ГЛАВА XI. ТЕОРИЯ ПОЛЯ

55

M0

L

O

y

x

Определение 2. Если существует конечный предел

lim u(Mt) − u(M0),

t→+0 |M0Mt|

¯

то он называется производной скалярного поля u(M) в точке M0 по направлению вектора l.

Обозначается производная по направлению через

u¯′(M0) èëè ∂¯u(M0) èëè ∂u(M0).

l l ¯

∂l

Найдем удобное для вычисления выражение производной пî íàïравлению , предполагая

¯

скалярное поле дифференцируемым в точке M0. Заметив, что M0Mt = tl и, следовательно,

¯

|M0Mt| = |l|t, мы можем записать определение производной по направлению в виде

Предел в правой части равен производной в нуле композиции функций

φ(t) = u(Mt) = u(x(t), y(t), z(t)),

которая ввиду дифференцируемости поля в точке M0 существует (глава VIII, Ÿ2). По правилу дифференцирования композиции функции многих переменных, найденному òàì æå

φ′(0) = u′x(M0)x′(0) + u′y(M0)y′(0) + u′z(M0)z′(0)

и, поскольку x′(0) = lx, y′(0) = ly, z′(0) = lz, òî

φ′(0) = u′x(M0)lx + u′y(M0)ly + u′z(M0)lz.

или, учитывая, что величины

Из этой формулы сразу же следует, что, во-первых, величина производной по направлению не зависит от длины вектора, а определяется лишь его направлением, и, во-вторых, производная по направлению меняет знак, если направление меняется на противоположное.

Поскольку производная по направлению линейно выражается через частные производные скалярного поля, то на нее автоматически переносятся все алгебраических операций над функциями одной переменной, приведенные в главе V, Ÿ1.

57

Решение. Найдем частные производные скалярного поля и их значения в точке M0:

Тогда

Далее, поскольку ¯ ¯ √ 2 2 2

l(−1, −2, 2) и, значит, |l| = (−1) + (−2) + 2 = 3, òî

()

Осталось воспользоваться формулой (3):

Замечание 2. Для скалярного поля на плоскости производная по направлению и градиент определяются совершенно аналогично и обладают точно такими же свойствами.

Пример 4. Убедиться в ортогональности линий уровня скалярных полей на плоскости u1(x, y) = φ1 (x2y3) è u2(x, y) = φ2 (3x2 − 2y2),

ãäå φ1(z), φ2(z) дифференцируемые на всей числовой прямой функции.

Решение. Угол между линиями уровня данных полей в их общей точке равен углу между касательными векторами, который, очевидно, равен углу между нормальными векторами. Поскольку, как мы убедились выше, нормальными векторами служат градиенты полей, то для решения задачи достаточно показать, что градиенты этих полей ортогональны.

Здесь

Ÿ2. Векторное поле и его основные характеристики

В некоторых прикладных задачах свойства области на плоскости или в пространстве определяются не скалярной, а векторной функцией, заданной в этой области, и тогда мы вправе

говорить о векторном поле.

Определение. Область D на плоскости или в пространстве вместе с заданной в ней непрерывной векторной функцией a¯ = a¯(M), M D называется векторным полем.

Как и для скалярного поля часто в дальнейшем мы будем отождествлять векторное поле с векторной функцией, характеризующей его свойства.

Приступим теперь к изучению основных характеристик векторного поля, к числу которых

относятся векторные линии, поток, дивергенция, циркуляция и ротор.

векторное поле в пространстве.

58

Определение 1. Векторной линией векторного поля называется гладкая кривая, в каждой точке которой касательный вектор коллинеарен вектору поля в этой точке.

z

L

x

y

Найдем дифференциальные уравнения векторных линий äëÿ ïîëÿ (1) без особых точек, ò. å.

