Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (III семестр).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

17.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ

В этой главе, распространив суммирование на бесконечное количество слагаемых, мы придем к такому важному, как в самой математике, так и в ее приложениях понятию, как ðÿäû.

Ÿ1. Числовые ряды, их свойства и признаки сходимости

Пусть an, n N последовательность действительных чисел.

Определение 1. Числовым рядом называется формальная сумма a1 + a2 + . . . + an + . . .

бесконечного количества слагаемых, которая коротко обозначается через

∑∞

an.

(1)

n=1

Числа, составляющие ряд, называются его слагаемыми. Соответственно, an, n N общее

слагаемое ðÿäà.

Приведенное определение ряда нельзя использовать, поскольку мы еще не знаем, что следует понимать под суммой ряда. Рассмотрим последовательность его частичных сумм

∑n

A1 = a1, A2 = a1 + a2, . . . , An = a1 + a2 + . . . + an = ak, . . . .

k=1

Определение 2. Ðÿä (1) считается сходящимся (расходящимся ), если сходится (расходится) последовательность его частичных сумм. Для сходящегося ряда предел

lim An	(2)
n→∞
называется суммой ряда.
Для суммы ряда сохраняется обозначение (1).
Пример 1. Выяснить, при каких действительных x сходится ряд
∞
∑
xn−1 = 1 + x + x2 + . . . + xn + . . . ,	(3)

n=1

составленный из элементов геометрической прогрессии, и найти его сумму.

Решение. Åñëè x = 1, то, очевидно, An = n, n N и, значит,

lim An = +∞,

n→∞

ò.е. ряд (3) расходится. При x ̸= 1

−

∑

= xk−1 = 1 + x + x2 + . . . + xn−1

− xn

, n

1 x

k=1

Поэтому, если |x| < 1, òî

lim An =

lim

1 − xn

òàê êàê

n→∞

1 − x

lim xn = 0

и, следовательно, ряд (3) сходится и

n→∞

∞

−

∑

xn−1

(4)

n=1

Åñëè æå |x| > 1, òî

lim xn = ∞

n→∞

и, стало быть, ряд (3) расходится, поскольку

lim An = lim 1 − xn = ∞.

n→∞ n→∞ 1 − x

Осталось рассмотреть случай x = −1. Здесь мы имеем ряд

∑∞

(−1)n−1 = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . ,

n=1

для которого частичные суммы An составляют последовательность

1, 0, 1, 0, . . . ,

которая предела не имеет, так как ее подпоследовательности A2n−1 = 1, A2n = 0, n N имеют, очевидно, не равные друг другу пределы 1 è 0, соответственно. Таким образом, при x = −1

ряд (3) расходится.

Следовательно, ряд геометрической прогрессии (3) сходится только тогда, когда ее знаменатель по абсолютной величине меньше 1 и сумма этого ряда находится по формуле (4).

Сформулируем простейшие свойства ряда, которые следуют из определения его сходимости.

1)Отбрасывание или добавление конечного числа слагаемых ряда не влияет на характер его сходимости. Эта операция может отразиться только на сумме сходящегося ряда.

2)Åñëè ðÿäû

∞∑∞

	an è	bn
	n=1	n=1
сходятся, то сходится также ряд
	∞
	∑
	(c1an + c2bn), c1, c2 R
	n=1
è	∞	∞	∞
	∞	∞	∞
	∑	∑	∑
	(c1an + c2bn) = c1	an + c2	bn.
	n=1	n=1	n=1

Формально ряд (1) мы можем представить в виде

∞ ∞

ak = An +	ak, n N	(5)
k=1	=n+1
∑	k ∑
ãäå ðÿä	∞
	∞
Rn =	ak
	=n+1
k ∑

называется n-ûì остатком данного ряда. Очевидно, n-ый остаток ряда представляет собой погрешность, которую мы допускаем, заменив сумму сходящегося ряда n-ой частичной суммой.

Теорема 1. Для сходимости ðÿäà (1) необходимо и достаточно, чтобы его n-ый остаток был бесконечно малым при n → ∞, ò.å.

lim Rn = 0.

n→∞

Действительно, если ряд (1) сходится, то остаток Rn как ряд по свойству 1) также сходится при любом натуральном n и ввиду (5)

∑∞

					Rn =		ak − An.
							k=1
Следовательно,			(	∞			∞	∞	∞
				∞			∞	∞	∞
				∑			∑	∑	∑
lim R		= lim		ak −	A	=		lim	ak	= 0.
n→∞	n	n→∞		ak −		n)		ak − n→∞ An = ak −	ak
				k=1			k=1	k=1	k=1

Теорема 2 (необходимый признак сходимости).

его общее слагаемое бесконечно мало, т.е.

Обратно, если остаток бесконечно мал, то как ряд он сходится для каждого натурального n, а тогда по свойству 1) рядов сходится и ряд (1).

Выясним, какому условию удовлетворяет общее слагаемое сходящегося числового ряда.

Если числовой ряд (1) сходится, то

lim an = 0.	(6)
n→∞

В самом деле, коль скоро ряд (1) сходится, то

∑∞

	lim A	n	= lim A	n−1	=	a	n	= A
	n→∞	n	n→∞	n−1		n=1	n
и, значит,						− nlim An−1 = A − A = 0.
nlim an = nlim (An − An−1) = nlim An						− nlim An−1 = A − A = 0.
→∞	→∞		→∞			→∞

Условие (6) не является, вообще говоря, достаточным для сходимости ряда. Подтверждением сказанному служит

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

∑∞ ln (1 + n1 ).

n=1

Решение. Для этого ряда

lim a		= lim ln		1 +	1	= 0
	n		(		n)
n→∞		n→∞

и, значит, необходимое условие сходимости (6) выполняется. Тем не менее здесь

n		n		n
∑	1	∑	k + 1	∑
An = k=1 ln (1 +	k	) = k=1 ln	k	= k=1(ln(k + 1) − ln k) = ln(n + 1)
и, следовательно,		nlim An = nlim ln(n + 1) = +∞,
		nlim An = nlim ln(n + 1) = +∞,
		→∞	→∞

т. е. данный ряд расходится.

Найдем, пользуясь теоремой 2, одно полезное

Следствие. Если предел

lim an

n→∞

общего слагаемого ряда (1) не равен нулю или не существует, то ряд расходится.

Действительно, если бы он сходился, то по теореме 2 выполнялось бы условие (6), что

противоречит предположению.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

∑∞ n sin πn.

n=1

Решение. Поскольку sin πn πn ïðè n → ∞, òî


nlim an = nlim n sin		π	= nlim n ·	π	= π ̸= 0
nlim an = nlim n sin		n	= nlim n ·	n	= π ̸= 0
→∞	→∞		→∞

и, значит, данный ряд расходится.

Найдем зависимость между рядом (1) è несобственным интегралом (глава VII, Ÿ4, пункт 1) кусочно-постоянной функции на бесконечном промежутке. Рассмотрим на промежутке [1, +∞) функцию

a(x) = an, x [n, n + 1), n N.

(7)

				83
Теорема 3. Числовой ðÿä (1) и несобственный интеграл
+∞
∫1	a(x)dx			(8)
сходятся или расходятся одновременно, причем в случае их сходимости
∞		+∞
∑		1
n=1 an =		∫	a(x)dx.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через n целую часть произвольного числа b ≥ 1. Очевидно, 0 ≤ b − n < 1. Тогда

∫b a(x)dx = ∫2 a(x)dx + ∫3 a(x)dx + . . . + ∫n a(x)dx + ∫nb a(x)dx =

n−1

−

= ∫

a1dx + ∫

−

an−1dx + ∫

a2dx + . . . + ∫

andx = a1 x 1

+ a2 x 2

+ . . . + an−1

x n 1

+ an x n

= a1 + a2 + . . . + an−1 + an(b − n) =

An−1 + an(b − n),

ò. å.

∫1 b a(x)dx = An−1 + an(b − n).

(9)

Поэтому, если ряд (1) сходится, то, учитывая (6), мы получим

lim (A

n−1

+ a

−

n)) = lim A

n−1

+ lim a (b

−

n) =

lim A

n−1

+ 0 =

b→+∞

n→∞

n→∞ n

n→∞

∞

+∞

∑

lim

a(x)dx.

a(x)dx =

= n=1 an = b→+∞ ∫

∫

Обратно, если несобственный интеграл (8) сходится, то, выбирая в (9) b = n, мы найдем

+∞

∞

a(x)dx =

a(x)dx = lim A

∑

a .

∫

n→+∞ ∫

n→+∞

n−1

= n=1

Стало быть, сходимость ряда (1) равносильна сходимости несобственного интеграла (8).

Отсюда сразу же следует, что, если один из них расходится , то расходится и другой, так как предположив обратное, мы немедленно приходим к противоречию.

Займемся теперь достаточными признаками сходимости для числовых рядов с неотрица-

тельными слагаемыми.

Теорема 4 (интегральный признак). Если f(x) кусочно-непрерывная, неотрицательная и невозрастающая на полуоси [1, +∞) функция, то ряд

∑∞

	f(n)	(10)
n=1
и несобственный интеграл
+∞
∫	f(x)dx	(11)
1
сходятся или расходятся одновременно.

Для доказательства свяжем с рядом (10) две кусочно-постоянные функции

f1(x) = f(n + 1), f2(x) = f(n), x [n, n + 1), n N.

Ïî теореме 3 ряд (10) и каждый из несобственных интегралов

∫+∞ ∫+∞

f1(x)dx,	f2(x)dx	(12)
1	1

сходятся или расходятся одновременно. Поскольку

f1(x) ≤ f(x) ≤ f2(x), x [1, +∞),

то по признаку сравнения для несобственных интегралов (глава VII, Ÿ4, пункт 1) интегралы (12), а, значит, и ряд (10) сходятся или расходятся одновременно с интегралом (11).

Пример 4. Исследовать на сходимость числовой ряд

∑∞ 1

n=1 nα

(13)

в зависимости от действительного параметра α.

Решение. Ïðè α ≤ 0 ряд расходится, так как, очевидно, для него не выполняется необходимое условие сходимости (6). Ïðè α > 0 применим интегральный признак. Как известно (глава VII, Ÿ4, пункт 1, пример 1), несобственный интеграл

∫+∞dx

xα

сходится только при α > 1. Таким образом, ðÿä (13) сходится ïðè α > 1, а при всех остальных

значениях α îí расходится.

Замечание 1. Ряд (13) часто называют обобщенным гармоническим . Название связано с тем, что его частным случаем при α = 1 является расходящийся гармонический ряд

∑∞ n1 .

n=1

Теорема 5 (признак сравнения). Пусть для рядов

∑∞

	an	(14)
	n=1
è	∞
	∞
	∑
	bn	(15)
	n=1
с неотрицательными слагаемыми при всех n N выполняется неравенство
	an ≤ bn.	(16)
Тогда ряд (14) сходится, если сходящимся является ряд		(15). Åñëè æå ðÿä (14) расходится,
то расходится также и ряд (15).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a(x) è b(x) функции (7) для рядов (14) и (15), соответственно. Поскольку ввиду (16)

a(x) ≤ b(x), x [1, +∞)

è ïî теореме 3 ряды (14) и (15) сходятся или расходятся одновременно с несобственными инте- гралами +∫∞a(x)dx è +∫∞b(x)dx, соответственно, то утверждение данной теоремы немедленно

следует из упоминавшегося выше признака сравнения для несобственных интегралов. Замечание 2. Сославшись на свойство 1) числовых рядов, мы можем утверждать, что

признак сравнения справедлив также и в случае, когда неравенство (16) выполняется не при всех натуральных n, а только начиная с некоторого номера n0.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряды

∞

∞ 2 + sin n100

a) n=2 ln2 n; b) n=1

√3 2n + 1 .

∑

f(x) = ln x −

√

Решение. а) Рассмотрим функцию

Она убывает, так как ее производная

√

равна

f′(x) =

2− x

ïðè

Отсюда

x −

2√x

2x и, значит, f′(x) < 0

x > 4.

