6

ГЛАВА VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

В этой главе мы введем определение обратной по отношению к дифференцированию операции интегрирования функции, изучим основные свойства неопределенного интеграла и на- учимся его находить для некоторых классов элементарных функций.

Ÿ1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Существование неопределенного интеграла. Таблица интегралов

Пусть функция f(x) определена, а функция F (x) определена и дифференцируема на промежутке1 D числовой оси.

Определение. Функция F (x) называется первообразной функции f(x) на промежутке D, если во всех точках этого промежутка

F ′(x) = f(x) dF (x) = f(x)dx.

Множество всех первообразных мы будем называть неопределенным интегралом функции

f(x) на данном промежутке и обозначать через

∫

f(x)dx.

Операцию нахождения неопределенного интеграла мы будем называть интегрированием функции. Функция, для которой существует неопределенный интеграл на некотором проме-

жутке, называется интегрируемой на этом промежутке.

Таким образом, если при дифференцировании по известной функции требуется найти ее производную (т.е. угловой коэффициент касательной к графику функции), то рировании, наоборот, по известной производной (т.е. угловому коэффициенту касательной) необходимо восстановить саму функцию.

Покажем, что для нахождения неопределенного интеграла достаточно найти одну из первообразных функции.

Теорема 1. Åñëè F1(x) è F2(x) две первообразные функции f(x) на промежутке D, то они отличаются на постоянную, т.е. существует такое число C R, ÷òî

F2(x) = F1(x) + C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем точку x0 D и пусть x D произвольная точка этого промежутка. Так как функция φ(x) = F2(x) − F1(x) дифференцируема на промежутке D, то, применив к этой функции на отрезке [x, x0] теорему Лагранжа (глава V, Ÿ3), получим:

φ(x) − φ(x0) = φ′(c)(x − x0), c (x, x0),

откуда, учитывая, что φ′(x) = F2′(x) − F1′(x) = f(x) − f(x) = 0, находим:

φ(x) − φ(x0) = 0 φ(x) = φ(x0) F2(x) − F1(x) = φ(x0).

Положив φ(x0) = C, мы и получим утверждение теоремы.

Из доказанной теоремы следует, что найти неопределенный интеграл мы можем добавив к

одной из ее первообразных F (x) произвольную постоянную C:

∫

f(x)dx = F (x) + C.

Отметим теперь основные свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1) Для интегрируемой на промежутке D функции f(x)

(∫ )′ ∫

f(x)dx = f(x), x D d f(x)dx = f(x)dx, x D.

1Если промежуток содержит какую-то из своих граничных точек, то под производной в ней понимается соответствующая односторонняя производная.

7

2)Если функция f(x) дифференцируема на промежутке D, òî

∫∫

f′(x)dx = df(x) = f(x) + C.

3) Линейность неопределенного интеграла.

Если функции f1(x) è f2(x) интегрируемы на промежутке D, òî

∫ ∫ ∫

(a1f1(x) + a2f2(x)) dx = a1 f1(x)dx + a2 f2(x)dx, a1, a2 R.

Докажем еще одно свойство неопределенного интеграла, которое часто используется для

его нахождения. Его называют подведением под знак дифференциала.

4) Пусть функция f(y) интегрируема на промежутке D1 è F (y) одна из ее первообразных, а функция φ(x) дифференцируема на промежутке D è φ(D) D1. Тогда функция

f(φ(x))φ′(x) интегрируема на промежутке D è

∫ ∫

f(φ(x))φ′(x)dx = f(φ(x))dφ(x) = F (φ(x)) + C.

Действительно, воспользовавшись правилом дифференцирования композиции функций (глава V, Ÿ1, свойство 4)), получим:

(F (φ(x)))′ = F ′(φ(x))φ′(x) = f(φ(x))φ′(x),

т. е. функция F (φ(x)) первообразная функции f(φ(x))φ′(x). Сформулируем теперь условие существования неопределенного интеграла.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она и интегрируема на

этом отрезке.

Достаточно сложное доказательство этого утверждения мы приводить не будем, однако дадим все же ему нестрогое обоснование, основанное на интуитивно ясном представлении

о том, что фигура, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции и осью Ox, квадрируема, т. е. имеет конечную площадь.

Предположим сначала, что функция f(x) положительна на отрезке [a, b].

Обозначим через S(x), x [a, b] площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции на отрезке [a, x] è îñüþ Ox. Тогда приращение ∆S(x, ∆x) = S(x + ∆x) − S(x) функции S(x) в точке x удовлетворяет неравенству

m|∆x| ≤ |∆S(x, ∆x)| ≤ M|∆x|,

ãäå m è M соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [x, x + ∆x] (такие значения по теореме Вейерштрасса (глава IV, Ÿ5, пункт 3) существуют). Следовательно,

m ≤ ∆S(x, ∆x) ≤ M.

∆x

По теореме Больцано-Коши (глава IV, Ÿ5, пункт 3) на отрезке [x, x + ∆x] отыщется точка c,

для которой

∆S(x, ∆x) = f(c). ∆x

9

Аналогично проверяется справедливость формулы 9). Далее, привлекая табличный интеграл 2), найдем:

Пользуясь приведенной таблицей интегралов и свойствами 2) 4) мы можем находить неопределенные интегралы и для более сложных функций.

Ÿ2. Методы интегрирования

Рассмотрим два преобразования неопределенного интеграла , которые в ряде случаев поз-

воляют его найти.

1. Подстановка (замена переменной) в неопределенном интеграле

Теорема. Пусть функция f(x) определена на промежутке D, а функция x = φ(z) опреде-

лена, монотонна и дифференцируема с ненулевой производной на промежутке D1, причем φ(D1) = D. Тогда, если функция f(φ(z))φ′(z) интегрируема на промежутке D1, то функция

f(x) интегрируема на промежутке D è

∫

f(x)dx = F1(φ−1(x)) + C,

ãäå F1(z) первообразная функции f(φ(z))φ′(z).

Для доказательства найдем производную от правой части записанной выше формулы, ис- пользовав правила дифференцирования композиции функций и обратной функции (глава V, Ÿ1):

теграл оказался проще исходного, например, был преобразован к табличным. На практике подстановку мы можем оформлять следующим образом: