5
ГЛАВА X. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ДВОЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В настоящей главе мы обобщим понятие определенного интеграла функции одной переменной на случай функции двух или трех переменных, заданной на линии, в области или на поверхности и рассмотрим простейшие приложения криволинейных, двойных, поверхностных и тройных интегралов в геометрии и механике. Для определения всех этих интегралов мы будем использовать метод интегральных сумм , который успешно применялся нами для определенного интеграла (глава VII, Ÿ2).
Ÿ1. Криволинейные интегралы, их свойства и вычисление
В этом параграфе мы введем определение и изучим свойства криволинейных интегралов как скалярной, так и векторной функций и хотя, как мы увидим, второй из них и выражается через первый, однако он имеет и самостоятельное значение, поскольку и вычисляется он иначе, и в приложениях используется не меньше.
1. Криволинейный интеграл скалярной функции (первого рода)
Пусть L спрямляемая, т.е. имеющая конечную длину , линия в пространстве, содержащая L функцию f(M), M L. Разобьем L íà n малых частей ∆L1, ∆L2, . . . , ∆Ln с длинами ∆l1, ∆l2, . . . , ∆ln, выберем произвольно
внутри каждой из частей по точке Mk ∆Lk, k = 1, n и составим интегральную сумму
∑n
In = f(Mk)∆lk. |
(1) |
k=1 |
|
Обозначим через ∆d = max ∆dk максимум диаметров1 ∆dk частей ∆Lk, k = 1, n линии L.
k=1,n
Определение. Конечный предел (если он существует ) интегральных сумм In ïðè óñëî- вии, что диаметры всех частей разбиения линии L стремятся к нулю, не зависящий от
способа разбиения и выбора точек внутри частей разбиения, называется криволинейным интегралом скалярной функции f(M) по линии L или криволинейным интегралом первого рода.
Для этого интеграла мы будем использовать обозначение
∫
f(M)dl |
(2) |
L
или в выбранной системе координат Oxyz пространства
∫
|
f(x, y, z)dl. |
|
|
L |
|
Таким образом, по определению |
|
|
L |
|
n |
|
∑ |
|
∫ |
|
lim |
f(M)dl = |
∆d→0 k=1 f(Mk)∆lk. |
|
Функция, для которой криволинейный интеграл (2) существует, называется интегрируемой
по линии L.
Рассмотрим одну простую задачу механики, которая приводит к криволинейному интегралу. Вычислим массу материальной линии L с известной плотностью распределения масс ρ(M),
M L, которую мы будем предполагать интегрируемой по L. Для этого разобьем, как и выше, данную линию на малые части ∆L1, ∆L2, . . . , ∆Ln с длинами ∆l1, ∆l2, . . . , ∆ln è âûáå- рем внутри каждой из частей по точке Mk ∆Lk, k = 1, n. Поскольку масса ∆mk каждой
1Диаметром d ограниченного множества D на плоскости или в пространстве называется величина, равная
верхней грани расстояний между точками данного множества, т.е. d = sup (M1; M2).
M1,M2 D
6
части ∆Lk, k = 1, n приближенно равна ∆mk ≈ ρ(Mk)∆lk, то масса m линии L выражается
приближенным равенством |
n |
n |
|
||
|
∑ |
∑ |
m = ∆mk ≈ ρ(Mk)∆lk. |
||
|
k=1 |
k=1 |
Естественно, последнее равенство будет тем точнее, чем мельче будет разбиение линии L íà |
||
части. Поэтому положим по определению |
|
|
|
n |
L |
|
∑ |
|
|
lim |
|
m = |
∆d→0 k=1 ρ(Mk)∆lk = ∫ ρ(M)dl. |
|
Таким образом, масса материальной линии L с плотностью ρ(M), M L может быть |
||
вычислена по формуле |
|
∫ |
|
m = |
ρ(M)dl. |
L
Отметим основные свойства криволинейного интеграла , вытекающие из его определения.
1) Длина l линии L выражается через криволинейный интеграл по формуле
∫
l = dl.