¯

в любой точке поля a¯(M) ̸=0. Пусть L îäíà èç íèõ è

x= x(t), y = y(t), z = z(t), t (α, β)

ее параметрические уравнения. Поскольку при любом t (α, β) вектор

τ¯(x′(t), y′(t), z′(t))

является касательным к L в точке M(x(t), y(t), z(t)) и, следовательно, τ¯ a¯(M), òî

Таким образом, любая векторная линия векторного поля (1) является решением системы

Верно, очевидно, и обратное, а именно, любое решение системы (2) или (3) представляет собой векторную линию поля (1).

Ясно, что для векторного поля

a¯(M) = ax(M)¯ı + ay(M)¯ȷ, M(x, y) D

на плоскости векторные линии являются решениями дифференциального уравнения

или системы дифференциальных уравнений

dx

dt = ax(x, y),

dy

dt = ay(x, y).

Если координаты векторного поля a¯(M), M D удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование и единственность решения задачи Коши (например, они являются непрерывно дифференцируемыми), то ïîëå D целиком состоит из векторных линий, т. е. через каждую его точку проходит единственная векторная линия.

Это дифференциальное уравнение первого порядка является однородным (глава IX, Ÿ1, пункт 2). Проведем в нем подстановку

y = xz,

ãäå z = z(x) новая неизвестная функция аргумента x. Поскольку

ddxy = z + xddxz ,

то уравнение (5) сводится к уравнению с разделяющимися переменными

z + xddxz = z ln z,

откуда

ãäå C произвольная постоянная. Следовательно,

ln z − 1 = Cx z = e1+Cx

и после обратной подстановки мы получаем уравнения векторных линий данного поля:

На графике стрелками указаны направления, вдоль которых векторное поле ”скользит“, ïî векторным линиям.

Пример 2. Найти векторные линии поля

¯

a¯ = (x − y)¯ı + (x + y)¯ȷ + zk

в пространстве.

62

Величины

Π(¯a, Q−) < 0 è Π(¯a, Q+) > 0

представляют собой, соответственно, входящий â òåëî T è исходящий из него потоки. Если

окажется, что

◦

Π(¯a, Q) > 0,

то входящий поток больше исходящего и, стало быть, данное поле содержит стоки. Определим теперь величину, характеризующую интенсивность поля в каждой его точке.

Это позволит нам, в частности, определить положение источников и стоков поля. Зафиксируем точку M(x, y, z) D и обозначим через ∆Q замкнутую кусочно-гладкую по-

верхность, ограничивающую простое тело ∆T малого диаметра ∆d с объемом ∆V, содержащее

внутри точку M.

Определение 3. Если существует конечный предел отношения потока векторного поля (1) через внешнюю сторону поверхности ∆Q к объему ∆V òåëà ∆T при условии, что

его диаметр ∆d стремится к нулю, не зависящий от выбора тела ∆T, то он называется дивергенцией (расходимостью ) данного поля в точке M и обозначается через div a¯(M).

Таким образом, по определению,

и, значит,

◦

Π(¯a, ∆Q) ≈ div a¯(M)∆V.

Последние формулы позволяют провести здесь определенную параллель с массой, а именно,

мы можем сказать, что дивергенция представляет собой плотность потока векторного поля

в данной точке.

Найдем выражение для дивергенции, предполагая, что векторное поле (1) является непрерывно дифференцируемым в некоторой окрестности точки M.

Âкачестве малого тела ∆T мы возьмем сначала прямоугольный параллелепипед с центром

âточке M и ребрами 2∆x, 2∆y, 2∆z, параллельными координатным осям Ox, Oy, Oz, соответ-

ственно, где ∆x, ∆y, ∆z малые положительные числа.

x

y

63

Противоположные грани параллелепипеда, параллельные плоскости Oyz и расположенные в

плоскостях, проходящих через точки x−∆x è x+∆x îñè Ox, мы обозначим через ∆Q−x è ∆Q+x , ∆Q−y , ∆Q+y è ∆Q−z , ∆Q+z две пары противоположных граней,

параллельных координатным плоскостям Oxz è Oxy, соответственно. Тогда поток векторного поля через внешнюю сторону поверхности параллелепипеда равен

