25

ГЛАВА VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Âэтой главе мы займемся изучением исключительно важного как в самой математики, так и

âее приложениях понятия определенного интеграла. Мы увидим, например, что там, где речь идет о геометрических свойствах фигур, связанных с их мерой (длиной, площадью, объемом) определенный интеграл возникает вполне естественно, как предел интегральных сумм .

Ÿ1. Определенный интеграл, его существование и основные свойства

Пусть функция f(x) определена и интегрируема на отрезке [a, b], a < b числовой оси.

Соотношение (1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Из нее, в частности, следует, что, поскольку любые две первообразные связаны постоянной (глава VI, Ÿ1, теорема 1), òî

значение определенного интеграла не зависит от выбора первообразной.

Äëÿ полноты приведенного выше определения будем считать также, что

∫a ∫b ∫a

f(x)dx = 0, f(x)dx = − f(x)dx.

a a b

Эти соотношения полностью согласуются с формулой Ньютона-Лейбница.

Åñëè функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то, как следует из теоремы 2 (глава VI,

Ÿ1), определенный интеграл для нее на этом отрезке существует. В частности, любая элемен- тарная функция интегрируема на любом отрезке из своей области определения.

Сформулируем теперь основные свойства определенного интеграла . 1) Линейность определенного интеграла.

Если функции f1(x) è f2(x) интегрируемы на отрезке [a, b], то для любых c1, c2 R

∫b ∫b ∫b

(c1f1(x) + c2f2(x)) dx = c1 f1(x)dx + c2 f2(x)dx.

a a a

2) Аддитивность определенного интеграла.

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, c], то для любой точки b [a, c]

∫c ∫b ∫c

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

a a b

Эти два свойства являются прямыми следствиями формулы Ньютона-Лейбница. Например, для аддитивности,

справедливо неравенство f1(x) ≤ f2(x), òî

∫b ∫b

f1(x)dx ≤ f2(x)dx.

aa

26

Действительно, если F1(x), F2(x) первообразные функций f1(x), f2(x) соответственно, то F (x) = F2(x) − F1(x) имеет место неравенство

= F2′(x) − F1′(x) = f2(x) − f1(x) ≥ 0, x [a, b].

Следовательно, функция F (x) является неубывающей на отрезке [a, b] (глава V, Ÿ6, пункт 1, теорема 1). Поэтому

F (b) − F (a) ≥ 0,

откуда

4) Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] вместе со своей абсолютной величи-

aa

5)Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и ограничена на нем, т. е. существуют числа m è M такие, что

m ≤ f(x) ≤ M, x [a, b],

òî

∫b

m(b − a) ≤ f(x)dx ≤ M(b − a).

a

Для непрерывных функций справедливо свойство

6) Теорема о среднем для определенного интеграла.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует точка c [a, b], äëÿ

которой

∫b

f(x)dx = f(c)(b − a).

a

В самом деле, по теореме Вейерштрасса (глава IV, Ÿ5, пункт 3) функция f(x) ограничена на отрезке [a, b] и, следовательно, по предыдущему свойству

ãäå m = inf f(x), M = sup f(x). Тогда по теореме Больцано-Коши (глава IV, Ÿ5, пункт 3) íàé-

âчем и требовалось убедиться.

7)Производная интеграла с переменным верхним пределом.

28

аналогично, если x (0, 5], òî

−1

является первообразной функции sgn x на промежутках [−1, 0) è (0, 5], а вот в нуле функция

F (x) непрерывна, так как F (−0) = F (+0) = F (0) = −1, но не является дифференцируемой, ввиду того, что F−′ (0) = −1, F+′ (0) = 1. Следовательно, и свойство 7) для данной функции на отрезке [−1, 5] также не имеет места.

Переформулируем свойства 6) è 7) таким образом, чтобы они имели место и для кусочнонепрерывных функций.

6′) Теорема о среднем для определенного интеграла кусочно-непрерывной функции.

Если функция f(x) кусочно-непрерывна на отрезке [a, b] è a1, a2, . . . , an точки, в которых функция имеет устранимый разрыв или разрыв первого рода, то существуют точки

c1 [a, a1], c2 [a1, a2], . . . , cn+1 [an, b],

для которых

∫b

f(x)dx = f(c1)(a1 − a) + f(c2)(a2 − a1) + . . . + f(cn+1)(b − an).

a

Например, для функции sgn x, x [−1, 5], рассмотренной в предыдущем примере, a1 = 0 è

∫5

sgn x dx = 4 = −1 · 1 + 1 · 5 = sgn c1 · (0 − (−1)) + sgn c2 · (5 − 0),

−1

ãäå c1 [−1, 0), c2 (0, 5].

7′) Интеграл с переменным верхним пределом для кусочно-непрерывной функции.

Если функция f(x) кусочно-непрерывна на отрезке [a, b], то интеграл с переменным верх-

∫x

ним пределом f(z)dz является непрерывной функцией аргумента x во всех точках отрезка

a

[a, b] и служит первообразной для данной функции на отрезке [a, b] за исключением точек разрыва первого рода этой функции.

Ÿ2. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Простейшие приложения определенного интеграла в физике

Рассмотрим теперь другое, исключительно важное в приложениях, определение интеграла,

основанное на методе интегральных сумм .

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], a < b. Разобьем этот отрезок произвольным образом на части точками

∑n

In = f(c1)∆x1 + f(c2)∆x2 + . . . + f(cn)∆xn = f(ck)∆xk.

k=1

Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм In при условии, что длины всех частичных отрезков стремятся к нулю, не зависящий от способа разбиения