L
2) Линейность. Если f1(M), f2(M) интегрируемые по линии L функции, то интегриру-
ема также и функция a1f1(M) + a2f2(M), a1, a2 R è |
∫ f2(M)dl. |
|||
∫ |
(a1f1(M) + a2f2(M)) dl = a1 |
∫ |
f1(M)dl + a2 |
|
L |
|
L |
|
L |
3) Аддитивность. Пусть линия L разбита на две дуги L1, L2 и функция f(M) интегриру-
ема по каждой из этих дуг. Тогда данная функция интегрируема по линии L è |
|||||
∫ |
f(M)dl = |
∫ |
f(M)dl + |
∫ |
f(M)dl. |
L |
|
L1 |
|
L2 |
|
4) Åñëè f1(M), f2(M) интегрируемые по линии L функции и при всех M L выполняется неравенство f1(M) ≤ f2(M), òî ∫ ∫
f1(Mdl ≤ f2(M)dl.
LL
5)Теорема о среднем для криволинейного интеграла скалярной функции.
Если непрерывная функция f(M) интегрируема по ограниченной и связной линии L, содер-
жащей свои граничные точки, то существует точка M0 L такая, что
∫
f(M)dl = f(M0)l,
L
ãäå l длина линии L.
Для доказательства заметим, прежде всего, что по теореме Вейерштрасса (глава VIII, Ÿ1) функция f(M) ограничена на линии L и достигает на ней своих нижней и верхней граней, т. е.
найдутся точки M1, M2 L, для которых
f(M1) = inf f(M), f(M2) = sup f(M).
L L
Таким образом,
inf f(M) ≤ f(M) ≤ sup f(M), M L.
L L
7
Отсюда, воспользовавшись свойствами 4), 2) и 1), мы заключаем, что
inf f(M)l |
≤ ∫ |
f(M)dl |
|
sup f(M)l |
|
inf f(M) |
|
1 |
∫ |
f(M)dl |
|
sup f(M). |
|
≤ |
|
≤ l |
≤ |
||||||||||
L |
|
L |
L |
|
L |
||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
По теореме Больцано-Коши (глава VIII, Ÿ1) существует точка M0 L, для которой
f(M0) = |
1 |
∫ f(M)dl |
∫ f(M)dl = f(M0)l. |
|
|||
l |
|||
|
|
L |
L |
Покажем, что криволинейный интеграл (2) непрерывной функции по гладкой линии сущест-
âóåò и научимся его вычислять, если известны уравнения линии. Предположим сначала, что гладкая линия L (глава VII, Ÿ5, пункт 1) задана параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t [α, β].
Разбиению
α = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = β
отрезка [α, β] íà n малых частей c длинами ∆tk, k = 1, n соответствует разбиение линии L íà
малые части ∆L1, ∆L2, . . . , ∆Ln. Как известно (глава VII, Ÿ5, пункт 1), длины ∆lk, k = 1, n этих частей вычисляются по формулам
∫tk √
∆lk = (x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2 dt, k = 1, n
tk−1
или, учитывая гладкость линии L, по теореме о среднем для определенного интеграла (глава VII, Ÿ1, свойство 6))
∆lk = (x′(sk))2 + (y′(sk))2 + (z′(sk))2∆tk, sk [tk−1, tk], k = 1, n.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбрав |
произвольно в каждой из частей разбиения по точке |
Mk(xk, yk, zk) |
|
|
∆Lk, k = 1, n, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
запишем интегральную сумму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In = |
|
f(Mk)∆lk = |
|
f(xk, yk, zk) (x′(sk))2 + (y′(sk))2 + (z′(sk))2∆tk |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
äëÿ криволинейного интеграла (2) и интегральную сумму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I˜n = |
