который, очевидно, равен нулю. Таким образом, L = 0 при всех действительных x. По определению предела (глава IV, Ÿ4, пункт 2) существует число t1 > 1 такое, что при всех t > t1 имеет

сходится, то ввиду неравенства (6) по признаку сравнения сходится также и интеграл

∫+∞

tx−1e−tdt,

t1

а тогда, по свойству 1) несобственных интегралов (пункт 1), сходящимся является несобственный интеграл I2. Таким образом, при x > 0 сходятся оба интеграла I1, I2 и, значит, сходится

интеграл Γ(x).

Гамма-функция подробно протабулирована, она является встроенной функцией äëÿ âñåõ

программ компьютерной математики .

Ÿ5. Геометрические приложения определенного интеграла

Используем определение интеграла с помощью интегральных сумм для вычисления длины кривой на плоскости и в пространстве, площади фигуры на плоскости и объема тела в пространстве.

1. Вычисление длины линии на плоскости и в пространстве

Найдем различные формулы для вычисления длины кривой в зависимости от способа ее задания.

Предположим сначала, что линия L на плоскости задана явным уравнением

y = y(x), x [a, b],

причем функция y = y(x) является непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b], ò. å. íà

этом отрезке функция непрерывна вместе со своей производной. Такая кривая называется гладкой. Разбиению

a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b

отрезка [a, b] на малые части соответствуют точки Mk(xk, yk), yk = y(xk), k = 0, n на кривой.

x = x(t), y = y(t), t [t1, t2],

где функции x(t), y(t) являются непрерывно дифференцируемыми на отрезке [t1, t2], то после

рассуждений, подобных приведенным выше, мы придем к следующей формуле для вычисления длины этой кривой:

Последнюю формулу мы можем записать и в более компактной форме, если рассматривать данную кривую как траекторию векторной функции

¯

r¯(t) = x(t)¯ı + y(t)¯ȷ + z(t)k, t [t1, t2]

t1

Пример 2. Найти длину линии

L : x = et/2 cos t, y = et/2 sin t, z = et

между точками O(0, 0, 0) è A(1, 0, 1).

48

Решение. Так как координаты точек этой линии удовлетворяют уравнению параболоида вращения z = x2 + y2 (глава III, Ÿ5, пункт 3), а на плоскости Oxy линия

x = et/2 cos t, y = et/2 sin t

представляет собой спираль вокруг начала координат, то данная линия L представляет собой спираль на параболоиде.

x′ = 12et/2 cos t − et/2 sin t, y′ = 12et/2 sin t + et/2 cos t, z′ = et,

Выполнив в этом несобственном интеграле подстановку s = et/2, придем к интегралу

Неопределенный интеграл такого вида найден интегрированием по частям в главе VI, Ÿ2, пункт 2. Воспользовавшись приведенной там формулой (1) ïðè a = 5/4, получим:

теме координат. Свяжем с декартовой системой координат Oxy полярную систему координат Orφ, взяв в качестве полюса начало координат O, а в качестве полярной оси положительную полуось Ox.

49

y

M y

r

j

x

O x

Тогда полярные координаты точки M(x, y) на плоскости представляют собой пару чисел (r, φ), ãäå r расстояние от полюса до точки M, à φ угол, который образует радиус-вектор OM с полярной осью. Отождествляя точку M(x, y) с комплексным числом z = x + yi, мы можем сказать, сославшись на Ÿ8 главы V, ÷òî полярные координаты r, φ точки M представляют собой модуль и аргумент, соответственно, комплексного числа z. Очевидно, значение угла φ определяется с точностью до кратного 2π. Для определенности мы будем отсчитывать его в пределах полного угла, например, от 0 äî 2π.

Предположим теперь, что гладкая линия L на плоскости задана в полярной системе координат зависимостью расстояния r îò óãëà φ, т. е. уравнением

r = r(φ), φ [α, β],

ãäå r(φ) непрерывно дифференцируемая на отрезке [α, β] функция. Поскольку, как следует из приведенного выше чертежа, декартовы координаты связаны с полярными формулами

x = r cos φ, y = r sin φ,

то уравнения

x = r(φ) cos φ, y = r(φ) sin φ, φ [α, β]

мы можем рассматривать как параметрические (относительно параметра φ) уравнения кривой L. Òàê êàê

x′ = r′(φ) cos φ − r(φ) sin φ, y′ = r′(φ) sin φ + r(φ) cos φ; (x′)2 + (y′)2 = (r(φ))2 + (r′(φ))2,

то, воспользовавшись формулой (2), получим:

Решение. При изменении угла φ в пределах от 0 äî 3π мы получим следующую замкнутую кривую: