)(z )

1 ε

f(z) − k=0

k! 0 (z − z0)k

≤

2π

M · rM dl = 2π

· r

· 2πr = ε.

Отсюда, ввиду

произвольного выбора ε и следует представление (8).

Замечание. Возникает вопрос о наибольшем радиусе круга с центром в точке z0, внутри которого справедливо разложение (8). Этот радиус равен расстоянию от точки z0 до ближайшей точки, где теряется аналитичность функции f(z).

Запишем разложения некоторых элементарных аналитических функций комплексной пе-

ременной в степенные ряды. По виду они ничем не будут отличаться от соответствующих разложений функций действительного аргумента, найденных в главе XII, Ÿ3, поскольку в Ÿ3 настоящей главы мы установили, что производные основных элементарных функций комплексной переменной сохраняют вид производных соответствующих функций действительного аргумента.

1) ez = 1 +

∞

+ . . . +

+ . . . =

, z C;

n=0

∑

∞

n+1 z2n−1

2) sin z = z −

+ . . . + (−1)

+ . . . =

(−1)

, z C;

(2n

1)!

n=1

(2n 1)!

−

z2n

∞

∑

z2n

+ . . . + (−1)n

(−1)n

3) cos z = 1 −

+ . . . =

, z C;

(2n)!

n=0

∑

z2n−1

∞

z2n−1

4) sh z = z +

+ . . . +

+ . . . = n=1

, z C;

(2n

−

1)!

(2n

−

1)!

∑

+ . . . +

z2n

∞ z2n

5) ch z = 1 +

(2n)! + . . . = n=0 (2n)!, z C;

∑

∞

= 1 − z + z2 − z3 + . . . + (−1)nzn + . . . =

(−1)nzn, |z| < 1;

1 + z

n=0

∑

∞

n+1 zn

7) ln(1 + z) = z −

−

+ . . . + (−1)

+ . . . =

(−1)

, |z| < 1.

n=1

∑

Из разложения 2) следует, что

sin z		z2 z4				z2n		∞	z2n
								∑
z	= 1 −	3!	+	5!	+ . . . + (−1)n	(2n + 1)!	+ . . . =	(−1)n	(2n + 1)!	, 0 ̸=z C.
								n=0

Значит, как и случае действительной переменной,

lim sin z = 1.

z→0 z

Ÿ6. Ряд Лорана. Изолированные особые точки аналитической функции

Ряд Лорана в точке z0 является обобщением комплексного степенного ряда на случай произвольных целых степеней линейного выражения z − z0, т. е. он имеет вид:

∑∞

cn(z − z0)n = . . . + c−m(z − z0)−m + . . . + c−2(z − z0)−2 + c−1(z − z0)−1+

n=−∞

(1)

+c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + . . . + cn(z − z0)n + . . . .

Формально ряд Лорана состоит из двух рядов: ряда по отрицательным степеням

∑∞

c−m(z − z0)−m

(2)

m=1

	145
и ряда по неотрицательным степеням
∞
∑
cn(z − z0)n.	(3)

n=0

Будем считать по определению ряд Лорана (1) сходящимся в точке z, если сходятся оба

ðÿäà (2) è (3). Если по крайней мере один из этих рядов расходится, то и ряд (1) также

расходится.

Выясним структуру множества сходимости ряда Лорана. Ряд (2) подстановкой t = (z−z0)−1

сводится к степенному ряду	∞
	∞
	∑
	c−mtm	(4)

m=1

è, åñëè r−1 конечный радиус его сходимости, то данный ряд абсолютно сходится при |t| < r−1


и, значит, ряд (2) абсолютно сходится, когда			внешность круга радиуса r с центром в точке
т. е. множеством сходимости ряда−(2) является
	(z z0)−1	< r−1 \|z − z0\| > r,

z0. Если ряд (4) сходится при всех t, то ряд (2) сходится при |z − z0| > 0, ò. å. ïðè âñåõ z, исключая точку z0. Ряд же (3) абсолютно сходится в некотором круге |z − z0| < R. Тогда ïðè

условии r < R ряд Лорана (1) абсолютно сходится в кольце r < |z − z0| < R и внутри кольца

сходимости он допускает почленное дифференцирование и интегрирование. Во всех точках

вне кольца ряд Лорана расходится, так как в каждой такой точке расходится один из рядов

(2) или (3). В точках ограничивающих кольцо окружностей ряд (1) может как сходиться, так и расходиться.

