ÓÄÊ 517.2(035.5)+517.3(035.5)+517.9(035.5)

Автор: П.Г. Ласый

Рецензент:

Е.А. Барабанов, ведущий научный сотрудник Института математики НАН Беларуси, кандидат физико-математических наук, доцент

В пособии изложен теоретический материал по курсу математики, читаемом в третьем семестре на энергетическом факультете БНТУ. В нем представлены следующие разделы:

волинейные, двойные, поверхностные и тройные интегралы\, "Теория поля\, функциональные ряды. Степенные ряды. Ряды фурье\, "Теория функций комплексной пе- ременной\. Изложение хорошо проиллюстрировано примерами и графиками, построенными в

среде компьютерной алгебры Mathematica. Данное пособие может быть полезным как студентам при их подготовке к практическим занятиям и экзамену, так и преподавателям, читающим курс математики на энергетическом факультете БНТУ.

Белорусский национальный технический университет Пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел. (017)292-82-73

E-mail: kafvm2@bntu.by http://www.bntu.by/ef-vm2 Регистрационный • БНТУ/ЭФ41-45.2014

c Ласый П.Г., 2014c БНТУ, 2014

3

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ГЛАВА X. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ДВОЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ

И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Ÿ1. Криволинейные интегралы, их свойства и вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Криволинейный интеграл скалярной функции (первого рода) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Криволинейный интеграл векторной функции (второго рода) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Ÿ2. Двойной интеграл, его свойства и вычисление. Замена переменных в двойном интеграле. Формула Грина. О несобственном двойном интеграле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Ÿ3. Поверхностные интегралы, их свойства и вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1. Поверхностный интеграл скалярной функции (первого рода) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. Поверхностный интеграл векторной функции (второго рода) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Ÿ4. Тройной интеграл, его свойства и вычисление. Замена переменных в тройном интеграле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Ÿ5. Применение криволинейных, двойных, поверхностных и тройных интегралов в механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ГЛАВА XI. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 Ÿ1. Скалярное поле и его основные характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ÿ2. Векторное поле и его основные характеристики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Ÿ3. Специальные векторные поля и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 Ÿ1. Числовые ряды, их свойства и признаки сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 Ÿ2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Ÿ3. Степенные ряды и их свойства. Ряды Тейлора и Маклорена.

Применение степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Ÿ4. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ГЛАВА XIII. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Ÿ1. Предел функции комплексной переменной. Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Ÿ2. Производная функции комплексной переменной, дифференцируемость и дифференциал. Аналитическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Ÿ3. Элементарные аналитические функции комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124 Ÿ4. Интеграл функции комплексной переменной.

Интегральные теорема и формула Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 Ÿ5. Комплексные числовые ряды. Степенные комплексные ряды.

Ряд Тейлора аналитической функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 Ÿ6. Ряд Лорана. Изолированные особые точки аналитической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Ÿ7. Вычет аналитической функции в особой точке.

Применение вычетов к вычислению интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие является третьей частью электронного учебника автора по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ. Изложенный в нем материал полностью соответствует программе курса математики, читаемом в третьем семестре на энергетическом факультете.

При написании этого пособия я, не претендуя на безупречность, стремился к полноте и строгости в определениях, формулировках и доказательствах утверждений. Полагаю, что по этой причине учебник не стал перегруженным, так как я старался выбирать короткие и содержательные доказательства, которые позволяют оставаться в пределах отведенных на курс учебных часов. Опущенные здесь громоздкие доказательства некоторых утверждений можно найти в учебниках, список которых помещен в конце данного пособия. Имеющиеся в каждом параграфе не всегда тривиальные примеры и достаточное количество графиков дополняют и поясняют изложение.

Текст лекций подготовлен мной с помощью программы набора и верстки сложных текстов

MiKTEX. Все имеющиеся в тексте графики являются точными, они построены в среде ком-

пьютерной алгебры Mathematica .

В тексте имеются многочисленные ссылки на первую è вторую части электронного учебника автора.