◦

Π(¯a, ∆Q) = Πx + Πy + Πz,

потоки вдоль осей Ox, Oy è Oz, соответственно. Первый из них, обозначив через ∆Qx общую

для граней ∆Q−x è ∆Q+x проекцию на плоскость Oyz, мы выразим через двойной интеграл

∫∫

Πx = (ax(x + ∆x, y, z) − ax(x − ∆x, y, z))dydz,

∆Qx

к которому применим теорему о среднем:

Πx =(ax(x+∆x, y1, z1)−ax(x−∆x, y1, z1))S(∆Qx)= 4∆y∆z(ax(x+∆x, y1, z1)−ax(x−∆x, y1, z1)),

ãäå (y1, z1) ∆Qx. Поскольку по теореме Лагранжа

ax(x + ∆x, y1, z1) − ax(x − ∆x, y1, z1) = 2∆x · ∂xax(x1, y1, z1), x1 (x − ∆x, x + ∆x),

то, окончательно,

Πx = 8∆x∆y∆z · ∂xax(M1) = ∂xax(M1)∆V, M1(x1, y1, z1) ∆T

è ∆V = 8∆x∆y∆z объем тела ∆T. Аналогично,

Πy = ∂yay(M2)∆V, M2 ∆T ; Πz = ∂zaz(M3)∆V, M3 ∆T

и, стало быть,

◦

Π(¯a, ∆Q) = (∂xax(M1) + ∂yay(M2) + ∂zaz(M3))∆V.

Отсюда, учитывая непрерывную дифференцируемость координат векторного поля и тот факт, что

∆z→0

Это же предельное соотношение сохраняется и для любого тела ∆T бесконечно малого диаметра, содержащего точку M и ограниченного кусочно-гладкой поверхностью ∆Q, òàê êàê

для него отношение

◦

Π(¯a, ∆Q)

∆V

бесконечно мало отличается от такого же отношения для достаточно малого параллелепипеда. Таким образом, дивергенция векторного поля (1) вычисляется по формуле

div a¯(M) = ∂xax(M) + ∂yay(M) + ∂zaz(M).

64

Дивергенцию поля мы можем записать также с помощью оператора Гамильтона в виде скалярного произведения

div a¯(M) = · a¯(M).

Связывает поток и дивергенцию

Теорема Гаусса. Поток непрерывно дифференцируемого векторного поля (1) через внешнюю сторону кусочно-гладкой поверхности Q, являющейся границей простого тела T D,

равен тройному интегралу дивергенции поля по телу T, ò.å.

∫∫∫

◦

Π(¯a, Q) = div a¯(M)dV (формула Гаусса ).

T

Д о к а з а т е л ь с т в о по существу ничем не отличается от доказательства формулы Грина (глава X, Ÿ2). Мы проведем его для простого вдоль каждой из координатных осей тела

T.

Поскольку данное тело является простым вдоль оси Ox, то оно заключено между поверхностями Q1 : x = x1(y, z), Q2 : x = x2(y, z), имеющими однозначную проекцию Tyz на коорди- натную плоскость Oyz, и, возможно, цилиндрической поверхностью Q3, образующая которой параллельна оси Ox, а направляющей является граница области Tyz, ò. å.

T = {(x, y, z) | x1(y, z) ≤ x ≤ x2(y, z), (y, z) Tyz}. y

Q2TQ3Q1 Tyz z

x

Тогда

=(ax(x2(y, z), y, z) − ax(x1(y, z), y, z))dydz.

Tyz

=(ax(x2(y, z), y, z) − ax(x1(y, z), y, z))dydz,

Tyz

T

65

T T

Замечание 1. Формула Гаусса, как и формула Грина, является Ньютона-Лейбница, так как она позволяет свести вычисление тройного интеграла функции трех переменных по замкнутому телу в пространстве к вычислению функции на границе тела.

Если в точке M непрерывно дифференцируемого векторного поля (1)

div a¯(M) > 0,

то ввиду непрерывности дивергенции, она будет положительной и в любой точке некоторого

Q