√

f(x) < 0 ln x < x

ïðè x ≥ 4, поскольку f(4) = ln 4 − 2 < 0. Следовательно, при всех натуральных n ≥ 4

√

ln n < n

ln2 n

∞

Выше мы выяснили, что гармонический ряд

n расходится, поэтому по признаку сравнения

расходящимся является è ðÿä a).

n∑

при всех натуральных n, òî

b) Поскольку 2 + sin n100 ≤ 3, √3 2n + 1 > 2 3

2 + sin n100

, n

√3 2n + 1

Ðÿä

∞ 1

∞

n=1 2 3

n=1 (

√3 2)

∑

является сходящимся

пример 1, 0 < x =

< 1

. Следовательно, сходится также ряд

(

√2

)

∞

n=1

∑

а вместе с ним по признаку сравнения и ряд b).

Для практического использования иногда бывает более удобной другая предельная форма

признака сравнения.

Теорема 6 (признак сравнения в предельной форме). Åñëè для рядов (14) è (15) ñ

положительными слагаемыми существует предел

L = lim an

n→∞ bn

è 0 < L < +∞, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

Для доказательства выберем положительное число ε столь малым, чтобы и число L−ε было положительным. По определению предела последовательности, начиная с некоторого номера nϵ будет выполняться неравенство

L − ε < an < L + ε bn

или, что равносильно,

(L − ε)bn < an < (L + ε)bn, n > nε.

Отсюда по признаку сравнения и следует утверждение теоремы. В самом деле, если ðÿä (14) сходится, то сходится также и ряд

∑∞

(L − ε)bn,

n=1

а тогда по свойству 2) рядов сходящимся будет ðÿä (15). Обратно, если ряд (15) сходится, то

сходится также ряд

∑∞

(L + ε)bn,

n=1

а вместе с ним и ряд (14).

Аналогично проверяется, что, если один из рядов (14) или (15) расходится, то расходящимся

будет и другой.

Замечание 3. Если общее слагаемое ряда имеет степенной рост на бесконечности, то для исследования на сходимость его следует сравнивать с обобщенным гармоническим рядом (13).

Пример 6. Исследовать на сходимость ряды

∞

2−n + n

∞

√3 n + 2

∑

(1 − cos

√

)ln

√3

∑

a) n=1

; b) n=1

2n2 + 5n + 8

Решение. a) Поскольку при n → ∞

2 (

)

√3

= ln (1 +

)

√1n

= 2 sin2

+ 2

1 − cos

2√

, ln

√3

òî

√3

+ 2

cos

−

√n)

√3 n

(

√3 n

Òàê êàê ðÿä

∑∞ 14 ,

n=1 n3

будучи обобщенным гармоническим с α = 43 > 1, сходится, то по предельному признаку сравнения сходится также и ðÿä a).

b) Здесь

2−n + n n, 2n2 + 5n + 8 2n2

ïðè n → ∞, поэтому	2−n + n	n		1	1
			=		·		.
	2n2 + 5n + 8	2n2	=	2	·	n	.

Поскольку гармонический ряд расходится, то расходится также ряд

∑∞ 21n,

n=1

а вместе с ним по предельному признаку сравнения расходящимся является è ðÿä b). Рассмотрим теперь два признака сходимости для рядов с положительными слагаемыми,

имеющих показательный рост на бесконечности или, иначе говоря, сходящимися или расхо-

дящимися со скоростью геометрической прогрессии .

Теорема 7 (признак Даламбера). Пусть для ряда

∑∞

an		(17)
n=1
с положительными слагаемыми существует предел		(возможно бесконечный )
L = lim	an+1	.
L = lim	an	.
n→∞	an

Тогда при L < 1 ряд сходится, а при L > 1 расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В случае L < 1 выберем ε1 > 0 столь малым, чтобы x1 = L+ε1 < 1. По определению предела найдется номер n1, начиная с которого

an+1 < x1. an

Отсюда

an1+1 < an1 x1,

an1+2 < an1+1x1 < an1 x21,

·		· ·	· ·		· ·		·
a	+k	< a	x	1	< a	n1	xk,
n1	+k		n1+k−1	1		n1	1

и, значит,

an1+k < an1 xk1, k N.

Поскольку здесь ряд геометрической прогрессии

∑∞

an1 xk1

k=1

сходится, то по признаку сравнения сходится также ряд

∑∞

an1+k,

k=1

а вместе с ним и ряд (17).

Аналогично, если L > 1, то выберем ε2 > 0 настолько малым, чтобы x2 = L − ε2 > 1. Тогда, как и выше, отыщется номер n2 такой, что

an+1 > x2, n ≥ n2, an

откуда

an2+k > an2 xk2, k N.

В этом случае ряд геометрической прогрессии

∑∞

k=1

расходится, а тогда по признаку сравнения расходится и ряд (17).

Пример 7. Исследовать на сходимость ряды

2n + 5−n

∞

3n(n!)2

∞

∑

; b)

n=1

(2n)!

n=1

n5 + 2n3

+ 3n + 4

Решение. a) Здесь

3n(n!)2

3n+1((n + 1)!)2

an =

, an+1 =

поэтому

(2n)!

(2(n + 1))!

an+1

3n+1((n + 1)!)2

(2n)!

3(n!)2(n + 1)2

(2n)!

nlim

= nlim

(2(n + 1))!

3n(n!)2

(2n)!(2n + 1)2(n + 1)

(n!)2

→∞

n + 1

1 + 1

3 1 3

nlim

< 1

2n + 1

→∞

→∞ 2 + n

и, следовательно, по признаку Даламбера ðÿä a) сходится.

b) Поскольку при n → ∞

òî

2n + 5−n 2n, n5 + 2n3 + 3n + 4 n5,

2n + 5−n

n5 + 2n3 + 3n + 4

и, значит, по признаку сравнения ряд b) сходится или расходится одновременно с рядом

∞

∑

k=1

для которого

an+1

2n+1

nlim

= nlim

= 2 nlim

= 2 · 1 = 2 > 1.

(n + 1)5

→∞

(1 + n )

Стало быть, по признаку Даламбера ðÿä b) расходится.

Теорема 8 (признак Коши). Åñëè äëÿ ðÿäà (17) с положительными слагаемыми существует предел (возможно бесконечный )

√

L = lim n an,

n→∞

òî ïðè L < 1 ряд сходится, а при L > 1 расходится.

Справедливость этого утверждения проверяется с помощью рассуждений, совершенно ана-

логичных тем, которые мы использовали выше при доказательстве признака Даламбера.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряды

∞		1 n3		∞	(ln n)n
∑	(cos		) ; b)	∑
a) n=1	(cos	n	) ; b)	n=2	nln n	.

Решение. a) Воспользуемся признаком Коши:

√(

			n	1
L1 = lim	√an = lim			cos
	n
n→∞		n→∞			n

)n3 = lim (cos 1 )n2 .

n→∞ n

Здесь возникла неопределенность вида 1∞, которую мы раскроем, использовав число e и учи- тывая, что sin 21n 21n ïðè n → ∞ :

→∞ (

)

(

)

→∞

−

−2n sin

2 sin2

L1 = nlim

1 − 2 sin2

= nlim (

1 − 2 sin2

2n )

= lim e−2n2(

< 1

→∞

√

и, следовательно, ðÿä a) сходится.

b) Здесь по признаку Коши

n (ln n)n

ln n

= lim √an = lim

= lim

ln n

2 .

n→∞ √

n→∞

nln n

n→∞ n n

n→∞ elnn n

При вычислении предела

lim ln2 x

x→+∞ x

возникает неопределенность вида ∞∞ , которую мы раскроем с помощью правила Лопиталя (глава V, Ÿ4):

lim

ln2 x

lim

(ln2 x)′

lim

2 ln x · x1

= 2

lim

ln x

= 2

lim

(ln x)′

= 2

lim

= 0.

(x)′

x +

→

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→ ∞

Следовательно,	ln2 n

lim e n = e0 = 1
n→∞
и, значит,	= nlim ln n = +∞.
L2
	→∞

Таким образом, ðÿä b) расходится.

Замечание 4. Если при использовании признака Даламбера или Коши соответствующий предел L окажется равным единице, то ничего определенного о сходимости ряда мы в этом случае сказать не можем ряд может как сходиться, так и расходиться. Примером может служить обобщенный гармонический ряд (13), для которого при любом α R

an+1

(n+1)α

lim

1 α = 1,

n→∞

1 + n

nα

(

lim

√a = lim

= lim

= 1,

√

= lim

n→∞

nα

n→∞ nn

n→∞ eα lnnn

eα·0

а сходится этот ряд, как мы выяснили в примере 4, только при α > 1.

Исследование сходимости числового ряда общего вида , т. е. ряда, знак слагаемых которого может меняться, сильно усложняется, так как здесь мы уже не можем использовать признаки сходимости для рядов с положительными слагаемыми. Однако для одного частного случая таких рядов знакочередующегося ряда существует удобный достаточный признак сходимости.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если знак каждого следующего слагаемого ряда меняется на противоположный. Знакочередующийся ряд мы в дальнейшем будем запи-

сывать в виде

∑∞

(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . ,

(18)

n=1

где элементы последовательности an, n N имеют фиксированный знак. Для определенности будем считать их положительными.

Теорема 9 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд	(18) сходится, если
an > an+1, n N è nlim an = 0.	(19)
→∞

Иначе говоря, для сходимости знакочередующегося ряда достаточно, чтобы последовательность абсолютных величин слагаемых ряда была убывающей и бесконечно малой.

Для доказательства рассмотрим последовательность An, n N частичных сумм ряда (18). Учитывая первое из условий (19), мы можем записать неравенства

A2	< A3	< A1,
A2	< A4	< A3,
· ·	·	· · ·

A2k < A2k+1 < A2k−1,

A2k < A2k+2 < A2k+1,

· · · · · · ·

а тогда и систему вложенных отрезков

[A2, A1] [A2, A3] . . . [A2k, A2k−1] [A2k, A2k+1] . . . ,

которая в соответствии с принципом вложенных отрезков (глава IV, Ÿ2) имеет общую точку, которую мы обозначим через A. Длины вложенных отрезков образуют последовательность

an, n ≥ 2, которая ввиду второго из условий (19) является бесконечно малой. По определению предела последовательности для любого числа ε > 0 найдется номер nε, начиная с которого an < ε. Следовательно,

|An − A| < an < ε, n > nε,

что означает сходимость последовательности An, n N, а, значит, и знакочередующегося ряда

(18).

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд

∑∞ (−1)n ln ln n. ln n

n=3

Решение. Проверим условия (19) для этого знакочередующегося ряда.

Рассмотрим функцию

f(x) = ln ln x. ln x

Äëÿ íåå
f′(x) =	(ln ln x)′ ln x − ln ln x(ln x)′		=	1 − ln ln x	,
	ln2 x			x ln2 x
поэтому f′(x) < 0 ïðè x > ee и, значит, последовательность
	an = f(n) =	ln ln n

		ln n

убывает при n > 15.

Кроме того, по правилу Лопиталя

∞

(ln ln x)′

· x1

= 0

lim f(x) =

= lim

lim

ln x

lim

(∞)

x→+∞

x→+∞ (ln x)′

x→+∞

x→+∞ ln x

и, следовательно,

lim an = 0.

n→∞

Таким образом, оба условия (19) выполняются и, стало быть, данный ряд сходится ïî

признаку Лейбница.

Замечание 5. Из доказательства признака Лейбница следует, что при любом натуральном

|An − A| < an+1

и, значит, погрешность, которую мы допускаем, заменив сумму знакочередующегося ряда его частичной суммой, не превышает абсолютной величины первого из отброшенных слагаемых.

Таким образом, при заданной точности вычислений ε суммы ðÿäà (18) ïðè условиях (19),

суммирование следует проводить до первого слагаемого, которое по абсолютной величине не будет превосходить ε.

В заключение этого параграфа введем, как и для несобственных интегралов в главе VII, Ÿ4,

понятие абсолютной сходимости числового ряда .

Ðÿä (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных

величин его слагаемых, т. е. ряд	∞
	∞
	∑ \|an\|.	(20)

n=1

Точно также, как и для несобственных интегралов (глава VII, Ÿ4, пункт 1) мы можем прове-

ðèòü, ÷òî из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость . Обратное в общем случае

неверно, в чем мы можем убедиться с помощью следующего простого примера.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд

∑
∞	(−1)n	.	(21)
	nα
n=1

в зависимости от действите льного параметра α.

Решение. Здесь ряд (20) совпадает с обобщенным гармоническим рядом (13), который сходится только при α > 1 и, значит, для таких значений α ðÿä (21) сходится абсолютно. Åñëè

0 < α ≤ 1, òî ðÿä (21) сходится, так как для него, очевидно, выполняются оба условия (19) признака Лейбница, а вот абсолютной сходимости в этом случае íåò. Наконец, при α ≤ 0 ðÿä (21) расходится, поскольку для него не выполняется необходимое условие сходимости (6).

Åñëè ðÿä (1) сходится, à ðÿä (20) расходится, т. е. нет абсолютной сходимости, то данный ряд называется условно сходящимся. Таким образом, ряд (21) условно сходится ïðè 0 < α ≤ 1.

Ÿ2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Пусть an(x), n N последовательность функций, каждая из которых определена на некотором множестве X R.

Определение 1. Ðÿä

∑∞

an(x),

(1)

n=1

рассматриваемый при каждом фиксированном x X, называется функциональным рядом. Совокупность чисел x D X, для каждого из которых ряд (1) сходится, называется

множеством сходимости данного функционального ряда.

Всюду в дальнейшем в этом параграфе через

∑n

An(x) = ak(x), n N, x X

k=1

и, следовательно, на последовательности

мы будем обозначать частичную сумму функционального ряда (1), а через

∑∞

A(x) = an(x), x D

n=1

åãî сумму.

Примерами функциональных рядов являются ряд геометрической прогрессии

∑∞

n=0

è обобщенный гармонический ряд

∑∞ 1

n=1 nx .

Как мы выяснили в Ÿ1, множеством сходимости первого из них является интервал (−1, 1), а второго полуось (1, +∞).

Чтобы иметь возможность уверенно оперировать функциональными рядами введем понятие

равномерной сходимости .

Определение 2. Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве D X, если, во-первых, он сходится в любой точке этого множества и, во-вторых,

ряд достигает своей суммы равномерно по всем x D, т.е. для любого положительного числа ε существует номер nε такой, что неравенство

|A(x) − An(x)| < ε

(2)

выполняется при любом n > nε äëÿ âñåõ x D.

Пример 1. Убедиться в том, что множеством сходимости функционального ряда

∑∞

e−nx

(3)

n=0

является полуось (0, +∞), а на полуоси [a, +∞) при любом a > 0 данный ряд сходится равномерно.

Решение. Переписав ряд (3) в виде

∑∞

(e−x)n,

n=0

мы замечаем, что он является рядом геометрической прогрессии (Ÿ1, пример 1) и, следова-

тельно, он сходится ïðè

e−x < 1 x (0, +∞).

Покажем, что сходимость на этом множестве не является равномерной . Для нашего ряда


An(x) = n−1 e−kx =	1 − e−nx			, A(x) =		1		,
						−
∑		−	e−x		1		e−x
1

k=0

поэтому

e−nx

|A(x) − An(x)| = 1 − e−x xn = n1 , n N

		e−1
nlim \|A(xn) − An(xn)\| = nlim			= +∞.
		1
→∞	→∞ 1	− e− n

Отсюда следует, что неравенство (2) не может выполняться для всех значений x (0, +∞) ни при каком ε > 0, а это и означает, что равномерной сходимости на множестве (0, +∞) íåò.

Зафиксируем теперь a > 0. На полуоси [a, +∞)

e−nx ≤ e−na, 1 − e−x ≥ 1 − e−a,

поэтому			e−na
\|A(x) − An(x)\| ≤
				.	(4)
			1 − e−a
Поскольку
lim	e−na	= 0,

n→∞ 1 − e−a

то для любого фиксированного ε > 0 отыщется номер nε такой, что

e−na

1 − e−a

< ε

ïðè n > nε, откуда ввиду неравенства (4) следует, что

|A(x) − An(x)| < ε, n > nε, x [a, +∞),

ò. å. ðÿä (3) сходится равномерно на множестве [a, +∞).

Докажем удобный признак равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема (признак Вейерштрасса). Åñëè äëÿ функционального ряда (1), в котором все функции an(x), n N определены на некотором множестве D X, существует сходящийся

числовой ряд
∞
∑
bn	(5)
n=1
с положительными слагаемыми такой, что
\|an(x)\| ≤ bn, n N, x D,	(6)

òî ðÿä (1) сходится абсолютно и равномерно на множестве D.

Действительно, по признаку сравнения для числовых рядов (Ÿ1, теорема 5) сходящимся

является ряд

∑∞

|an(x)|, x D

n=1

и, таким образом, функциональный ряд (1) сходится абсолютно на множестве D. Осталось

проверить его равномерную сходимость на этом множестве. Для этого оценим по абсолютной величине, использовав неравенство (6), разность между суммой ряда (1) и его частичной

суммой:			∞	ak(x)		≤	∞	\|ak(x)\| ≤	∞	bk, n N, x D.	(7)
\|A(x) − An(x)\| =			∞	ak(x)		≤	∞	\|ak(x)\| ≤	∞	bk, n N, x D.	(7)
			∑				∑		∑
Величина Rn =	∞						n-ый остаток ряда (5), который по теореме 1, Ÿ1
Величина Rn =	∞	b представляет			собой		n-ый остаток ряда (5), который по теореме 1, Ÿ1
	∑		k=n+1				k=n+1		k=n+1
	∑	k

k=n+1

является бесконечно малым при n → ∞, поэтому для любого фиксированного ε > 0 существует номер nε, начиная с которого Rn < ε. Отсюда, благодаря (7),

|A(x) − An(x)| < ε, n > nε, x D,

что и означает равномерную сходимость функционального ряда (1) на множестве D.

Пример 2. Найти множество равномерной сходимости функционального ряда

Решение. Очевидно,

∑

√

−

∞ cos3(2xn + 3n10 sin x)

n=1

1 2n + 16n4√

cos3(2xn + 3n10 sin x)

√

−

√

−

, n N, x R.

Поскольку при n

√n

4 1 2n + 16n4√n

≤

4 1 2n + 16n4

→ ∞

√4 1 − 2n + 16n4√n √4 16n4√n

2 · n8

è ðÿä

∑∞ 19 ,

n=1 n8

êàê обобщенный гармонический с показателем α = 98 > 1, сходится, то по предельному признаку сравнения (Ÿ1, теорема 6) сходящимся является также ряд

∞				1
∑
	√						,
	√		−	2n + 16n4	√
4		1		2n + 16n4	√	n
n=1

а тогда по признаку Вейерштрасса данный функциональный ряд сходится абсолютно и рав-

номерно на всей числовой оси .

Установим теперь основные свойства равномерно сходящихся на отрезке числовой оси функциональных рядов.

1) Сумма равномерно сходящегося на отрезке [c, d] функционального ряда (1), составлен-

ного из непрерывных функций, также непрерывна на данном отрезке.

Пусть x0 произвольная точка отрезка [c, d]. По определению непрерывности мы должны убедиться в том, что для суммы ряда

lim A(x) = A(x0).	(8)
x→x0

При любом натуральном n	n	(ak(x) − ak(x0)) +			∞	ak(x) −
\|A(x) − A(x0)\| =	n	(ak(x) − ak(x0)) +			∞	ak(x) −
n	∑				∑
n			∞				∞
			∞		k=n+1		∞
∑	k=1		∑		k=n+1		∑
∑			∑				∑
≤ \|ak(x) − ak(x0)\| +						+
≤ \|ak(x) − ak(x0)\| +				ak(x)		+

k=1			k=n+1				k=n+1

∞	ak(x0)	≤
∑

k=n+1	(9)
ak(x0) .	(9)

Зафиксируем произвольное положительное число ε. Поскольку ряд (1) равномерно сходится, то при достаточно больших n ïðè âñåõ x [c, d] выполняется неравенство

\|A(x) − An(x)\| =		∞	ak(x)		ε
				<		.
				<	3	.
	k=n+1
Пусть n0 одно из таких чисел и, значит,		∑
Пусть n0 одно из таких чисел и, значит,

∞

ak(x) <

ε,

∞

ak(x0)

< ε, x [c, d].

(10)

∑

Кроме того, ввиду непрерывности

функций

an(x), n

найдется число δε > 0 такое, что

k=n0

k=n0+1

∑

|ak(x) − ak(x0)| <

(11)

k=1

äëÿ âñåõ x (x0 − δε, x0 + δε). Из неравенства (9) при n = n0 и неравенств (10) и (11) следует,

÷òî				ε		ε		ε
				ε		ε		ε
	\|A(x) − A(x0)\| <				+		+		= ε, x (x0 − δε, x0		+ δε),
	\|A(x) − A(x0)\| <		3		+	3	+	3	= ε, x (x0 − δε, x0		+ δε),
что и означает (8), т. е. непрерывность суммы ряда (1) в любой точке отрезка [c, d].
	2) Åñëè функциональный ряд	(1) непрерывных на отрезке [c, d]									функций сходится равно-
мерно на этом отрезке, то ряд		n=1 ∫			an(z)dz, x [c, d] также равномерно сходится на [c, d]
		∞	x
è		∑ c
è	x	( ∞ an(z))dz = ∞								x an(z)dz.
	x	( ∞ an(z))dz = ∞								x an(z)dz.	(12)
	c	∑							∑ c
	∫	n=1							n=1	∫

Таким образом, равномерно сходящийся на отрезке [c, d] функциональный ряд допускает почленное интегрирование по любому отрезку, содержащемуся в [c, d].

В самом деле, по предыдущему свойству сумма ряда непрерывна, а, значит, и интегрируема на отрезке [c, d]. Далее, ввиду равномерной сходимости данного функционального ряда для

любого фиксированного ε > 0 существует номер nε такой, что

|A(x) − An(x)| < d − c, n > nε, x [c, d].

Отсюда, благодаря свойствам 1), 3) и 4) определенного интеграла (глава VII, Ÿ1),

∫

− k=1

∫

(A(z)

−

≤

x A(z)dz

x an(z)dz

An(z))dz

∑ c

A(z)

dz =

= ε −

, n > nε, x [c, d]

An(z) dz

≤ ∫

−

| ≤ ∫

d c

и, поскольку

−

x − c

≤

1, x

[c, d],

òî

x A(z)dz

≤ d

−

x an(z)dz

ε, n > nε, x [c, d],

∑ c

− k=1 ∫

∫

≤

∞

∫

[c, d]

è формулу интегри-

что и доказывает равномерную сходимость ряда n=1

an(z)dz, x

рования (12).

∑ c

3) Пусть сходящийся на отрезке [c, d]

функциональный ряд

(1) составлен из непрерывно

мерно на данном отрезке. Тогда исходный ряд также равномерно

∑

[c, d],

∞

an′ (x) сходится равно-

дифференцируемых на этом отрезке функций и ряд из производных

n=1

сходится на отрезке

его сумма непрерывно дифференцируема и

∞

an′ (x), x [c, d].

(13)

(

∞ an(x))′ =

∑

n=1

Действительно, по свойству 1) сумма B(x) ðÿäà

∞

an′ (x) является непрерывной, а потому

n=1

и интегрируемой функцией на отрезке

[c, d]. Ïî

∑

∞

∑ c

∑

∫

B(z)dz = n=1 ∫

an′ (z)dz = n=1 an(z) c = n=1(an(x) − an(c)), x [c, d],

(14)

причем ряд в правой части сходится равномерно на отрезке [c, d]. Отсюда, ввиду сходимости

ðÿäà

∞

an(c), следует равномерная сходимость ряда (1). Поскольку, благодаря (14),

A(x) = A(c) + ∫x B(z)dz, x [c, d],

n∑

òî ïî свойству интеграла с переменным верхним пределом (глава VII, Ÿ1, свойство 7))

A′(x) = B(x), x [c, d],

т. е. сумма функционального ряда (1) непрерывно дифференцируема на отрезке [c, d] и имеет место формула дифференцирования (13).

(1)

(2)

сводится к

с действи-

Замечание. Из свойств 1) 3) следует, что над равномерно сходящимися функциональными рядами мы можем выполнять те же операции, что и над обыкновенными конечными суммами функций.

Ÿ3. Степенные ряды и их свойства. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов

Пусть x0 фиксированное действительное число.

Определение. Степенным рядом с центром в точке x0 называется функциональный ряд, составленный из целых неотрицательных степеней линейного выражения x − x0 тельными коэффициентами, т.е. ряд

∑∞

an(x − x0)n.

n=0

Степенной ряд с центром в нуле имеет, очевидно, вид

∑∞

anxn.

n=0

Поскольку подстановкой z = x − x0 степенной ряд (1) с центром в точке x0

такому же ряду с центром в нуле, то всюду в дальнейшем при изучении свойств степенных рядов мы для удобства будем вести рассуждения для ряда (2).

Выясним структуру множества сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится в некоторой точке x1 ̸= ,0то он сходится абсолютно в симметричном относительно нуля интервале (−|x1|, |x1|), а на любом отрезке [−b, b], 0 < b < |x1| этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку ряд	∑ anx1 сходится, то по необходимому признаку
	∞	n

n=0

сходимости последовательность anxn1 бесконечно мала, и, значит (глава IV, Ÿ3, пункт 2, свой- ñòâî 3)), она является ограниченной, т. е. существует положительная константа M такая, что

при всех целых неотрицательных n

Òàê êàê ïðè òåõ æå n

|anx1n|

< M.

òî ïðè

x ( x1

, x1

)

|anxn| = |anx1n|

≤ M

(3)

−| | | |

< 1

и, значит, ряд геометрической прогрессии

∑∞ x n

n=0 x1

сходится, а вместе с ним по признаку сравнения (Ÿ1, теорема 5) сходится и ряд

∑∞

|anxn| ,

n=0

т. е. ряд (2) сходится абсолютно при x (−|x1|, |x1|).

Åñëè æå x [−b, b], 0 < b < |x1|, то как следует из (3)

( )n

|anxn| ≤ M b , 0 ≤ n Z,

|x1|

откуда, учитывая, что ряд геометрической прогрессии

∑∞ ( b )n

n=0 |x1|

сходится, поскольку

|x1|

< 1;

ìû ïî признаку Вейерштрасса (Ÿ2) заключаем, что ряд (2) сходится абсолютно и равномерно на отрезке [−b; b]:

Следствие. Расходящийся в некоторой точке x2 ̸= 0степенной ряд (2) расходится и при всех x; расположенных вне отрезка [−|x2|; |x2|]:

В самом деле, если бы он сходился в какой-нибудь точке x1; такой, что |x1| > |x2|; то по теореме Абеля он сходился бы и при всех x из интервала (−|x1|; |x1|); а, значит, и в точке x2; что противоречит условию.

Обозначим множество сходимости степенного ряда (2) через D: Это множество, очевидно, непустое, так как при x = 0 ряд сходится. Пусть

R = sup D ≥ 0:

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Рассмотрим три случая, которые здесь возможны.

1)R = 0: В этом случае D = {0}; так как иначе нашлась бы точка x1 < 0; в которой ряд

(2)сходился бы, а тогда по теореме Абеля он сходился бы и в интервале (x1; −x1) и, значит, было бы R > 0; что противоречит условию.

2)0 < R < +∞: По определению верхней грани множества для любого положительного

числа " найдется положительное число x1 D такое, что R−" < x1 ≤ R и, стало быть, по теореме Абеля ряд (2) сходится абсолютно в интервале (−x1; x1): Отсюда следует, что поскольку число " мы можем выбирать произвольно малым, то данный степенной ряд абсолютно сходится в интервале (−R; R): В любой точке x > R ряд (2) расходится, а тогда как утверждает следствие из теоремы Абеля, он расходится и при всех x < −R: Таким образом, в этом случае

степенной ряд (2) абсолютно сходится внутри симметричного относительно нуля промежутка с граничными точками ±R; вне этого промежутка он расходится, а в граничных

точках ряд может как сходиться, так и расходиться.

3) R = +∞: Здесь ряд (2) сходится при сколь угодно больших значениях x и, значит, по

теореме Абеля он абсолютно сходится на всей числовой оси .

Внутри промежутка сходимости ряд (2) сходится абсолютно, поэтому для нахождения радиуса сходимости мы можем применить один из признаков сходимости для рядов с неотрицательными слагаемыми . Если коэффициенты ряда имеют показательный рост на бесконечности, то с этой целью целесообразно использовать признаки Даламбера èëè Êîøè (Ÿ1).

Пусть, например, существует предел (конечный или бесконечный)
	an+1
L = lim	an	:	(4)
Тогда, применив признак Даламбера для
n!1

исследования степенного ряда (2) на абсолютную

сходимость, мы получим:

	\|		\|
lim	an+1xn+1			lim	an+1	x = L x :
lim				lim	an	x = L x :
L = 0; то степенной ряд (2)						x;
n!1		anxn		= n!1		\| \| \| \|

Поэтому, если			сходится абсолютно при всех действительных
т. е. в этом случае R1		= +∞: Åñëè 0 < L <1		+∞; то степенной ряд абсолютно сходится при
L\|x\| < 1 \|x\| <		и, стало быть, R =		: Наконец, если L = +∞; то ряд (2), очевидно,
	L		L
сходится только при x = 0 и, значит, здесь R = 0:

Таким образом, если предел (4) существует, то радиус сходимости степенного ряда (2) вы-

числяется по формуле
		an
R = lim		an
R = lim	an+1		:	(5)
n!1	an+1		:	(5)

Аналогично, применяя признак Коши, мы получим еще одну формулу

1	(6)
R = √ .

lim n |an|

n→∞

Замечание 1. Очевидно, множеством сходимости степенного ряда общего вида (1) является промежуток, симметричный относительно центра x0 ряда, с граничными точками x0 ± R, где радиус сходимости R также может быть вычислен по формулам (5) или (6). В граничных

точках x = x0 ± R мы получим ряды

∑∞

an(±R)n,

n=0

каждый из которых может как сходиться, так и расходиться. В вырожденном случае множе-

ством сходимости является центр ряда x0 или вся числовая ось.

Замечание 2. На практике для нахождения промежутка сходимости вместо использования формул (5) или (6) более удобно непосредственно применять признаки Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин данного степенного ряда, как это было сделано

выше при доказательстве формулы (5).

Пример 1. Найти множества сходимости степенных рядов

∞ ( 1)n

3n+1(x − 5)n

; b)

∞

(n + 2)5xn

; c)

∞

n2n(x + 10)n

−

(n + 4)

ln(n + 6)

n=1

(2n + 1)n

(n + 2)!

n=0

n=1

Решение.

∑

признаком Даламбера:

а) Воспользуемся

√

(

−

1)n+1

3n+2(x − 5)n+1

(n + 5) 3

ln(n + 7)

3(n + 4) 3

ln(n + 6)

L1 = lim

= lim

−

n+1

(n + 5)

ln(n + 7)

→∞

√

→∞

√

(

−

(n + 4)

ln(n + 6)

√

+ 4

ln(n + 6)

= 3|x − 5| nlim

√

n + 5

ln(n + 7)

→∞

Ïî правилу Лопиталя (глава V, Ÿ4)

lim

ln(x + 6)

∞

= lim

(ln(x + 6))′

= lim

1/(x + 6)

= lim

x + 7

= lim

1 + 7/x

= 1,

∞)

(ln(x + 7))′

1/(x + 7)

x→∞ ln(x + 7)

(

x→∞

x→∞ x + 6

x→∞ 1 + 6/x

поэтому

L1 = 3|x − 5| lim 1 + 4/n √3 1 = 3|x − 5| n→∞ 1 + 5/n

и, значит, ряд а) абсолютно сходится, если

L1 = 3|x − 5| < 1 |x − 5| <

< x <

Здесь, очевидно, R =

1 .

Исследуем данный ряд на сходимость в граничных точках. При x =

3 мы имеем ряд

∞

n+1 14

∞

n+1

1 n

∞

∑

√

(−1)n

3 3

− 5

= (−1)n

−3

(n + 4)

, (7)

n=0

(n + 4)

ln(n + 6)

n=0

(n + 4)

n + 6)

n=0

ln(n + 6)

(

)

(ln( )

для исследования которого на сходимость мы применим последовательно предельный признак сравнения è интегральный признак (Ÿ1). Поскольку, как и выше, ln(n + 6) ln(n + 4) ïðè

n → ∞, òî

	1			1		, n → ∞

	√3			√3
(n + 4)	√3	ln(n + 6)	(n + 4)	√3	ln(n + 4)

и, коль скоро несобственный интеграл

+∞

∞

∫

= ∫

(ln(x + 4))−

3 d ln(x + 4) =

(ln(x + 4))

(x + 4)

3 ln(x + 4)

√

−

lim

(ln(x + 4))3

(ln 4)

= 2 (x→+∞

) = +∞

расходится, то расходится также и ðÿä (7).

Ïðè x = 16

мы получаем знакочередующийся ряд

∞

(−1)n

(n + 4) 3 ln(n + 6)

n=0

сходится

∑

так как последовательность

который

ïî признаку Лейбница (Ÿ1),

√

√3

убывает и

(n + 4)

ln(n + 6)

lim

= 0.

n→∞ (n + 4) 3

ln(n + 6)

Таким образом, окончательно,

множеством сходимости данного степенного ряда является

√

промежуток		(	3 ,		3	].
			14	16
b) Здесь удобно применить признак Коши:
→∞						→∞
→∞						→∞
		(n + 2)5xn
L2 = nlim	n	(2n + 1)n				= nlim
L2 = nlim	√	(2n + 1)n				= nlim

(n + 2)n |x|. 2n + 1

Òàê êàê ïî правилу Лопиталя

ln(x + 2)

∞

(ln(x + 2))′

lim

= lim

x+2

= lim

= 0,

(

∞)

(x)′

x→∞

x→∞ x + 2

òî

(

)

и, значит, исследуемый степенной

ln(n+2)

= |x| nlim

= |x| · 1 · 0 = 0 < 1

2n + 1

→∞

ряд абсолютно сходится при всех действительных

c) В этом случае мы также используем признак Даламбера:

2(n+1) x + 10)n+1

(n + 1)

(

→∞

(n + 3)!

(n + 1)2(n+1)

(n + 2)!

→∞

= lim

x + 10

(x + 10)

= lim

· (n + 3)!

· |

(n + 2)!

n→∞

((

)

+ n)2

· |

n2n

· (n + 2)!(n + 3) · |

(n + 1)

+ 1)

(n + 2)!

1 + 1

= lim

x + 10 = lim

1 +

x + 10 .

Поскольку

n→∞

((

)

n→∞ (n + n)2

∞

1 + n

lim

1 +

= e ,

lim

= + ,

òî

x = −10;

{

+∞,

x ̸=−10

и, следовательно, данный степенной ряд сходится только при x = −10.

		99
Рассмотрим степенной ряд	∞
	∞
	∑
	nanxn−1;	(8)

n=1

полученный дифференцированием слагаемых ðÿäà (2). Покажем, что эти ряды имеют общий радиус сходимости. Для этого проведем рассуждения, подобные тем, которые мы использовали выше при доказательстве теоремы Абеля.

Если ряд (2) сходится в некоторой точке x1 ̸= ;0òî èç неравенства (3) следует, что

nanxn−1 ≤ M n x n−1 ; n N

|x1| x1

и, поскольку при x (−|x1|; |x1|) ðÿä

∑∞ n x n−1

n=1 x1

сходится, в чем нетрудно убедиться с помощью признака Даламбера, то по признаку сравнения (Ÿ1) в том же интервале абсолютно сходится и ряд (8).

Если же степенной ряд (2) расходится в точке x2 ̸= ;0то ряд (8) расходится при всех x таких, что |x| > |x2|: В самом деле, если бы он сходился в некоторой точке x1; для которой |x1| > |x2|; то по теореме Абеля он сходился бы абсолютно и для всех x из интервала (−|x1|; |x1|) и, значит,

ввиду неравенства

|anxn| ≤ |nanxn| ; n N

ряд (2) также абсолютно сходился бы в том же интервале, содержащем точку x2; что проти-

воречит условию.

