Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Тогда по формуле (4)

3π	φ	1		3π	2φ		1	3			2φ		3π		3π
0				0									3π


l = ∫ sin2	3	dφ =	2	∫ (1 − cos	3	)dφ =	2	(φ −	2	sin	3	) 0		=	2	.

Замечание 2. Формулы (1) (4) справедливы и для кусочно-гладких линий, т. е. линий, для которых, функции, входящие в их определение непрерывны, а их производные кусочнонепрерывны (Ÿ1).

2. Вычисление площади фигуры на плоскости

Предположим сначала, что фигура D на плоскости ограничена графиком непрерывной и положительной на отрезке [a, b] функции y(x) è îñüþ Ox.

	y=f HxL
	D
O a	x
O a	b

Â Ÿ1 главы VI мы показали, что в этом случае площадь S(x), x [a, b] фигуры, ограниченной графиком данной функции на отрезке [a, x] è îñüþ Ox является первообразной функции y(x) на отрезке [a, b]. Следовательно, площадь S фигуры D равна S = S(b)−S(a) и, таким образом, по определению интеграла

∫b
S = y(x)dx.	(1)

Замечание 1. Формула (1) позволяет также дать геометрическую иллюстрацию и несобственным интегралам. Если функция неотрицательна, то сходящийся несобственный интег-

ðàë этой функции равен площади неограниченной фигуры на плоскости , заключенной между

графиком функции на промежутке определения и осью Ox.

Здесь фигура D1 ее площадь равна

	y		y
	y=y	HxL			y=y2HxL
	1
	D1	x			D2
O	a	x	O	a	x
O	a		O	a	b
ограничена графиком функции y1(x) на полуоси [a, +∞) и, следовательно,
		+∞
		S1 = ∫	y1(x)dx.

Аналогично, фигура D2 находится под графиком функции y2(x) на конечном промежутке

[a, b), причем в точке b эта функция неограничена. Площадь фигуры D2 выражается несобст-

венным интегралом

∫b

S2 = y2(x)dx.

Рассмотрим теперь случай, когда фигура D ограничена на отрезке [a, b] графиками двух непрерывных функций y1(x) è y2(x), ò. å.

D : y1(x) ≤ y ≤ y2(x), x [a, b].

y
	y=y2HxL
O a		x
O a	D	b
	y=y1HxL

Åñëè y1(x) ≥ 0, x [a, b], то площадь фигуры D мы можем вычислить как разность площадей фигур, ограниченных графиками данных функций и осью Ox. Следовательно, воспользовавшись формулой (1), получим:

∫b

S = (y2(x) − y1(x))dx. (2)

Если же функция y1(x) меняет знак на отрезке [a, b], то, осуществив параллельный перенос

фигуры D вдоль оси Oy на величину m, равную минимуму функции y1(x) на отрезке [a, b] (этот минимум по теореме Вейерштрасса (глава IV, Ÿ5, пункт 3) существует), мы получим фигуру D1, ограниченную графиками функций y1(x)−m è y2(x)−m на отрезке [a, b], площадь

которой равна площади фигуры D. Поскольку y1(x) − m ≥ 0 на отрезке [a, b], то по формуле

(2)

∫b ∫b

S = ((y2(x) − m) − (y1(x) − m))dx = (y2(x) − y1(x))dx

a a

и, таким образом, формула (2) имеет место и в этом случае.

Замечание 2. Аналогично, если фигура ограничена графиками двух непрерывных функций x1(y) è x2(y), y [c, d], то ее площадь вычисляется по формуле

∫d

S = (x2(y) − x1(y))dy.

(3)

	y
	d
	x
	O
x=x1HyL	x=x2HyL
	D
	c

Пример 1. Найти площадь фигуры D на плоскости, которая ограничена линиями y = (x + 1)2, x = sin πy, y = 0.

Решение.

	y
	1
		D
-1	O	1	x
-1	O	1

Фигура D заключена между графиками функций

x = √y − 1, x = sin πy

sin2 t

на отрезке [0, 1] числовой оси Oy. Следовательно, по формуле (3)


1						1					1		1
0						1					1		1
S = ∫				1	cos πy 0			2		0		+ y 0			1		2		1		2
S = ∫	(sin πy − √	y	+ 1)dy = −	π	cos πy 0		−	3 y√	y	0		+ y 0		= −	π	(−1 − 1) −	3	+ 1 =	3	+	π .

Предположим теперь, что фигура D на плоскости Oxy ограничена кривой L, располагающейся выше оси Ox и отрезком [a, b] ýòîé îñè.

		y
		L
		D
a	O	x
a	O	b

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = x(t), y = y(t), t [t1, t2],

причем функцию x(t) мы будем считать непрерывно дифференцируемой с положительной производной, а функцию y(t) непрерывной и положительной на всем отрезке [t1, t2]. В этом случае кривую L мы можем рассматривать как график непрерывной параметрически заданной функции y = y(x), x [a, b] (глава V, Ÿ2, пункт 2) и, следовательно, площадь фигуры D мы можем вычислить по формуле (1). При сделанных относительно функций x(t), y(t) предположениях, в интеграле (1) допустима замена переменной x = x(t), выполнив которую, мы, очевидно, получим следующую формулу для вычисления площади фигуры D :

S = ∫t2 y(t)dx(t) =	∫t2 y(t)x′(t)dt.	(4)
t1	t1

Пример 2. Найти площадь фигуры на плоскости, ограниченной замкнутой линией, имеющей параметрические уравнения

x = cos t, y = 2 + sin t.

Решение.

