31

e−x2 dx = π

−∞

и, таким образом,

−∞

В курсе теории вероятностей (IV семестр) мы будем использовать интеграл

∫+∞

e− x22 dx,

−∞

z

значение которого мы получим из (19) с помощью подстановки x = √ . Действительно, в

2

dz

этом случае dx = √2 и, значит,

Следовательно,

∫+∞

e− x22 dx = √2π.

−∞

Ÿ3. Поверхностные интегралы, их свойства и вычисление

В этом параграфе мы определим интеграл по поверхности в пространстве, причем, как и для криволинейных интегралов, мы будем различать поверхностные интегралы скалярных и

векторных функций.

1. Поверхностный интеграл скалярной функции (первого рода)

Введем сначала необходимое для дальнейшего изложения понятие ности. Это понятие в отличие от области на плоскости не так интуитивно ясно и поэтому нуждается в более точном определении.

Всюду в этом пункте мы для упрощения рассуждений будем рассматривать

ниченную поверхность Q, имеющую однозначную проекцию на одну из координатных плос-

костей. Для определенности будем считать, что Q однозначно проектируется в замкнутую, квадрируемую область Qxy на плоскости Oxy.

32

y

Q

ãäå z(x, y) непрерывно дифференцируемая в области Qxy функция. Если Lxy граница обла- ñòè Qxy, то линия в пространстве

L = {(x, y, z(x, y)) | (x, y) Lxy}

называется границей èëè краем поверхности Q.

Разобьем поверхность на малые части ∆Qk, k = 1, n. Их проекции на плоскость Oxy разбивают область Qxy на малые части ∆Qxyk, k = 1, n с площадями ∆Sxyk. Выберем произвольно внутри каждой из частей разбиения поверхности по точке Mk ∆Qk, k = 1, n и обозначим че- рез ∆Qk часть касательной плоскости к данной поверхности в точке Mk, проекцией которой на плоскость Oxy служит ∆Qxyk. Пусть ∆Sk площадь части ∆Qk, k = 1, n. Таким образом,

∑ e

∆Sk, которую мы можем рассматривать, как приближенное значение площади данной по-

k=1

верхности.

Если существует конечный предел площади описанной выше многогранной поверхности при условии, что диаметры всех частей разбиения поверхности Q ñòðå-

мятся к нулю, не зависящий от способа разбиения и выбора точек внутри частей разбиения, то он и считается площадью поверхности Q. В этом случае поверхность называется квад-

рируемой.

Предполагая теперь данную поверхность êâàдрируемой, установим зависимость между площадью ∆Sk произвольной части ∆Qk, k = 1, n разбиения и площадью ∆Sxyk проекции этой части на координатную плоскость Oxy. Воспользуемся тем, что угол между касательной плос-

Mk(xk, yk, zk) ∆Qk и плоскостью Oxy равен, очевидно, углу

γ(Mk) между вектором нормали этой плоскости и осью Oz. Â главе VIII, Ÿ4 мы установили, что нормальный вектор имеет координаты

′ ′ ¯

n¯(xk, yk) = −zx(xk, yk)¯ı − zy(xk, yk)¯ȷ + k.

Площадь ∆Sk части ∆Qk касательной к данной поверхности в точке Mk плоскости и площадь

и, поскольку

1

òî

cos γ(Mk) = |n¯(xk, yk)|,

e

∆Sk = |n¯(xk, yk)|∆Sxyk.

34

по области Qxy, являющейся проекцией поверхности Q на плоскость Oxy. Переходя к пределу

при условии, что диаметры всех частей ∆Qk, k = 1, n разбиения поверхности Q стремятся к нулю, мы получим формулу1

сводящую поверхностный интеграл к двойному.

Из (6), учитывая (4), следует, что площадь поверхности Q может быть вычислена по фор-

бить ее на части Q1, Q2, . . . , Qn, каждая из которых имеет однозначную проекцию на одну из координатных плоскостей, то

Пример 1. Вычислить массу части Q поверхности двухполостного гиперболоида с уравне-

íèåì

x2 + y2 − z2 = −1,

которая расположена в первом октанте и вырезается из данного гиперболоида плоскостью x + y = 2. Плотность в каждой точке гиперболоида задается выражением

Решение. Очевидно, однозначной проекцией поверхности Q на координатную плоскость Oxy является треугольник Qxy, ограниченный осями координат и прямой y = 2 − x.

ности функции.