Совершенно аналогично мы можем убедиться в том, что степенной ряд

∞	an
∑		xn+1;	(9)
n=0	n + 1

полученный интегрированием слагаемых ряда (2), имеет такой же радиус сходимости.

Из доказанного, учитывая, что степенные ряды (2), (8), (9) равномерно сходятся внутри общего интервала сходимости, мы со ссылкой на свойства 2), 3) равномерно сходящихся функциональных рядов (Ÿ2) можем утверждать, что ðÿä (2) внутри промежутка сходимости мы имеем право почленно дифференцировать и интегрировать произвольное число раз . Это же справедливо, естественно, и для степенного ряда (1).

Рассмотрим теперь очень важные в приложениях ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема произвольное число раз в некотором

интервале (a; b); содержащем точку x0: Тогда в этом интервале при любом натуральном n функция представляется по формуле Тейлора (глава V, Ÿ5, пункт 1) â âèäå

f(x) = Pn(x) + Rn(x);

ãäå	f′(x0)				f′′(x0)
	f′(x0)				f′′(x0)				f(n)(x0)
Pn(x) = f(x0) +		(x − x0) +						(x − x0)2 + : : : +		(x − x0)n
Pn(x) = f(x0) +	1!	(x − x0) +				2!		(x − x0)2 + : : : +	n!	(x − x0)n
полином Тейлора в точке x0;
	Rn(x) =		f(n+1)(c)			(x − x0)n+1; c (x0; x)
	Rn(x) =		(n + 1)!			(x − x0)n+1; c (x0; x)
остаток формулы Тейлора.
Рассмотрим степенной ряд1			∞ f(n)(x0)
			∞ f(n)(x0)
			∑				(x − x0)n;
				n!			(x − x0)n;
			n=0

(10)

(11)

(12)

1Здесь мы для удобства считаем, что f (0)(x0) = f (x0); 0! = 1:

достаточное условие, при котором функция разлагается в ряд Тей-

100

который называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0. В частности, если x0 = 0, òî ðÿä

∞	f(n)(0)		n
∑		x		,	(13)
		x		,	(13)
n=0	n!
n=0

называется рядом Маклорена функции f(x).

Выясним, при каком условии функция представляется своим рядом Тейлора в интервале

(a, b), ò. å.

f(x) = ∑∞ f(n)(x0)(x − x0)n, x (a, b). n!

n=0

Теорема 2. Функция f(x) разлагается в свой ряд Тейлора в интервале (a, b) тогда и только тогда, когда в любой точке интервала остаток формулы Тейлора этой функции бесконечно

ìàë, ò.å.
nlim Rn(x) = 0, x (a, b).	(14)
→∞

Èç формулы Тейлора (10) следует, что

Rn(x) = f(x) − Pn(x), x (a, b).

Отсюда, учитывая, что полином Тейлора Pn(x) является, очевидно, n-ой частичной суммой ряда Тейлора мы предельным переходом при n → ∞ и получаем утверждение теоремы.

Замечание 3. Èç теоремы Абеля мы заключаем, что при выполнении условия (14) ряд

Тейлора (12), будучи степенным, сходится абсолютно к функции f(x) в интервале (a, b), à íà

любом отрезке [a1, b1], a < a1 ≤ b1 < b сходимость будет еще и равномерной.

Установим теперь одно лора в интервале.

Теорема 3. Если все производные функции f(x) равномерно ограничены в интервале (a, b),

т.е. для некоторого положительного числа M
f(n)(x) ≤ M, n N, x (a, b),		(15)
òî f(x) представляется в интервале	(a, b) своим рядом Тейлора.

Для доказательства покажем сначала, что для любого положительного числа c

	cn
lim		= 0.	(16)

n→∞ n!

Зафиксируем число q (0, 1) и обозначим через n0 первое из натуральных чисел n, для которых c/n ≤ q. Такое число, очевидно, существует. Тогда при всех n > n0 справедливо

неравенство	cn		cn0

		<		qn−n0 .	(17)

n! n0!

Поскольку

lim qn−n0 = 0,

n→∞

то для любого положительного числа ε существует натуральное число nε, такое, что

cn0 qn−n0 < ε, n > nε, n0!

откуда, ввиду (17)

n! < ε, n > nε,

что и означает (16).

Проверим теперь выполнение условия (14). Воспользовавшись (11) и равномерной ограни- ченностью производных (15), получим

f(n+1)(c)

(x)

−

x )n+1

≤

x − x0|n+1

, x

(a, b),

(n + 1)!

101

откуда, учитывая (16), и следует (14), а, значит, по теореме 2 функция f(x) разлагается в ряд Тейлора в интервале (a, b).

Покажем, что ни в никакой иной степенной ряд, кроме ряда Тейлора, функция разлагаться не может.

Теорема 4. Если в интервале (a, b), содержащем точку x0 функция f(x) представляется

степенным рядом

∑∞

f(x) =		an(x − x0)n,		(18)
	n=0
то для всех целых неотрицательных n
		f(n)(x0)
an	=		,
an	=		,
		n!

т.е. степенной ряд

∑∞

an(x − x0)n

n=0

является рядом Тейлора данной функции.

Действительно, из равенства (18) при x = x0 мы находим a0 = f(x0). Выше мы отмети-

ли, что степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать произвольное число раз. Будем последовательно почленно дифференцировать (18), подставляя в каждое из

полученных равенств точку x0 :

∑∞

f′(x) =

−

)n−1

= a = f′(x

n=1

f′′(x) = ∞

n(n 1)a (x x )n−2 = a = f′′(x0),

∑

−

− 0

n=2

f(n)(x) =

∞

k(k 1) . . . (k n + 1)a (x x )k−n = a = f(n)(x0),

∑

− · · −

k − 0

k=n

· ·

Из доказанной теоремы следует, что для разложения данной функции в ряд Тейлора достаточно разложить ее каким-нибудь образом в соответствующий степенной ряд .

Â главе V (Ÿ5, пункт 2, формулы (1) (6)) мы нашли разложения некоторых элементарных

функций по формуле Маклорена. Найдем, пользуясь ими, разложения тех же функций в ряд Маклорена (13).

Для функции f(x) = ex, x R ряд Маклорена имеет вид

∞	xn		x		x2		xn
∑		= 1 +		+		+ . . . +		+ . . .
	n!	= 1 +		+		+ . . . +		+ . . .
n=0	n!	1!		2!			n!
n=0

и поскольку все производные f(n)(x) = ex, n N равномерно ограничены в любом конечном интервале действительной оси, то по теореме 3

∞	xn		x x2				xn
∑
ex =	n!	= 1 +	1!	+	2!	+ . . . +	n!	+ . . . , x R.
n=0

Совершенно аналогично мы получим разложения

∞

n+1 x2n−1

∑

(−1)

(2n

−

1)!

= x −

3! + 5! + . . . + (−1)

(2n

−

1)!

+ . . . , x R;

sin x =

n=1

∞

n x2n

∑

(−1)

= 1 −

+ . . . + (−1)

+ . . . , x R.

cos x =

(2n)!

n=0

102

Найдем, далее, интервал сходимости ряда Маклорена

∞	α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)xn = 1 + α x+ α(α − 1)x2			+ . . .+ α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)xn + . . .
∑
n=0	n!	1!	2!		n!
n=0

функции (1 + x)α, α R, x > −1. Радиус сходимости этого ряда мы найдем по формуле (5):

α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)

= lim

n + 1

1 +

= 1.

R = lim

lim

α(α

. . .

(α

−

→∞ n

−

→∞

−

→∞

Следовательно, данный

ряд сходится (абсолютно)

в интервале (

−

1, 1). Обозначим его сумму

(n + 1)!

через y(x) и покажем, что эта функция в интервале (−1, 1) является решением линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка

(1 + x)y′ = αy.

(19)

В самом деле, поскольку степенной ряд мы имеем право дифференцировать внутри интервала

сходимости, то		α(α − 1) · . .n. !· (α − n + 1)xn)′	=	∞	α(α − 1) · . .n. !· (α − n + 1)nxn−1 =
y′(x) =	( ∞	α(α − 1) · . .n. !· (α − n + 1)xn)′	=	∞	α(α − 1) · . .n. !· (α − n + 1)nxn−1 =
	∑			∑
	n=0			n=1

= ∑∞ α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)xn−1

(n − 1)!

n=1

и, значит,

= ∑∞ α(α − 1) · . . . · (α − n)xn, x (−1, 1) n!

n=0

(1 + x)y′(x) = y′(x) + xy′(x) =

∞

α(α − 1) · . . . · (α − n)

xn + x

∞

α(α − 1) · . . . · (α − n)

xn =

n=0

∞

∑

∞

∑

α(α − 1) · . . . · (α − n)

xn +

α(α − 1) · . . . · (α − n)

xn+1 =

n=0

∑

∞

α(α

1) . . .

(α

n + 1)

= n=0

(

α(α − 1) · . .

. · (α − n)

−

)xn =

1)!

∑

∞

α − n

−

xn =

α(α

. . .

(α

n + 1)

n=0

(

−

1)!)

∑

= α ∞

α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)

xn = αy(x), x

( 1, 1),

n=0

−

∑

в чем и требовалось убедиться. Как показывает непосредственная проверка, функция (1 + x)α

также удовлетворяет дифференциальному уравнению (19). Учитывая, далее, что значения функций y(x) è (1 + x)α ïðè x = 0 совпадают (равны 1), ìû ïî теореме существования и

единственности решения задачи Коши (глава IX, Ÿ1) заключаем, что y(x) = (1 + x)α и, таким

образом,

(1 + x)α =

∞ α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)xn, x ( 1, 1).

∑

−

n=0

В частности, при α = −1 мы получаем уже знакомый нам ряд геометрической прогрессии

∞

∑

1 + x

= 1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)nxn + . . . =

(−1)nxn, x (−1, 1).

(20)

n=0

Проинтегрируем почленно это равенство:

x3 x4

∞

∑

= ln(1 + x) = x − 2

+ 3 − 4 + . . . + (−1)n+1

n , x (−1, 1).

∫

1 + s

+ . . . = n=1(−1)n+1

103

Покажем, что полученное представление имеет место и при x = 1. Для этого воспользуемся найденным в Ÿ5 главы V разложением функции 1/(1 + x) по формуле Маклорена ïðè x > −1

= 1

−

x + x2 + . . . + (

−

1)nxn + R

(x), R

(x) =

(−1)n+1

xn+1, c

(0, x).

1 + x

(1 + c)n+2

Отсюда после почленного интегрирования мы находим

ln(1 + x) = x

+ . . . + (

1)n+1

∫0

(−1)n

snds

−

3 −

−

(1 + c)n+1

и, значит, при x = 1

ln 2 = 1

+ . . . + ( 1)n+1

∫0

(−1)n

snds.

− 2 3

− 4

−

(1 + c)n+1

Поскольку 1 + c ≥ 1 ïðè 0 ≤ s ≤ 1, òî

n+1

snds = s

(−1)n+1 snds

(−1)n+1 sn

∫

(1 + c)

≤ ∫

(1 + c)

≤

∫

n + 1

−→

ïðè n

и, стало быть,

→ ∞

n+1 1

∞

n+1 1

∑

ln 2 = 1 −

−

+ . . . + (−1)

+ . . . =

(−1)

n=1

Таким образом, справедливо разложение

∞

∑

ln(1 + x) = x −

−

+ . . . + (−1)n+1

+ . . . =

(−1)n+1

, x (−1, 1].

(21)

Заменив здесь x íà −x, получим

n=1

∞

∑

ln(1 − x) = −x −

−

− . . . −

− . . . = − n=1

, x [−1, 1).

(22)

Вычитая почленно из равенства (21) равенство (22), найдем

1 + x

x2n

−

∞ x2n

= 2

(x +

+ . . . +

+ . . .) = 2 n=1

−

, x (−1, 1).

(23)

−

∑

−

В отличие от формул (21) и (22), которые позволяют вычислять с помощью степенных рядов логарифмы чисел из промежутка (0, 2], формула (23) дает возможность вычисления

логарифмов любых положительных чисел

, поскольку множеством значений функции 1+x

интервале

(−1, 1)

является полуось (0, +

∞

1−x â

Заменим в разложении (20) x íà x

∞

∑

1 + x2

= 1 − x2 + x4 − x6 + . . . + (−1)nx2n + . . . =

(−1)nx2n, x (−1, 1)

n=0

и проинтегрируем почленно полученное равенство:

x3 x5 x7

x2n+1

∞

x2n+1

∑

∫

1 + s2

= arctg x = x −

−

+ . . . + (−1)n

2n + 1

+ . . . = n=0(−1)n

2n + 1

, x (−1, 1).