Теорема Лорана. Аналитическая в круговом кольце 0 ≤ r < |z − z0| < R ≤ +∞ функция

f(z) представляется в этом кольце абсолютно сходящимся					рядом Лорана (1), коэффициенты
которого вычисляются по формулам
1		I	f(z)dz		< R, n Z.
cn =				, r < r1
	2πi		(z − z0)n+1

|z−z0|=r1

Доказательство этой теоремы практически не отличается от доказательства теоремы 2 предыдущего параграфа.

Покажем, что указанное в теореме разложение в ряд Лорана аналитической в кольце функ-

ции единственно. В самом деле, пусть

∑∞

f(z) =	dn(z − z0)n	(5)
	n=−∞

еще одно разложение этой функции в ряд Лорана. Для любого фиксированного целого числа

k умножим обе части разложения (5) на

(z−z0)k+1 и проинтегрируем затем обе части получив-

шегося равенства по окружности |z − z0| = r1, r < r1 < R:

f(z)dz

∞

(n=

)dz = n=

=r1

(z − z0)k+1

=r1

−∞

(z − z0)k−n+1

−∞

(z − z0)k−n+1

−

∑

−

Â Ÿ4 мы установили, что

= 0,

(z − z0)k−n+1

|z−z0|=r1

åñëè k ̸=n, à ïðè k = n данный интеграл равен 2πi. Поэтому

z)dz

= 2πidk

(z − z0)k+1

|z−z0|=r1

146

и, значит,

dk =	1	I	f(z)dz	= ck, k Z,
dk =	2πi	I	(z − z0)k+1	= ck, k Z,
		\|z−z0\|=r1

что и означает единственность разложения в ряд Лорана.	z
Пример 1. Найти все разложения в ряд Лорана функции	z	в точке z0 = i.

	z2 + 1

Решение. Эта функция является аналитической везде, за исключением точек z = ±i. Найдем ее разложения в ряд Лорана в областях D1 : 0 < |z − i| < 2 è D2 : |z − i| > 2.

y
3	D2
2
1	D1
-2 -1 O	x
-2 -1 O	1 2
-1

Поскольку

i) + (z + i)

(

−

i)(z + i)

z2 + 1

−

z + i

−

то для решения задачи достаточно разложить в указанных областях функцию

. В обоих

z+i

случаях воспользуемся разложением 6) предыдущего параграфа.

В области D1 :

∞ (

1)n

z − i

1 ∞

i)n.

z + i

2i + (z

−

(

)

2i n=0

(2)

−

i) 2i · 1 + z2−ii

2i n=0

∑

Ряд в правой части сходится при

< 1

−

< 2. Таким образом, в области D

ìû

имеем разложение в ряд Лорана

2−i

∞

(

) (z − i)n).

z2 + 1

−

2i n=0

Аналогично, в области D2 :

∑

∞

( 2i)n

n=0(−1)n (

)

= n=0

−

z + i

2i + (z

1 + z2ii

i)n+1

−

∑

−

∑

−

Здесь ряд в правой

< 1

> 2. Следовательно, в области

части сходится, когда

z−i

−

(

∞

(

2i)n

)

1 ∞

( 2i)n

+ n=0

−

n=1

−

z2 + 1

−

i)n+1

−

(z i)n+1

∑

−

∑

−

Пусть всюду в дальнейшем в этом параграфе функция f(z) является аналитической в

некотором круге |z −z0| < R с выколотой точкой z0, в которой данная функция не является

аналитической. Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z).

Проведем классификацию особых точек , пользуясь тем, что по теореме Лорана данная функция в области 0 < |z − z0| < R разлагается в ряд Лорана

∑∞

f(z) =	cn(z − z0)n.	(6)
	n=−∞

1) Если разложение (6) не содержит отрицательных степеней, то z0 называется устранимой

особой точкой функции f(z).

147

2) Если (6) содержит конечное число отрицательных степеней, т. е.

∑∞

f(z) = cn(z − z0)n, m ≥ 1, c−m ̸=,0

n=−m

то точка z0 называется полюсом порядка m. Åñëè m = 1, òî z0 простой полюс.

3) Если же число отрицательных степеней в разложении (6) бесконечно, то точка z0 íàçû-

вается существенно особой.

Исследуем поведение функции вблизи особой точки.