-1 O 1

При изменении параметра t в пределах от 0 äî π точка перемещается по нижней дуге кривой в направлении от точки (1, 0) до точки (−1, 0), если же параметр изменяется в пределах от π äî 2π, то точка идет в обратном направлении по верхней дуге. Искомую площадь S мы найдем, воспользовавшись формулой (4), как разность площадей S1 è S2 двух фигур, ограниченных

верхней и нижней дугами данной кривой, соответственно, и отрезком [−1, 1] îñè Ox.

2π

sin2 t

2π

sin3 t

2π

(8 + sin3 t)

S1 = ∫π

d cos t = −∫π

dt = −∫π

−

dt =

2 + sin t

2π

= −∫ (4 − 2 sin t + sin2 t −

)dt = −∫ (

)dt =

− 2 sin t

−

cos 2t −

2 + sin t

π
	9		2π		2π

= −	2	t π		− 2 cos t π

+1 sin 2t 2π 4 π

		π
	2π						2π
	∫π		t		9		∫π	dt
+ 8			d	= −		π − 4 + 8			.
+ 8			2 + sin t	= −	2	π − 4 + 8		2 + sin t	.

Для вычисления последнего интеграла воспользуемся подстановкой z = tg 2t (глава VI, Ÿ4, пункт 2). При этой замене переменной промежуток (π, 2π] отображается в бесконечный про-

межуток (−∞, 0]. Следовательно,

2π

2dz

∫

d(z + 1/2)

2z + 1

1+z2

√

2 + sin t

2 +

1+z2

z2 + z + 1

(z + 1/2)2 +

arctg

−∞

− z→−∞ arctg

2z + 1

2 π π

4π

= √3

(arctg √3

√3

) = √3 (

6 + 2 )

3√3.

lim

Таким образом,

32π

S1 = −

π − 4 +

3√

Аналогично мы вычислим и площадь1 S2 :

sin2 t

sin3 t

S2 = ∫

d cos t = ∫

dt =

t 0

+ 2 cos t 0

−

sin 2t 0

− 8

∫

2 + sin t

2z + 1

∞

2z +

arctg

lim

arctg

−

− √3

√3

−

√3

(z→+∞

√3

−

√3)

16π

Окончательно,

−

− √3 (2 − 6 )

−

3√3

16π

S = S1 − S2 = (

√

− 9)π.

В заключение этого пункта вычислим площадь сектора D, ограниченного в полярной сис-

теме координат лучами φ = α, φ = β, α < β и линией с уравнением r = r(φ), φ [α, β], ãäå r(φ) непрерывная на отрезке [α, β] функция.

r=rHjL

DDk

Α x

1Здесь мы пределы интегрирования берем в обратном порядке, так как функция x = cos t убывает на отрезке

[0; ]:

Воспользуемся методом интегральных сумм. Для этого разобьем сектор D íà n малых сек-

торов ∆Dk, k = 1, n лучами φ = φk, k = 1, n − 1, ãäå

α = φ0 < φ1 < . . . < φn−1 < φn = β.

Обозначим через ∆φk = φk − φk−1, k = 1, n центральные углы этих секторов. Внутри каж-

дого сектора ∆Dk, k = 1, n выберем произвольный луч φ = ψk. Площади секторов ∆Dk, k =

1, n ввиду их малости мало отличаются от площадей соответствующих круговых секторов с

центральными углами ∆φk и радиусами r(ψk), т. е. величин

(r(ψk))2∆φk.

Тогда сумма

Sn =

(r(ψk))2∆φk

k=1

∑

мало отличается от площади данного сектора D. Сумма Sn является интегральной äëÿ ôóíê-

öèè

21 (r(φ))2 на отрезке [α, β]. Предел интегральных сумм Sn при условии, что величины всех

центральных углов секторов ∆Dk, k = 1, n стремятся к нулю, мы и будем считать площадью

сектора D. Этот предел, благодаря непрерывности функции r(φ), существует и равен

S =

∫α (r(φ))2dφ.

(5)

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями

y =

√3x è x(x2 + y2) = x + y.

Решение. Первая из этих линий прямая, проходящая через начало координат под углом π

ê îñè Ox. Вторая линия симметрична относительно начала координат и в полярной системе

координат имеет уравнение r

= 1 + tg φ. При изменении угла φ в пределах от −4

äî 3

расстояние r, монотонно возрастая,

изменяется в пределах от

äî

√1 +

√3.

-1

По формуле (5)

d cos φ = π + π

= 7π + 1 ln 2.

S = 2

(1 + tg φ)dφ = φ

ln cos φ

· 2

∫

cos φ

4 −

4 − ∫

−

Пример 4. Найти площадь сектора,

ограниченного линией с уравнением

φ = r arctg r è

лучами φ = 0 è φ = √3 .

Решение. Зависимость угла φ от расстояния r является непрерывно дифференцируемой,

возрастающей функцией, причем при φ = 0 также и r = 0, а значению угла φ = √3 соответ-

ствует расстояние r = √3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.87 Mб1Лабораторный практикум по сварке курса Металлические конструкции для студентов специальности Промышленное и гражданское строительство.pdf
#
24.11.20251.22 Mб1Лабораторный практикум.pdf
#
24.11.2025564.19 Кб0Лагiстыка.pdf
#
24.11.20252.38 Mб1Лексические и грамматические аспекты перевода технических текстов.pdf
#
24.11.20253.27 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (I семестр).pdf
#
24.11.20252.56 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf
#
24.11.202517.87 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (III семестр).pdf
#
24.11.2025987.88 Кб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (IV семестр).pdf
#
24.11.20251.25 Mб0Литейные сплавы.pdf
#
24.11.2025816.49 Кб0Логика пособие.pdf
#
24.11.20251.06 Mб0Логика специализированный модуль Философия.pdf