Точно также, как и в (21) можно доказать, что найденное разложение справедливо и при x = ±1. Таким образом, окончательно,

x3 x5 x7

n x2n+1

∞

n x2n+1

∑

arctg x = x −

−

+ . . . + (−1)

2n + 1

+ . . . =

(−1)

2n + 1

, x [−1, 1].

n=0

104

В частности, при x = 1

π	1 1 1						1			∞	1
										∑
4	= 1 −	3	+	5	−	7	+ . . . + (−1)n	2n + 1	+ . . . =	(−1)n	2n + 1	.
										n=0

Для удобства в использовании сведем все найденные выше разложения в таблицу.

Таблица разложений некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

1) ex = 1 +

∞

+ . . . +

+ . . . =

, x R;

n=0

∑

∞

n+1 x2n−1

2) sin x = x −

+ . . . + (−1)

+ . . . =

(−1)

, x R;

(2n

1)!

n=1

(2n 1)!

−

∞

∑

n x2n

3) cos x = 1 −

+ . . . + (−1)

+ . . . =

(−1)

, x R;

(2n)!

n=0

∑

4) (1 + x)α = 1 +

x +

α(α − 1)

+ . . . +

α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)

xn + . . . =

∞

α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)

xn, α

R, x

(

1, 1);

n=0

−

∑

∞

= 1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)nxn + . . . =

(−1)nxn, x (−1, 1);

1 + x

n=0

∑

ln(1 + x) = x

−

+ . . . + (−1)n+1

1 + x

x2n

7) ln

= 2 (x +

+ . . . +

−

+ . . .)

−

x2n+1

arctg x = x −

−

+ . . . + (−1)n

2n + 1

+ . . . = ∑∞ (−1)n+1 xn , x (−1, 1]; n

n=1

∞ x2n−1
= 2 n=1				, x (−1, 1);
= 2 n=1	2n	−	1	, x (−1, 1);
∑		−
	∞				x2n+1
∑
+ . . . =		(−1)n			2n + 1	, x [−1, 1].
n=0

Пользуясь этой таблицей, мы можем получить разложения и других элементарных функций в ряд Маклорена или Тейлора.

Пример 2. Найти разложения в ряд Маклорена функций sh x è ch x.

Решение. Воспользуемся первым из табличных разложений, заменив в нем x íà −x :

e−x = 1

x + x2 x3 + . . . + ( 1)n xn + . . . =

∞

( 1)n xn

, x R.

−

∑

−

n=0

Тогда

(ex − e−x) = x +

x2n−1

∞

x2n−1

sh x =

+ . . . +

+ . . . =

, x R;

(2n

−

1)!

(2n

−

1)!

n=1

∞

∑

(ex + e−x) = 1 +

x2n

, x R.

ch x =

+ . . . +

+ . . . =

(2n)!

n=0

Пример 3. Найти разложения в ряд Тейлора функций

∑

a) cos2 x, x0 =

= −1.

; b)

, x0

x2 + x

−

Решение. a) Поскольку

cos2 x =

(1 + cos 2x) =

(1 + sin (

− 2x))

(1 − sin 2

−

)),

105

то, применив второе из табличных разложений, получим

n=1

(

−

))

2n−1

n=1

−

(

)

∑

∞

n+1

2 x −

π4

∞

n 22n−1

2n−1

cos

x =

(1 −

(−1)

(2n

1)!

) =

(1 +

(−1)

(2n 1)!

x −

), x R.

b) Òàê êàê

(

−

x2 + x − 2

(x − 1)(x + 2)

x − 1

x + 2

то найдем сначала разложения в ряд Тейлора по степеням x + 1 каждой из дробей в скобках, воспользовавшись пятым из табличных разложений. Для первой из дробей

∞

x + 1 n

∞

(x + 1)n

∑

1)n

(−

)

∑

−

x 1

−2 (x + 1)

−2

· 1

−

2 n=0

−

− n=0

2n+1

Найдем интервал сходимости полученного ряда:

−1 < x + 1 < 1 −2 < x + 1 < 2 −3 < x < 1. 2

Для второй дроби

1	1			∞
				∑
x + 2	=	1 + (x + 1)	=	(−1)n(x + 1)n, x (−2, 0).
				n=0

Тогда для данной функции

∞

(x + 1)n

∞

∑

x2 +1x

−

= 3

((−1)n+1 − 2n+1 )(x + 1)n,

(− n=0

2n+1 − n=0(−1)n(x + 1)n)

= 3 n=0

x (−2, 0).

Замечание 4. Наряду со степенным рядом (1) переменной x мы можем рассматривать и

степенные ряды большего числа переменных. В частности, степенным рядом двух переменных

x è y с центром в точке M0(x0, y0) называется функциональный ряд вида

∑∞ ∑∞

amn(x − x0)m(y − y0)n,

(24)

m=0 n=0

ãäå amn действительные числа. Для такого степенного ряда справедлив аналог теоремы

Абеля, из которого следует, что его множество сходимости симметрично относительно точки M0 и в каждой внутренней точке этого множества ряд (24) сходится абсолютно.

Если функция f(x, y) двух переменных определена и бесконечно дифференцируема в неко-

торой области D на плоскости, содержащей точку M0(x0, y0), то при определенных условиях она в этой области разлагается в степенной ряд (24), который необходимо является ее рядом

Тейлора, ò. å.		∞ dnf(M0)
		∞ dnf(M0)
		∑
f(x, y) =					,
				n!
		n=0
где все дифференциалы dnf(M0) рассчитываются для приращений x − x0 è y − y0						соответ-
ствующих переменных в точке M0.
Рассмотрим теперь основные приложения степенных рядов.
1) Приближенное вычисление значений функции.
Пусть в интервале (a, b) функция f(x) представляется своим рядом Тейлора
∞	f(n)(x0)
∑			(x − x0)n, x (a, b)
f(x) =	n!		(x − x0)n, x (a, b)			(25)
n=0

106

в точке x0 (a, b). Поскольку при каждом фиксированном x (a, b) остаток ряда Тейлора бесконечно мал при n → ∞, то для того, чтобы при заданной точности ε > 0 вычислить значение функции f(x), достаточно выбрать n таким, чтобы остаток ряда

∞	f(k)(x0)
k ∑		(x − x0)k
k ∑	k!
Rn(x) =	k!
=n+1

был меньше ε по абсолютной величине. Тогда

f(x) ≈ ∑n f(k)(x0)(x − x0)k k!

k=0

с точностью ε. Если при данном x ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям признака Лейбница (Ÿ1, теорема 9), то, как отмечалось там же, суммирование при вычисле- нии f(x) следует проводить до первого слагаемого, которое по абсолютной величине не будет

превосходить ε.

(

4 +

2 )

ε = 10−

Решение. a) Поскольку (пример 2) cos

Пример 4. Вычислить a) sh 1; b)

с точностью

x2n−1

∞

x2n−1

∑

, x R,

sh x = x + 3! + 5! + . . . + (2n

−

1)!

1)! + . . . = n=1 (2n

òî

∞

∑

sh 1 =

(2n

−

1)!.

n=1

Заметим, далее, что (2n − 1)! > 10n−1 ïðè n ≥ 3 и, значит,

, n ≥ 3.

Тогда при n ≥ 2

(2n − 1)!

10n−1

∞

∑

k ∑

(2k

−

1)! <

10k

−

= 10n ·

−

< 10n

−

k=n+1

=n+1

è, òàê êàê 1

< 10−6 ïðè n > 7, òî

10n−1

(2n

1)!

∞

(2n

1)! < ε.

sh 1 − 8

∑

Следовательно,

n=1

−

n=9

−

∑

−

sh 1 ≈ n=1

= 1, 175201

(2n

1)!

ñзаданной точностью ε.

b)Воспользуемся найденным в примере 3 разложением функции cos2 x в ряд Тейлора в

точке x0

= π :

∞

22n

2n 1

∑

−

cos2 x =

(1 +

(−1)n

(2n

1)!

x −

)

− )

, x R.

Отсюда при x = π + 1

n=1

−

(

4 2 мы имеем

cos2

1 +

∞

(−1)n

∑

(

−

1)!)

n=1 (2n

Знакочередующийся ряд в правой части данного равенства удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому, как мы отмечали выше, вычисления достаточно проводить до первого

107

слагаемого, которое по абсолютной величине окажется меньше ε. Поскольку

< 10−6, òî

2·11!

−

∑

cos2

1 +

(−1)n

= 0, 079264

(

2) ≈

(

n=1

(2n 1)!)

с точностью ε.

2) Приближенное вычисление определенного интеграла.

Предположим, что функция f(x) разлагается в интервале (a, b) â ряд Тейлора (25) в точке x0 (a, b). Вычислим приближенно с точностью ε > 0 интеграл

∫x1

f(x)dx, x1 (a, b).

Поскольку степенной ряд внутри интервала сходимости мы имеем право почленно интегриро-

âàòü, òî	x1	∞ x1			∞
				(n)		f(n)(x )
	x0	∑x0		(x0)	∑
	∫	f(x)dx = n=0 ∫	f		(x − x0)ndx = n=0	0	(x1 − x0)n+1.
				n!		(n + 1)n!

Далее мы поступаем точно также, как и выше при вычислении приближенного значения функции, т. е. заменяем числовой ряд в правой части полученного равенства подходящей частичной суммой, для которой соответствующий остаток по абсолютной величине будет меньше задан-

ной точности вычисления ε.

Пример 5. Вычислить с точностью ε = 10−6 значение функции1

∫t

F (t) = e− x22 dx

в точке t = 1.

Решение. Как отмечалось в главе VI, Ÿ2, пункт 2 интеграл F (t) не выражается через элемен-

тарные функции. Воспользовавшись первым из табличных разложений, мы можем записать

e− x22

∞

(−x22 )n =

∞

( 1)n xn2n

, x R.

∑

−

n=0

2 n!

Тогда

∞

x2n

∞

t2n+1

∑

F (t) = n=0

∫ (−1)n

2nn!

dx = n=0(−1)n

2nn!(2n + 1)

и, стало быть,

F (1) = ∞

(−1)n .

∑

n=0 2nn!(2n + 1)

Знакочередующийся ряд в правой части удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому

∑

(−1)n

F (1)

≈ n=0

2nn!(2n + 1)

= 0, 855624

с погрешностью ε, поскольку

< 10−6.

277!15

3) Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Рассмотрим задачу Коши

y′ = f(x, y), y(x0) = y0,

∫

1С точностью до константы функция

F (t)

совпадает с функцией ошибок

(t) =

−

dx;

которая

√2π

широко используется в теории вероятностей и математической статистике.

108

где правая часть f(x, y) дифференциального уравнения в некоторой области D M0(x0, y0)

представляется степенным рядом (24).

Из общей теории дифференциальных уравнений известно, что решение поставленной задачи Коши существует, единственно и может быть найдено также в виде степенного ряда

∞
y(x) = ∑ yn(x − x0)n,	(26)

n=0

сходящегося в некотором интервале, содержащем точку x0.

Неизвестные коэффициенты ряда могут быть найдены двумя способами. Во-первых, подставляя решение (26) в исходное дифференциальное уравнение и приравнивая коэффициенты

при одинаковых степенях выражения x − x0 в обеих частях получившегося равенства, мы по-

лучим алгебраические уравнения относительно неизвестных коэффициентов yn, из которых они и определяются. Второй способ нахождения коэффициентов основан на том, что ряд в правой части равенства (26) является рядом Тейлора искомого решения в точке x0 и, значит,

yn = y(n)(x0), n = 0, 1, 2, . . .

Производные y(n)(x0) мы можем последовательно найти почленным дифференцированием обеих частей данного дифференциального уравнения с подстановкой в полученное на каждом шаге равенство значения x0 и ранее найденных значений производных в точке x0.

Заметим, что в общем случае не всегда удается найти все коэффициенты разложения (26). Обрывая процесс на каком-нибудь шаге, мы получим приближенное решение поставленной задачи Коши.

Пример 6. Найти первые пять отличных от нуля слагаемых разложения решения задачи

Êîøè

y′ = x2 + y2, y(1) = 1

в степенной ряд.

Решение. Как следует из (26), искомое решение имеет вид:

y(x) = y(1) +	y′(1)		(x − 1) +	y′′(1)	(x − 1)2 +	y′′′(1)	(x − 1)3 +	yIV (1)	(x − 1)4 + . . . (27)
	1!			2!		3!		4!

Неизвестные коэффициенты мы будем искать вторым из предложенных выше способов. Подстановка значения x = 1 в дифференциальное уравнение дает нам

y′(1) = 12 + (y(1))2 = 1 + 1 = 2.

Дифференцируя почленно данное дифференциальное уравнение и подставляя в полученное равенство x = 1, получим:

y′′ = 2x + 2yy′ = y′′(1) = 2 · 1 + 2y(1)y′(1) = 2 + 4 = 6.

Аналогично,

y′′′ = 2 + 2((y′)2 + yy′′) = y′′′(1) = 2 + 2((y′(1))2 + y(1)y′′(1)) = 2 + 2 · 10 = 22; yIV = 2(3y′y′′ + yy′′′) = yIV (1) = 2(3y′(1)y′′(1) + y(1)y′′′(1)) = 2 · 58 = 116.

Подставив найденные значения производных в (27), получим окончательно y(x) = 1 + 2(x − 1) + 3(x − 1)2 + 113 (x − 1)3 + 296 (x − 1)4 + . . .

Ÿ4. Ряды Фурье

Ряды Фурье (ряды тригонометрических функций) имеют исключительно важное значение как в самой математике, так и в ее многочисленных приложениях. Это связано с тем, что ряды Фурье представляют периодические функции , а периодические процессы часто встречаются в природе и многих областях человеческой деятельности. Например, решения многих задач математической физики, теоретической механики, теоретической электротехники, электросвязи

Теорема 2.

109

представляются в виде рядов Фурье. Некоторые из этих задач мы в свое время рассмотрим при изучении основных уравнений математической физики.

Для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые простые факты, касающиеся интегралов периодических, а также четных и нечетных функций.

Напомним, функция f(x) определенная на всей действительной оси называется периодиче- ской с периодом T > 0, если для всех действительных чисел x выполняется равенство

f(x + T ) = f(x).

Для краткости мы такую функцию будем называть T -периодической.

Данную T -периодическую функцию мы всегда будем рассматривать на промежутке длиной
	Åñëè T -периодическая функция f(x) кусочно[-				)
в период, причем для симметрии чаще всего на промежутке			−T2		, T2 .
Теорема 1.				непрерывна (глава VII, Ÿ1) íà
отрезке длиной в период, то, во-первых, для любых действительных чисел a è b
	b∫+Tf(x)dx = ∫b f(x)dx
	a+T	a
и, во-вторых, для всякого действительного		a
	a∫+Tf(x)dx = ∫T f(x)dx.

Äо к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего отметим, что благодаря кусочной непрерывности функции f(x) все приведенные выше интегралы существуют.

Для доказательства первого равенства проведем в интеграле его левой части линейную подстановку x = z + T. Тогда, учитывая, что отрезок [a + T, b + T ] отображается в отрезок

[a, b], dx = dz и функция f(x) является T -периодической, мы получим

b∫+T ∫b ∫b

f(x)dx = f(z + T )dz = f(z)dz.

a+T a a

Докажем второе равенство. Так как благодаря первому равенству

a∫+T ∫a

f(x)dx = f(x)dx,

		T	0
òî	a∫+Tf(x)dx = ∫0 f(x)dx + ∫T f(x)dx + a∫+Tf(x)dx =
	a∫+Tf(x)dx = ∫0 f(x)dx + ∫T f(x)dx + a∫+Tf(x)dx =
	a	a	0	T
	a	T	a	T
	= − ∫0	f(x)dx + ∫0	f(x)dx + ∫0	f(x)dx = ∫0	f(x)dx,

в чем и требовалось убедиться.

Функция f(x), определенная на всей действительной оси, называется четной (нечетной ), åñëè

f(−x) = f(x) (f(−x) = −f(x)) , x R.

Для четной кусочно-непрерывной на любом конечном отрезке числовой оси функции f(x) при любом действительном a

∫a ∫a

f(x)dx = 2 f(x)dx.

−a 0

110

Для нечетной функции f(x) с тем же свойством

∫a

f(x)dx = 0.

−a

Для доказательства этого геометрически очевидного факта заметим, что

∫0 ∫0 ∫a

f(x)dx = | x = −z, dx = −dz | = − f(−x)dx = f(−x)dx.

−a a 0

Тогда для четной функции

∫0 ∫a

f(x)dx = f(x)dx,

−a	0
а для нечетной		∫a f(x)dx.
∫0 f(x)dx = −		∫a f(x)dx.
−a		0
Отсюда, учитывая, что
∫a f(x)dx = ∫0 f(x)dx + ∫a f(x)dx,
−a	−a	0

мы и получаем приведенные выше формулы.

Зафиксируем положительное число T и рассмотрим счетную систему T -периодических тригонометрических функций

1, cos ωx, sin ωx, cos 2ωx, sin 2ωx, . . . , cos nωx, sin nωx, . . . ,

(1)

ãäå ω = 2Tπ .

Составим теперь ряд из тригонометрических функций (1) с действительными коэффициен-

òàìè		∞
		∞
	a0	∑
		+ (an cos nωx + bn sin nωx).			(2)
2		n=1	[	)
		n=1
T -периодическую функцию, поскольку
Если этот ряд сходится на промежутке			−T2 , T2	, то его сумма	S(x) представляет собой

такой период имеет каждая из тригонометрических

функций, составляющих данный ряд.

Поставим теперь обратную задачу, а именно, при каких условиях заданная T -периодическая функция f(x) представляется тригонометрическим рядом (2) и как при этом вычисляются

коэффициенты a0, an, bn, n N этого ряда.

Займемся сначала коэффициентами. Для этого заметим прежде всего, что

	T			T
	2			2
	∫T	sin nωxdx = ∫T			cos nωxdx = 0, n N;
	− 2	T		− 2
		T
		2
		∫T	sin mωx cos nωxdx = 0, m, n N;			(3)
T	− 2		T
T			T
∫2	sin mωx sin nωxdx = ∫2			cos mωx cos nωxdx = 0, m, n N, m ̸=n.

− T2

111

Справедливость всех этих равенств легко проверяется. Докажем, например, второе из них. Если m ̸=n, òî

∫T

sin mωx cos nωxdx =

∫T

(sin(m − n)ωx + sin(m + n)ωx)dx =

− 2

−

Åñëè æå

òî

−2

(

cos(m

−

n)ωx +

(m + n)ω

cos(m + n)ωx

)

= 0.

(m n)ω

m = n,

−

sin nωx cos nωxdx =

sin nωx d sin nωx =

sin2 nωx

= 0.

∫T

nω

∫T

2nω

− 2

Пусть T -периодическая функция f(x) представляется тригонометрическим рядом (2), т. е.

∞

T T

∑

f(x) =

+ n=1(an cos nωx + bn sin nωx), x [−

)

(4)

[

правой части данного равенства, а также рядов, полученных из него

]

и она по своим свойствам допускает почленное интегрирование по отрезку

−T2 , T2

ðÿäà â

умножением на функции

cos mωx, sin mωx, m N (êàê ìû

установили в Ÿ2 данной главы это будет иметь место, на-

[

]

равномерно). Выполним интегрирование в

равенстве (4), учитывая первое из

2 ,

пример, если ðÿä (2) сходится на отрезке

−

равенств (3):

∞ an

sin nωxdx =

f(x)dx =

cos nωxdx + bn

−

− 2

∑

− 2

Отсюда

∫T

n=1

a0 =

∫T

f(x)dx.

− 2

Умножим, далее, обе части равенства (4) на функцию cos mωx, m N и проведем затем интегрирование, принимая во внимание равенства (3):

f(x) cos mωxdx = a0

cos mωxdx +

∞ an

cos mωx cos nωxdx+

∫T

∑

∫T

n=1

− 2

∫T

+bn

sin nωx cos mωxdx

= am

cos2 mωxdx =

(1 + cos 2mωx)dx =

Следовательно,

− 2

−

am =

∫T

f(x) cos mωxdx.

− 2

Из этих теорем, в частности, следует, что

им рядом Фурье.

условия, при которых периодическая функция представляется сво-

представление функции, удовлетворяющей

(2) единственно, причем он является рядом

112

Аналогичные вычисления приводят к формуле

bm =	2	∫T	f(x) sin mωxdx, m N.
	T
		− 2

Таким образом, нами доказана следующая				[	)
	(2) и этот ряд, а также ряды, полученные из него
Теорема 3. Åñëè T -периодическая функция		f(x) разлагается в промежутке		−T2 , T2	â
тригонометрический ряд			умножением

на функции cos mωx, sin mωx, m N, допускают почленное интегрирование по указанному промежутку, то коэффициенты ряда вычисляются по формулам

		T			T			T
	2	2		2	2		2	2
a0 =	2	∫T	f(x)dx, an =	2	∫T	f(x) cos nωxdx; bn =	2	∫T	f(x) sin nωxdx, n N.	(5)

	T			T			T
		− 2			− 2			− 2

Тригонометрический ряд (2), коэффициенты которого вычисляются по формулам (5), называется рядом Фурье функции f(x).

Из проведенных выше рассуждений следует, что

условиям теоремы 3, тригонометрическим рядом

Фурье данной функции. Сформулируем теперь

Исследование сходимости ряда Фурье весьма сложно и связано с кропотливым исследованием его частичной суммы. Мы приведем все нижеследующие утверждения без доказательства, введя предварительно необходимые определения.

Функция f(x), определенная на отрезке [a, b], называется кусочно-монотонной, если данный

отрезок можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция является монотонной.

Теорема 4 (признак Дирихле). Åñëè T -периодическая функция f(x) кусочно-непрерывна
сумме	[− 2	,	2	]	,		x R
и кусочно-монотонна на отрезке	T		T			то ее ряд Фурье в любой точке		сходится к
и кусочно-монотонна на отрезке						то ее ряд Фурье в любой точке		сходится к

(f(x − 0) + f(x + 0)),

т.е. в каждой точке непрерывности сумма ряда Фурье равна значению функции в этой точ- ке, а в каждой точке разрыва среднему арифметическому левостороннего и правостороннего предельных значений функции. На любом отрезке непрерывности функции f(x) ряд Фурье

сходится к ней равномерно.

Аналогичное утверждение имеет место и для кусочно-дифференцируемых функций. Функция f(x), определенная на отрезке [a, b], называется кусочно-дифференцируемой , если

данный отрезок мы можем разбить на конечное число промежутков, внутри которых функция дифференцируема, а на концах имеет не только конечные предельные значения, но и односторонние производные, при условии замены на этих концах значений функции указанными

предельными значениями.			[− 2	,	2	]
функции f(x) сходится приTлюбом действительном x R к сумме			[− 2	,	2	]
Теорема 5. Ряд Фурье -периодической, кусочно-дифференцируемой на отрезке			T		T

1		(f(x − 0) + f(x + 0)).

	2

На любом отрезке числовой оси, где функция f(x) дифференцируема и ее производная f′(x)

ограничена, ряд Фурье сходится к данной функции равномерно.

ряд Фурье позволяет получить единое аналитиче-

ское представление для "склеенных\функций, имеющих на разных промежутках различные аналитические выражения.

Частным случаем, встречающимся в приложениях, являются 2π-периодические функции.