Теорема 2. Для устранимой особой точки z0 функции f(z) существует конечный предел

lim f(z).

z→z0

Åñëè æå z0 полюс, то существует

lim f(z) = ∞.

z→z0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z0 устранимая особая точка. Тогда в области 0 < |z−z0| < R

она разлагается в ряд

∑∞

f(z) = cn(z − z0)n.

n=0

В предыдущем параграфе мы установили, что степенной ряд в правой части абсолютно сходится в круге |z −z0| < R и его сумма, которую мы обозначим через C(z), является аналитической

функцией в этом круге и во всех его точках, кроме z0, совпадает с функцией f(z). Поэтому существует

lim C(z) = lim f(z) = C(z0) = c0.

z→z0

Пусть теперь z0 полюс порядка m. Тогда

f1(z)

∞

∑

ãäå

f(z) = n=

−

m cn(z − z0)n =

(z − z0)m

∞

∑

f1(z) =

cn−m(z − z0)n

n=0

аналитическая в круге

− z0| < R

функция. Поскольку lim f (z) = c

−m ̸

=,0òî

z z0

∞

→

lim f(z) =

→

Для существенно особой точки справедлива следующая теорема, которую мы здесь приводим без доказательства.

Теорема Сохоцкого. Åñëè z0 существенно особая точка функции f(z), то для любого комплексного числа w (конечного или бесконечно удаленной точки ) найдется последовательность комплексных чисел zn, n N, сходящаяся к z0, для которой соответствующая

последовательность f(zn), n N значений функции сходится к w.

Из теоремы Сохоцкого следует, что предел функции в существенно особой точке не суще-

ствует (ни конечный, ни бесконечный).

Последние две теоремы позволяют судить о характере особой точки по поведению функции

âмалой окрестности этой точки.

1)Если существует конечный предел

lim f(z),

z→z0

òî z0 устранимая особая точка функции f(z).

Действительно, по теореме 2 она не может быть полюсом, а по теореме Сохоцкого она не может быть существенно особой.

Аналогично рассматриваются и два других случая.

148

2) Если при некотором натуральном m существует конечный, не равный нулю предел

lim (z − z0)mf(z),

z→z0

то особая точка z0 является полюсом порядка m.

3) В том случае, когда ни конечный, ни бесконечный предел

lim f(z)

z→z0

не существуют, особая точка z0 является существенно особой.

Пример 2. Покажем, что особыми точками рациональной функции могут быть только

полюсы.

Решение. Рассмотрим рациональную функцию

Pm(z), Qn(z)

ãäå Pm(z), Qn(z) полиномы комплексной переменной z степеней m ≥ 0 è n ≥ 1, соответственно, не имеющие общих корней. Очевидно, особыми точками этой функции являются корни знаменателя. Пусть z = z0 корень знаменателя кратности k. Тогда, как мы установили в главе V, Ÿ8, мы можем записать знаменатель в виде

Qn(z) = (z − z0)kRn−k(z),

ãäå Rn−k(z) полином степени n − k, для которого число z0 уже не является корнем. Тогда

lim (z

−

)

k Pm(z)

= lim

Pm(z)

Pm(z0)

̸= 0

Qn(z)

Rn k(z)

k(z0)

z→z0

−

и, таким образом, особая точка z0 полюс порядка k данной рациональной функции.

Пример 3. Определить тип особых точек функции

ez−1 sin 2z

f(z) = z3 + 2iz2 − z .

Решение. Поскольку z3 + 2iz2 − z

= z(z + i)2,

то у данной функции три особые точки:

z1 = 0, z2 = −i, z3 = 1. Исследуем поведение функции вблизи каждой из них.

2e−1

lim f(z) = lim

z−1

sin 2z

= lim

z−1

sin 2z

1 =

2e−1.

(z + i)2 · 2z

i2 ·

−

→

0 z(z + i)2

z 0

→

Следовательно, z1 = 0 устранимая особая точка.

lim (z+i)2

sin 2z

= lim

sin 2z

sin(−2i)

e−

sin 2i

lim (z

−

)2f(z) =

z−1

−i−1

i+1

=.0

z(z + i)2

z z2

→−

−

→

→−

Значит, z2 = −i полюс второго порядка.

Покажем, что в точке z3 = 1 предел функции не существует. Вычислим односторонние пределы в этой точке на действительной оси. Пусть z = x R. Тогда слева

sin 2x

sin 2

lim f(x) =

lim e

x−1

= 0

= 0,

x(x + i)2

(1 + i)2

x 1

−

→ −

→

а справа

	1			sin 2x
lim f(x) =	lim e	x−1			=		.
			· x(x + i)2			∞
x 1+0	x 1+0
→	→

Значит, предел

lim f(z)

z→z3

не существует и, стало быть, z3 = 1 существенно особая точка данной функции.

