Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

сходятся и равны по величине. Действительно,

−21

(

))

−∞

I1 = − ∫

∫

(2x + 1)2−2(x

+x)dx =

2−2(x

+x)d −2 x2 + x

1 2

2(x2+x)

−

(

→−∞

)

(

)

√

−

√

− x lim

2−2(x +x)

√

− 0

ln 2

2 ln 2

−∞

Аналогично мы можем убедиться в том, что

= I1.

Следовательно,

+∞

−

+∞

√

∫

|2x + 1|2−2x −2xdx =

∫

|2x + 1|2−2x

−2xdx + ∫1

|2x + 1|2−2x

−2xdx = 2 ·

2 ln 2

ln 2

−∞

−2

Замечание 3. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку мы можем обобщить также на случай кусочно-непрерывной на этом промежутке функции. Функция называется

кусочно-непрерывной на бесконечном промежутке, åñëè îíà кусочно-непрерывна на любом

отрезке (Ÿ1), содержащемся в данном бесконечном промежутке. Все приведенные выше свойства и признаки сходимости несобственных интегралов автоматически переносятся также и на кусочно-непрерывные функции.

2. Несобственный интеграл неограниченной на конечном промежутке функции

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на конечном промежутке (a, b], a < b è

lim f(x) = ∞.

x→a+0

Ввиду непрерывности функции, для любого положительного числа ε, такого, что a + ε ≤ b

существует определенный интеграл

∫b

f(x)dx

a+ε

и мы можем дать следующее

Определение. Если существует конечный предел

∫b

lim

f(x)dx,

(1)

ε→+0 a+ε

то он называется несобственным интегралом функции f(x) на промежутке1 (a, b] è îáîç-

начается через

∫b

f(x)dx.

(2)

Несобственный интеграл (2) в этом случае называется сходящимся, иначе, т. е., если предел

(1) не существует или равен бесконечности, расходящимся.

Как и несобственный интеграл по бесконечному промежутку, несобственный интеграл (2) мы можем вычислять по формуле Ньютона-Лейбница, если известна первообразная F (x)

функции f(x) на промежутке (a, b] :

	b		b
a			b
∫			lim F (x).
∫		f(x)dx = F (x) a = F (b) − x→a+0

1Иное название несобственный интеграл второго рода.

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интегр ал

∫b

(x − a)α

в зависимости от параметра α R.

Решение. Подынтегральная функция при всех α R непрерывна на промежутке (a, b]. Êàê

è â примере 1 предыдущего пункта, прямым интегрированием мы можем убедиться в том,

÷òî ïðè α < 1 данный интеграл сходится и равен

(b−a)1−

, а при всех остальных значениях α

интеграл расходится.

1−α

Пример 2. Доказать, что несобственный интеграл

sin 1

расходится.

(

2 + cos x1

)

I = ∫

Решение. В данном случае

−sin x d

d 2 + cos x

= ln 2 + cos

lim ln

2 + cos 1 .

I =

2 + cos(x

)

(2 + cos x

)

∫

(

) 0

−x→+0

(

)

Убедимся в том, что

lim

2 + cos 1

не существует. Для этого

рассмотрим две последова-

тельности

x→+0

(

x )

xn(1) =

, xn(2)

(2n + 1)π

2nπ

На этих последовательностях

lim ln

2 + cos

= 0,

lim ln

2 + cos

= ln 3,

xn(1) )

n→∞

(

n→∞

(

xn(2) )

что и означает, что данный предел не существует (глава IV, Ÿ4, пункт 2, свойство 3)). Таким образом, несобственный интеграл I расходится.

Для несобственного интеграла (2) справедливы с соответствующими изменениями, касающимися области определения подынтегральной функции, все свойства и признаки сходимости, сформулированные в предыдущем пункте для несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Переформулируем, например, для несобственного интеграла (2)

Предельный признак сравнения. Пусть функции f1(x) è f2(x) непрерывны и неотрицательны на промежутке (a, b] и существует конечный, отличный от нуля предел

lim f1(x).

x→a+0 f2(x)

Тогда несобственные интегралы

∫b ∫b

f1(x)dx è f2(x)dx

сходятся или расходятся одновременно.

Пример 3. Сходится или расходится несобственный интеграл

∫2 √x3 − 1 ctg2 x2 − 1 dx ? x

e(x−4)−1

Решение. Воспользуемся предельным признаком сравнения. Для этого сравним подынтег-

ральную функцию с функцией вида

. Действительно, при x → 1 + 0

(x−1)

= √

√

1 x2 + x + 1

−

√ x2−

1 x2 −

1 ·

√x + 1

−

2(x

−

1).

Следовательно,

√

− 1

√

ctg2

−

(2(x − 1))2

· (x − 1)

√

Несобственный интеграл

∫

−

1)2

расходится (пример 1), а потому расходится и данный интеграл. Аналогично определяется несобственный интеграл

∫b

f(x)dx

и в случае, когда функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b) и неограничена в точке b. Пример 4. Вычислить несобственный интеграл

4
I = ∫			x
	√		d			.
	√	6x	x2	−	8	.
2			−	−

Решение. Подынтегральная функция непрерывна на интервале (2, 4) и неограничена на концах этого интервала. Здесь

d(x − 3)

I =

= arcsin(x

= arcsin 1 arcsin(

1) =

= π.

Если функция√

непрерывна на отрезке

за исключением точки

2 2

в которой

∫

−

3)2

−

(a, b),

f(x)

[a, b]

функция неограничена, то, по определению несобственный интеграл

∫ab f(x)dx

мы будем считать сходящимся, åñëè сходятся оба интеграла

∫c f(x)dx è ∫b f(x)dx,

(3)

причем в этом случае

∫b

∫c

∫b

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

a a c

Наоборот, если хотя бы один из интегралов (3) расходится, то и данный несобственный интеграл следует считать расходящимся.

Пример 5. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

∫5

(x − 4)2 dx.

−1

Решение. Подынтегральная функция неограничена в точке x = 4. Рассмотрим два несобственных интеграла

e(x−4)−1

I1 = ∫

dx è I2 = ∫

dx.

(x − 4)2

Для первого из них

−1

4)−1

(x 4)−1

−

(x 4)−1 + e 1/5 = 0 + e

−

lim

1/5 = e

1/5

I1 = −∫

−

d(x − 4)− = − e −

1 = −x→4−0 e −

−

− ,

т. е. интеграл I1 сходится и равен e−1/5. Аналогично,

4)−1

e(x 4)−1

= e(x

e +

lim

= +

и, таким образом, интеграл I2 расходится.

Следовательно, и данный несобственный интеграл

−

x→4+0

−

∞

расходится.

Замечание. Несобственный интеграл неограниченной на конечном промежутке функции обобщается также и на случай кусочно-непрерывной функции. Функция называется кусочно-

непрерывной на промежутке, содержащем точку c, где данная функция неограничена , åñëè

она кусочно-непрерывна на любом отрезке (Ÿ1), содержащемся в данном промежутке и не содержащем точку c.

В заключение этого параграфа рассмотрим несобственный интеграл, в котором сочетаются

две особенности, изученные в пунктах 1 è 2. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке

(a, +∞) и неограничена в точке a. В этом случае, если сходятся оба интеграла

∫b ∫+∞

f(x)dx è

f(x)dx, b > a,

(4)

òî сходится также несобственный интеграл

∫+∞

					f(x)dx		(5)
			a
è	+∞		∫	b		+∞
	+∞			b		+∞
	∫	f(x)dx =			f(x)dx +	∫	f(x)dx.
	a		a			b

Если хотя бы один из интегралов (4) расходится, то расходящимся следует считать и несобственный интеграл (5).

В качестве примера такого интеграла рассмотрим очень важную в приложениях гамма-

функцию, с которой мы еще встретимся в курсе математической статистики :

+∞
Γ(x) = ∫0	tx−1e−tdt.

Покажем, что гамма-функция определена при всех x > 0. Рассмотрим интегралы

1	+∞
I1 = ∫0	tx−1e−tdt è I2 = ∫1	tx−1e−tdt.

Для первого из них

tx−1e−t tx−1 ïðè t → +0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.87 Mб1Лабораторный практикум по сварке курса Металлические конструкции для студентов специальности Промышленное и гражданское строительство.pdf
#
24.11.20251.22 Mб1Лабораторный практикум.pdf
#
24.11.2025564.19 Кб0Лагiстыка.pdf
#
24.11.20252.38 Mб1Лексические и грамматические аспекты перевода технических текстов.pdf
#
24.11.20253.27 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (I семестр).pdf
#
24.11.20252.56 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf
#
24.11.202517.87 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (III семестр).pdf
#
24.11.2025987.88 Кб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (IV семестр).pdf
#
24.11.20251.25 Mб0Литейные сплавы.pdf
#
24.11.2025816.49 Кб0Логика пособие.pdf
#
24.11.20251.06 Mб0Логика специализированный модуль Философия.pdf