Åñëè 2π-периодическая функция f(x) удовлетворяет условиям одной из сформулированных

113

выше теорем, то в любой точке непрерывности функции
				a0	∞
			f(x) =	a0	+	(an cos nx + bn sin nx),
				2	n=1
ãäå					∑
ãäå	π			π			π
	π			π			π
	1		1	∫			1	f(x) sin nxdx, n N.
a0 =	π ∫	f(x)dx, an = π		∫	f(x) cos nxdx; bn = π ∫			f(x) sin nxdx, n N.
	−π			−π			−π
В каждой точке разрыва функции
		1	(f(x − 0) + f(x + 0)) =			a0	∞
		2	(f(x − 0) + f(x + 0)) =			2	+ (an cos nx + bn sin nx).
							n=1
							∑
Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
			f(x) =			x, x [−2, 0),
					{ −1,		x [0, 2).
Решение. График этой 4-периодической функции имеет вид:
						Y
						2
						1
						O				X
-8	-6		-4	-2		O	2	4	6	8

Данная функция, очевидно, кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна, поэтому по признаку Дирихле она разлагается в ряд Фурье. Найдем коэффициенты ряда по формулам (5), разбивая каждый из интегралов на сумму двух по соответствующим отрезкам.

	T				0			2
	2				0			2					2		0				2
					2			0					2		0				2
2		1			2			0			1		x	−
	− 2			−				∫				2 (−
a0 = T ∫T		f(x)dx = 2 ∫ −xdx +						∫	1dx =			2 (−	2 2			+ x 0)				= 2.
При нахождении коэффициентов an, bn, n N мы будем использовать																	метод			интегрирования
по частям.
	T						0						2
2	2		2πn			1	0			πn			2					πn
2	∫		2πn			1				πn	xdx + ∫							πn

an = T		f(x) cos T xdx =				2	∫	−x cos 2						1 cos				2 xdx =

			0	− T2
			0
1		2	∫

= 2	−πn			xd sin

−2

2πn 0

=−π2n2 cos 2 x −2

−2 0

−

∫

πn

−

x + πn sin 2

πn

sin 2

x sin 2

xdx =

åñëè

;

−π2

n = 2m

− 1

−

( 1)n) =

(2m − 1)2

2 2

π n

− −

åñëè n = 2m, m

114

Аналогично

2πn

πn

∫

−x sin

xdx + ∫

bn = T

f(x) sin T

xdx =

∫

1 sin

2 xdx =

			0	− T2
1		2			πn

			−2
= 2				xd cos 2
	πn		∫

−2 0

−

∫

− −

πn

−

πn cos

2 x

cos 2

xdx

πn x cos

2 x

( 1)n + 1 =

πn

−

åñëè

;

= πn (2 · (−1)n −

πn sin

− (−1)n

+ 1) =

((

+ 1) =

n = 2m

−

åñëè

πn

−

πm

n = 2m, m N.

Осталось записать разложение (4) данной функции в ряд Фурье:

∞				1
∑
∑	(−	π2	−	1)2 cos π(2n2− 1)x + πn sin πnx)
f(x) = 1 + n=1	(−	π2	(2n4	1)2 cos π(2n2− 1)x + πn sin πnx)

во всех точках непрерывности. В точках разрыва x = ±2 сумма ряда Фурье равна

12(f(−2 − 0) + f(−2 + 0)) = 12(1 + 2) = 32,

а в точке x = 0 она равна

12(f(−0) + f(+0)) = 12(0 + 1) = 12.

Поскольку ряд Фурье данной функции в точке x = 0 имеет вид

∞		4
∑
∑	π2	(2n	−	1)2 ,
1 + n=1 −	π2	(2n		1)2 ,

то из уравнения

∞

∑

(2n

−

1)2 = 2

мы находим

1 + n=1 −π2

∞

π2

∑

(2n

−

= .

n=1

Учитывая далее, что

∞

π2 1

∞

∑

n2 =

(2n

−

1)2 +

(2n)2 = 8 + 4

n2 ,

n=1

мы получаем

∞

π2

∑

и, значит,

n=1

∞

π2

∑

n=1 n2 = 6 − ряд Эйлера.

Äëÿ четной èëè нечетной функции ряд Фурье упрощается. Пусть, например, T -периоди-

ческая функция f(x) является четной и удовлетворяет условиям одной из теорем 4 èëè 5. Тогда, учитывая, что при любом натуральном n функция f(x) cos nωx является, очевидно,

основных уравнений математической физики

115

четной, а функция f(x) sin nωx нечетной, мы, воспользовавшись теоремой 2 è формулами

(5), получим:

∫T f(x)dx =

∫0

a0 =

f(x)dx,

− 2

an =

∫T f(x) cos nωxdx =

∫0

f(x) cos nωxdx;

− 2

bn =

∫T

f(x) sin nωxdx = 0.

− 2

Таким образом, четная T -периодическая функция раскладывается в ряд Фурье по косинусам,

ò.å.

∞

∑

f(x) =

an cos nωx,

n=1

ãäå

∫0

f(x) cos nωxdx, n N,

a0 =

f(x)dx, an

во всех точках непрерывности функции.

Аналогично мы можем убедиться в том, что нечетная T -периодическая функция f(x), óäî-

влетворяющая условиям одной из теорем 4 èëè 5, представляется во всех точках непрерывности рядом Фурье по синусам :

∑∞

	f(x) =			bn sin nωx,	(6)
				n=1
ãäå		T
		T
	4	2
bn =	4	∫0	f(x) sin nωxdx, n N.		(7)

	T

Если функция f(x) задана на отрезке [0, l], то мы можем разложить ее в ряд Фурье толь-

ко по косинусам или только по синусам . Для этого достаточно доопределить ее на симметричном интервале (−l, 0) соответственно четным или нечетным образом и затем периодически

продолжить на всю числовую ось, превратив ее тем самым в 2l-периодическую функцию. При

изучении мы будем использовать разложение таким образом заданной функции в ряд Фурье по синусам. Запишем, следуя (6) (7), кон-

кретный вид этого разложения, учитывая, что здесь T = 2l и, значит, ω =

π :

∞

πn

∑

f(x) =

bn sin

(8)

n=1

ãäå

∫0

πn

bn =

f(x) sin

xdx, n N.

(9)

Пример 2. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

√

f(x) = cos

2x, x [0, 1].

Решение. Доопределив эту функцию в интервале (−1, 0) нечетным образом и затем периоди- чески продолжив ее на всю числовую ось, мы получим нечетную 2-периодическую функцию, график которой имеет вид:

116
							Y
						1
												X
-6	-5	-4	-3	-2	-1	O	1	2	3	4	5	6
						-1
Коэффициенты разложения (8) этой функции в ряд Фурье мы найдем по формулам (9) ïðè
l = 1 :

				1									1	(				(			)				(					)	)
bn =			1	0	cos							0		(				(			)				(					)	)
bn =			1	∫	cos	√2x sin πnxdx = ∫										sin			πn −		√2 x + sin				πn + √2					x	dx =
		(	2				)		(					)										(		)				(			)	)+
		(					)		(					)										(		)				(			)
	cos		πn		√2			x cos		πn + √2 x									1	= −				πn	√2		+		cos πn + √2
= − (		πn			−√2			+	πn + √2						)					= −	(cosπn −√2						+			πn + √2

																						− −
				−														0						−
																			2πn 1 ( 1)n cos √
								1				1							2πn 1 ( 1)n cos √							2
						+		πn − √		+				√			=			(		π2n2 − 2					)	.
						+		πn − √	2	+	πn +			√		2	=			(		π2n2 − 2					)	.
Тогда										∞					(−1)n cos √
						√				∞	n 1				(−1)n cos √							2
									∑
					cos				∑		(		−π2n2					−		2			) sin πnx, x (0, 1).
					cos			2x = 2π n=1			(		−π2n2							2			) sin πnx, x (0, 1).
В точках x = 0, x = 1 сумма ряда Фурье данной функции, очевидно, равна 0.
Обсудим, наконец, возможность разложения в																					ряд Фурье				íà		некотором промежутке
произвольной, вообще говоря,									непериодической функции . Пусть функция																						f(x)	на отрезке

[x0, x0 + T ], T > 0 своей области определения кусочно-непрерывна è кусочно-монотонна èëè кусочно-дифференцируема. Распространим ее периодически с промежутка [x0, x0 + T ) на всю числовую ось. В результате мы получим T -периодическую функцию, совпадающую с данной на указанном промежутке. Поскольку эта функция удовлетворяет условиям теорем 4 èëè 5,

то она разлагается в промежутке [x0, x0 + T ) â ряд Фурье (2), причем по теореме 1 ïðè âû-
[x0, x0 +T ] и, таким образом, во всех точках непрерывности функции в	[	]	[x0, x0 +T )
числении коэффициентов ряда мы можем интегрировать не по отрезку		−T2 , T2	, а по отрезку

промежутке

∞

∑

2π

f(x) =

(an cos nωx + bn sin nωx), ω =

n=1

ãäå

x0+T

a0 =

∫

f(x)dx, an =

∫

f(x) cos nωxdx; bn =

∫

f(x) sin nωxdx, n N. (10)

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 100ex в промежутке [−3π, −π].

Решение. Периодически продолжив функцию f(x) с промежутка [−3π, −π) на всю числовую ось, мы получим 2π-периодическую функцию, совпадающую с данной на этом промежутке.

						Y
					4
					3
					2
					1
					O					X
-5 Π	-4 Π	-3 Π	-2 Π	-Π	O	Π	2 Π	3 Π	4 Π	5 Π

117

Коэффициенты ряда Фурье мы найдем по формулам (10).

−π

100

−

3π

a0 =

∫

f(x)dx =

∫

100exdx =

(

−

π−

)

−π

−3π

−π

−3π

−π

an =

∫

f(x) cos nxdx =

100

∫

ex cos nxdx, bn =

∫

f(x) sin nxdx =

100

∫

ex sin nxdx.

−3π

Каждый из этих двух интегралов мы найдем двойным интегрированием по частям.

∫−π ∫−π

I1 = ex cos nxdx =

	−3π			−3π
= (−1)n	e−π	− e−3π	)	+ n ∫−π ex
	(		)	−3π

=(−1)n (e−π − e−3π)

=(−1)n (e−π − e−3π) − n2

−π

cos nxdex = ex cos nx −3π −

∫

exd cos nx =

−

3π

(

−

sin nxdx = (−1)n

)

−3π

e−π − e−3π

+ n ∫

sin nxdex =

+ n ex sin nx

3π

−

∫

−π

−π exd sin nx

−

3π

∫

−

ex cos nxdx = (−1)n (e−π − e−3π) − n2I1.

−3π

Отсюда,

(−1)n

e−π − e−3π

Аналогично,

I1 =

(1 + n2

)

−π

I2 = ∫

ex sin nxdx = ∫

sin nxdex = ex sin nx −3π − ∫

exd sin nx =

−

3π

−

3π

−

−π

−

exd cos nx =

−

∫

ex cos nxdx =

−

cos nxdex =

−

n ex cos nx −

− ∫

∫

3π

−

3π

−

3π

−

3π

−

= −n(−1)n

(

e−π − e−3π

− n2

∫

ex sin nxdx = (−1)n+1n

e−π − e−3π

− n2I2,

и, значит,

)

−3π

(

)

(−1)n+1n e−π − e−3π

I2 =

+ n2

)

Следовательно,

(

e−π − e−3π

(−1)n+1100n

e−π − e−3π

100

(

−

1)n100

100

an =

π(1(+ n2)

)

, bn =

π(1 +(n2)

)

и, стало быть, искомое разложение имеет вид:

ex =

100

e−π − e−3π

(

∞

(−1)n

(cos nx

n sin nx)

, x

(

3π,

π).

)

−

(

n=1 1 + n2

)

∑

(e−π + e−3π).

В точках x = −3π, x = −π сумма ряда Фурье равна 50

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.22 Mб1Лабораторный практикум.pdf
#
24.11.2025564.19 Кб0Лагiстыка.pdf
#
24.11.20252.38 Mб1Лексические и грамматические аспекты перевода технических текстов.pdf
#
24.11.20253.27 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (I семестр).pdf
#
24.11.20252.56 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf
#
24.11.202517.87 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (III семестр).pdf
#
24.11.2025987.88 Кб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (IV семестр).pdf
#
24.11.20251.25 Mб0Литейные сплавы.pdf
#
24.11.2025816.49 Кб0Логика пособие.pdf
#
24.11.20251.06 Mб0Логика специализированный модуль Философия.pdf
#
24.11.20255.34 Mб1Логика. Практикум.pdf