149

Ÿ7. Вычет аналитической функции в особой точке. Применение вычетов к вычислению интегралов

Пусть z0 изолированная особая точка аналитической в области D : 0 < |z − z0| < R функции f(z). Ïî теореме Лорана (Ÿ6) данная функция разлагается в области D в ряд Лорана

∑∞

f(z) =	cn(z − z0)n,	(1)
	n=−∞

коэффициенты которого находятся

1 cn = 2πi

по формулам

f(z)dz

(z − z0)n+1 , 0 < r < R, n Z.

|z−z0|=r

Определение. Вычетом функции f(z) в особой точке z0 называется коэффициент

при первой отрицательной степени в разложении в ряд Лорана (1).

Для вычета используется обозначение

res f(z).

Таким образом,

res			1	f(z)dz, 0 < r < R.
res	f(z) = c−1	= 2πi		f(z)dz, 0 < r < R.
z0	f(z) = c−1	= 2πi		I
				\|z−z0\|=r

c−1

(2)

Åñëè z0 устранимая особая точка , то в ее разложении (1) нет отрицательных степеней и поэтому в ней

res f(z) = 0.

Найдем формулу для вычисления вычета в полюсе порядка m. В этом случае

∑∞

f(z) = cn(z − z0)n, m ≥ 1, c−m ̸=.0

n=−m

Умножив обе части этого равенства на (z − z0)m, мы получим:

	∞
(z − z0)mf(z) =	∑
(z − z0)mf(z) =	cn(z − z0)n+m.
	n=−m

Ряд в правой части не содержит отрицательных степеней и вычет в нем является коэффициентом при (m − 1)-ой степени. Продифференцировав почленно (m − 1) раз последнее равенство, мы придем к соотношению

dm−1 ((z − z0)mf(z)) = (m − 1)!c−1 + ∑∞ dn(z − z0)n, dzm−1

n=1

ãäå dn = cn−1(n + m − 1)(n + m − 2) · . . . · (n + 1), n N. Отсюда следует, что

lim

dm−1

((z

−

)mf(z)) = (m

−

1)!c

−1

dzm−1

z→z0

Значит, вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле

res f(z) =

lim

dm−1

((z

−

)mf(z)).

(3)

−

1)! z

dzm

−

→

В частности, вычет в простом полюсе (m = 1) находится по формуле

res f(z) =

lim (z

−

)f(z).

→

Применение вычетов к вычислению интегралов основывается на следующем утверждении.

Теорема. Пусть функция f(z) является аналитической в односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек и L D простая, замкнутая,

150

кусочно-гладкая, положительно	ориентированная линия, не проходящая ни через одну из
особых точек. Тогда	I	f(z)dz = 2πi	n	res f(z),
			∑

L	k=1 zk

ãäå zk, k = 1, n особые точки функции, охватываемые контуром L.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Lk, k = 1, n непересекающиеся, положительно ориентированные окружности с центрами в особых точках zk, находящиеся внутри контура L.

Ïî интегральной теореме Коши

à èç формулы (2) следует, что I

y
	L1
	Z1
	L2
	Z2
	L3	Z3
	L	Z3
	L
O		x
O
для многосвязной области
I	n
I	f(z)dz = k=1 I f(z)dz,
L	∑Lk

Поэтому

Пример.

f(z)dz = 2πi res f(z), k = 1, n.

				zk
Lk
	n						n
I f(z)dz = k=1 2πi			res f(z) = 2πi				res f(z).
I f(z)dz = k=1 2πi			zk			k=1 zk
L	∑					∑
Вычислить интеграл
	1				cos z
I	(sin			+			)dz.
I	(sin	z + 2i		+	z2(2z − π)		)dz.

|z|=3

Решение. Подынтегральная функция, которую мы обозначим через f(z), является аналитической в круге |z| < 3 за исключением трех особых точек

z1 = −2i, z2 = 0, z3 = 2 .

В точке z1 = −2i предел подынтегральной функции не существует. В самом деле, при z = x − 2i

f(x	−	2i) = sin	1	+	cos(x − 2i)		.
			x		(x − 2i)2(2x − π
						− 4i)

Предел

lim sin 1

x→0 x

не существует (глава IV, Ÿ5, пункт 2), à

lim

cos(x − 2i)

cos(−2i)

cos 2i

4i)

2i)2( π

4i)

4(π + 4i)

x→0

−

2i)2(2x

−

(

−

− −

								151
поэтому lim f(x			−	2i); а, значит, и	lim f(z) не существуют. Таким образом,		z1 = −2i	ñóùå-
x	→	0	−	z	→−	2i	z1 = −2i
	→				→−

ственно особая точка функции f(z): Вычет в этой точке мы найдем, разложив функцию в ряд Лорана. Воспользовавшись найденным в Ÿ5 разложением синуса в ряд Маклорена, получим:

sin

= ∞

(−1)n+1

; z

= 2i:

−

z + 2i

∑

1)!(z + 2i)2n−1

̸ −

(2n

n=1

Функция

cos z

является аналитической в точке −2i; поэтому

z2(2z

−

)

res f(z) = res sin

= 1:

В точке z2 = 0

−2i

z + 2i

lim z2 sin

= 0

sin

= 0; lim z2

cos z

= lim

cos z

cos 0

;

· z2(2z

→

z + 2i

→

−

)

→

−

поэтому

lim z2f(z) = 0

= :0

−

→

Следовательно, z2 = 0 полюс второго порядка данной функции. Вычет в нем мы найдем по

формуле (3) ïðè m = 2: Поскольку

(z2f(z))′ = (z2 sin

cos z

)

′

−

(2z

−

) sin z + 2 cos z

= 2z sin

cos

(2z − )2

;

z + 2i

2z −

z + 2i

(z + 2i)2

z + 2i

òî

res f(z) = lim(z2f(z))′

−

→

Наконец, в точке z3 =

lim f(z) = lim

sin

cos z

→

z→ 2

(

)

z + 2i z2(2z − ))

(−

)

= lim

sin

sin z − 2

= sin

1 = sin

(

z + 2i −

2z2 ·

+ 2i

− 2 ·

+ 4i −

Значит, z3 =

устранимая особая точка и, стало быть,

res f(z) = 0:

Осталось применить доказанную теорему:

f(z)dz = 2 i

res f(z) = 2 i

+ 0

= 2

−

)

k=1 zk

(

− 2

) (

|z|=3

∑

Рассмотрим важный в приложениях случай вычисления несобственного интеграла.

Следствие. Предположим, что функция f(z) комплексного аргумента z является ана-

литической

в открытой полуплоскости

Re z

< x0; x0

R; непрерывной в замкнутой

полуплоскости

Re z

≤ x0

çà

исключением конечного числа

изолированных

особых точек

zk; Re zk < x0; k = 1; n è

lim f(z) = 0:

z!1

Re z x0

Тогда при любом > 0 сходится несобственный интеграл

x0∫+i∞

e zf(z)dz;

x0−i∞

152

где интегрирование проводится по прямой z = x0 + yi, y (−∞, +∞), параллельной мнимой оси, и

x0+i∞				n
	∫	e	γz	f(z)dz = 2πi k=1	res(eγzf(z)).
x0	∫	e		f(z)dz = 2πi k=1	zk
x0	i			∑
	− ∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольный замкнутый контур LR, R > 0, охватывающий особые точки zk, k = 1, n и состоящий из отрезка прямой Re z = x0 и полуокружности CR :

|z − x0| = R, Re z ≤ x0.

RE Z=X0

	x
O	X0

Очевидно, у функций f(z) è eγzf(z)

eγzf

общие особые точки. Тогда по доказанной выше теореме

∑n

(z)dz = 2πi

res(eγzf(z))

k=1 zk

и, значит, интеграл	I		eγzf(z)dz
	LR
не зависит от R. Разобьем его на сумму двух интегралов:
I	eγzf(z)dz = ∫			x0+Ri
I	eγzf(z)dz = ∫	eγzf(z)dz +		∫	eγzf(z)dz.
LR	CR			x0−Ri

Ïî лемме Жордана, доказательство которой можно найти, например, в учебнике Свешникова А.Г. è Тихонова А.Н. по теории функций комплексной переменной, приведенному в списке литературы,

lim

∫

eγzf(z)dz = 0,

R→+∞

поэтому

x0+Ri

lim

γz

f(z

)dz

lim

∫

γz

(z)dz +

lim

∫

γz

(z)dz

R→+∞ I

= R→+∞

R→+∞

x0−Ri

x0+i∞

= 0 +

∫

γz

f(z)dz =

∫

eγzf(z)dz = 2πi

res(eγzf(z)).

k=1 zk

∞

∑

− ∞

−

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.22 Mб1Лабораторный практикум.pdf
#
24.11.2025564.19 Кб0Лагiстыка.pdf
#
24.11.20252.38 Mб1Лексические и грамматические аспекты перевода технических текстов.pdf
#
24.11.20253.27 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (I семестр).pdf
#
24.11.20252.56 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf
#
24.11.202517.87 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (III семестр).pdf
#
24.11.2025987.88 Кб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (IV семестр).pdf
#
24.11.20251.25 Mб0Литейные сплавы.pdf
#
24.11.2025816.49 Кб0Логика пособие.pdf
#
24.11.20251.06 Mб0Логика специализированный модуль Философия.pdf
#
24.11.20255.34 Mб1Логика. Практикум.pdf