∑ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f(x(sk), y(sk), z(sk)) (x′(sk))2 + (y′(sk))2 + (z′(sk))2∆tk |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для непрерывной, а, значит, и интегрируемой на отрезке [α, β] функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ввиду непрерывности, а, значит, и |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
f(x(t), y(t), z(t)) (x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
равномерной непрерывности (глава IV, Ÿ5, пункт 5) ôóíê- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|||
öèè f(x(t), y(t), z(t)), t [α, β] и гладкости линии L интегральные суммы In è In бесконечно |
||||||||||||||||||||||||||||
мало отличаются при ∆d → 0, ò. å. |
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
lim In = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
lim In, ∆µ = max ∆tk. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆d→0 |
|
|
|
∆µ→0 |
k=1,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда следует, что поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
L |
|
|
|
|
˜ |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∆d→0 |
n |
∫ |
|
|
z)dl, |
∆µ→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
f(x, y, |
|
n |
= |
∫ f(x(t), y(t), z(t)) (x′(t)) |
+ (y |
′(t)) + (z′(t)) dt, |
||||||||||||||||||||||
lim I |
|
= |
|
lim I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
òî криволинейный интеграл сводится к определенному |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∫ |
f(x, y, z)dl = ∫β f(x(t), y(t), z(t)) (x′(t))2 + (y′(t))2 |
+ (z′(t))2 dt. |
(3) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lα
8
Âчастности, для гладкой параметрически заданной на плоскости уравнениями x = x(t), y = y(t), t [α, β]
линии L
∫ |
f(x, y)dl = |
∫β f(x(t), y(t)) (x′(t))2 |
+ (y′(t))2 dt. |
(4) |
||
|
|
√ |
|
|
|
|
Lα
Пользуясь (4), мы можем записать еще две формулы для вычисления криволинейного интеграла по гладкой линии на плоскости.
Если линия L задана явным уравнением
y = y(x), x [a, b],
ãäå y = y(x) непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция, то здесь в качестве параметра мы можем взять аргумент x и, следовательно,
|
∫ |
f(x, y)dl = |
∫b f(x, y(x)) 1 + (y′(x))2 dx. |
(5) |
||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
L |
|
a |
|
||
Аналогично, если |
|
x = x(y), y [c, d], |
|
|||
òî |
|
|
||||
∫ f(x, y)dl = |
∫d f(x(y), y)√ |
|
|
|
||
|
|
dy. |
|
|||
|
1 + (x′(y))2 |
|
||||
Lc
Наконец, если гладкая кривая L задана уравнением
r = r(φ), φ [α, β]
âполярных координатах, òî
x = r(φ) cos φ, y = r(φ) sin φ, φ [α, β]
параметрические уравнения этой линии и, поскольку
(x′(φ))2 + (y′(φ))2 = (r(φ))2 + (r′(φ))2,
òî |
∫ f(x, y)dl = |
∫β f(r(φ) cos φ, r(φ) sin φ)√(r(φ))2 + (r′(φ))2 dφ. |
|
|
(6) |
Lα
Замечание. Все приведенные выше формулы сохраняют свою силу также и для кусочно-
гладких линий.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
∫ √
3 y2 + z2 + yz dl
L
по окружности L, находящейся в сечении сферы x2 + y2 + z2 = 4 плоскостью x + y + z = 0. Решение.
9
|
X |
|
|
X |
|
-10 1 |
|
-2 |
|
|
|
|
-10 1 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
L |
0 Z |
L |
|
0 Z |
|
|
|
||
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 0 |
1 |
-2 |
-1 0 |
1 2-2 |
|
|
|||
Y |
|
|
Y |
|
Исключая из системы |
x2 + y2 + z2 = 4, |
|
|
|
{ x + y + z = 0 |
переменную x, получим y2 + z2 + yz = 2. Отсюда, принимая во внимание свойство 1) криволинейного интеграла, найдем
∫ |
3 |
|
dl = ∫ √3 |
|
dl = √3 |
|
∫ dl = 4√3 |
|
π. |
|
y2 + z2 + yz |
||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||
L |
√ |
|
L |
|
|
|
L |
|||
Пример 2. Вычислить массу дуги линии L
√√
|
x = |
t cos t, y = |
t sin t, z = t |
|
|
|
|
||
от точки O(0, 0, 0) до точки A(√2π, 0, 2π), если известна плотность распределения масс |
|||||||||
Решение. Линия L представляет собой один √ |
|
на параболоиде x + y |
= z. |
||||||
|
|
|
ρ(x, y, z) = z x2 + y2. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
виток спирали |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
•!!!!!!!!2 |
Y |
•!!!!!!!!2 |
Y |
|
|
|||
|
|
Π |
0-•!!!!!!!!2 |
Π |
0-•!!!!!!!!2 |
|
|
||
|
|
|
|
Π |
|
|
Π |
|
|
|
|
A |
|
2 Π |
|
|
2 Π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
Z |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
•!!!!!!!!2 |
|
•!!!!!!!!2 |
|
|
||
|
•!!!!!!!!2 |
|
|
Π |
•!!!!!!!!2 |
|
Π |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Π |
X |
|
|
- Π X |
|
|
|
|
Выше мы установили, что искомая масса выражается криволинейным интегралом |
|
||||||||
|
m = |
∫ |
|
ρ(x, y, z)dl = ∫ |
z√x2 + y2 dl. |
|
|
||
LL
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin t + √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x′(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t, y′(t) = |
|
|
|
|
cos t, z′(t) = 1, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
t |
t |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
òî |
|
|
|
|
|
|
|
2√t |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2√t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(2t + 1)2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′ |
(t))2 = |
+ t + 1 = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4t |
|
4t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
и, следовательно, по формуле (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
( |
) |
|
|
|
|
|
(2 · |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
m = ∫ |
t√t |
2t + 1 |
dt = |
1 |
|
∫ |
|
2t2 + t dt = |
1 |
|
t3 |
|
t2 |
|
|
= |
|
π2 |
(8π + 3) |
||||||||||||||||||||||
2√t |
2 |
|
|
2 |
|
3 |
+ 2 ) 0 |
|
|
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить |
интеграл |
функции f(x, y) = xy по линии |
L на плоскости, заданной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
уравнением |
y = − |
x |
2 |
− 1 |
от точки |
|
A(2, − |
|
до точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
B(3, −2 2). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Данная линия часть равносторонней гиперболы с уравнением x2 − y2 = 1. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 -2 |
-1 |
|
1 |
|
2 3 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 − 1. |
|
||
|
|
|
|
|
y′ = |
|
x |
|
= 1 + (y′(x))2 = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−√x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 1 |
|
||||||
Воспользовавшись формулой (5), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
− 1√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
∫ xydl = − ∫ x x2 |
x2 |
1 |
dx = − |
∫ x 2x2 − 1 dx = |
||||||||||||||||||||
2x2 |
|
−1 |
|
|||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
2 |
|
|
√ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
√ |
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7√7 − 17√17 . |
||||||
= −4 ∫ |
√ |
2x2 |
− 1 d 2x2 − 1 = |
−6 |
2x2 − 1 2 |
= 6 |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫ |
√2 x2 |
+ y2 − x2 − y2 dl |
|
|
||||||||||||
по линии L : r = 2 sin2 φ |
|
|
|
|
L |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
, заданной в полярных координатах. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Данная линия называется кардиоидой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
-1 |
|
O |
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Äëÿ íåå |
|
|
|
|
= 2 sin φ cos φ, (r(φ))2 + (r′(φ))2 = 4 sin2 φ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
r′ |
|
||||||||||||||||||||
и, стало быть, по формуле (6) |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
I = ∫ √4 sin2 |
φ |
|
φ |
|
|
|
φ |
|
|
|
∫ |
|
φ |
φ |
||||||||||
|
2 |
− 4 sin4 |
2 |
√4 sin2 |
2 dφ = 4 |
sin2 |
2 cos |
2 dφ = |
||||||||||||||||
−π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|||
|
|
|
∫ |
|
|
φ |
φ |
|
8 |
|
|
φ |
π |
|
8 |
|
|
|
|
16 |
||||
= 8 |
sin2 |
|
2 d sin |
2 |
= |
3 |
sin3 2 |
|
π = |
3(1 − (−1)) = |
3 . |
|||||||||||||
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|