Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Стало быть, решением поставленной задачи Коши является функция y = (x ln x − x + 1) cos x.

Пример 2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

y′ =	2y − 1	.
	y100 − 4x

Решение. Очевидно, функция y = 1/2 является решением данного уравнения. При y ̸= 1/2, переписав данное уравнение в виде

y100 − 4x

x′ =

x +

y100

(7)

−2y

−

мы замечаем, что оно является линейным относительно функции x = x(y). Интегрируем сначала соответствующее однородное уравнение :

x′ =

dy =

−

−2y

−

= ∫

= −∫

−

= −2 ∫

−

d(2y

−

= ln |2y − 1|−2

2y 1

x¯ =

(2y − 1)2

Решение дифференциального уравнения (7) имеет структуру

x = φ(y)(2y − 1)2 .

Подставляя его в данное уравнение, получим:

1			4			4		y100
φ′(y)		−	φ(y)		= φ(y)		+		.
	(2y − 1)2			(2y − 1)3		(2y − 1)3
					−			2y − 1

Отсюда,

φ′(y) = (2y − 1)y100

и, следовательно,	102			y101
φ(y) = ∫
	(2y − 1)y100dy =	y	−		+ C.
		51		101

Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

102			y101		1
x = (	y	−		+ C)		.
	51		101		(2y − 1)2

4. Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

y′ + a(x)y = f(x)yα, α		R, α(α	−	1)	̸	=,0	(1)
			−		̸

ãäå a(x) è f(x) непрерывные в некотором интервале функции, называется уравнением Бер-

нулли.

Умножим обе части уравнения (1) на (1 − α)y−α и перепишем его в виде

(y1−α)′ + (1 − α)a(x)y1−α = (1 − α)f(x).

Тогда, если мы проведем в уравнении Бернулли подстановку z = y1−α, то оно преобразуется

к линейному уравнению

z′ + (1 − α)a(x)z = (1 − α)f(x)

относительно новой неизвестной функции z = z(x). Проинтегрировав последнее уравнение,

мы обратной заменой найдем решение исходного уравнения Бернулли.

Замечание. Уравнение Бернулли мы можем интегрировать точно также, как и линейное

уравнение, т. е. методом Лагранжа.

100

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′ − y arctg x =	e3x arctg x
y′ − y arctg x =	y2√(1 + x2)3 .	(2)

Решение. Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Будем интегрировать его, как и линейное, методом Лагранжа. Соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение имеет вид

y′ − y arctg x = 0.

Интегрируем его:

∫

= x arctg x −

= arctg x dx = ∫ dyy = ∫

arctg x dx ln

x d arctg x =

d 1 +

= x arctg x − ∫

= x arctg x −

∫

(1 + x2

)

= x arctg x − ln

1 + x ,

1 + x2

ex arctg x

√

y¯ = C

√

1 + x2

Решение исходного уравнения мы будем искать в виде

ex arctg x

y = φ(x)

√

1 + x2

Подставив его в (2), получим:

φ′(x)

ex arctg x

e3x arctg x

1 + x2

√

+ φ(x)

arctg x

φ(x)

arctg x =

2x arctg x

√1 + x

Отсюда,

1 + x

−

√(1 + x

)

(φ(x))

∫ φ2dφ = ∫ dx =

φ3

φ′(x) =

φ2dφ = dx =

= x +

= φ(x) = √3 3x + C.

(φ(x))2

Окончательно,

√3

ex arctg x

y =

3x + C ·

√

1 + x2

общее решение уравнения Бернулли (2).

5.Уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

f1(x, y)dx + f2(x, y)dy = 0

(1)

с непрерывными в некоторой области D функциями f1(x, y) è f2(x, y), причем, как всегда, мы предполагаем, что это уравнение не имеет особых точек в данной области. Если существует дифференцируемая в области D функция u = u(x, y), для которой

du(x, y) = f	1	(x, y)dx + f	2	(x, y)dy		u′	(x, y) = f (x, y), u′		(x, y) = f (x, y), (x, y)		D, (2)
	1		2			x	1	y	2

то (1) называется уравнением в полных дифференциалах.

Åñëè y = y(x) решение уравнения в полных дифференциалах (1) в области D, òî äëÿ íåãî

du(x, y(x)) = f1(x, y(x))dx + f2(x, y(x))dy(x) = 0

и, следовательно, u(x, y(x)) = C, ò. å.

u(x, y) = C

(3)

интеграл данного дифференциального уравнения. Интеграл (3) содержит решения всех задач Коши дифференциального уравнения (1) в данной области, так как интегральная кривая

этого уравнения, проходящая через точку M0(x0, y0) D, имеет уравнение u(x, y) = u(x0, y0). Найдем простой критерий, позволяющий определить, является ли уравнение (1) уравнением в полных дифференциалах при условии, что в области D существуют непрерывные част-

ные производные ∂yf1(x, y) è ∂xf2(x, y).

101

Предположим сначала, что (1) уравнение в полных дифференциалах. Ввиду (2) со ссылкой на теорему о равенстве смешанных частных производных из Ÿ3 предыдущей главы мы можем

утверждать, что

u′′xy(x, y) = ∂yf1(x, y) ≡ u′′yx(x, y) = ∂xf2(x, y)

и, таким образом,

∂yf1(x, y) ≡ ∂xf2(x, y).

(4)

Предположим теперь, что область D представляет собой прямоугольник со сторонами, па-

раллельными осям координат. Покажем, что тождество (4) является и достаточным для того, чтобы в этой области (1) было уравнением в полных дифференциалах. Для этого зафиксируем

точку M0(x0, y0) D и покажем, что функция

u(x, y) = ∫x f1(z, y)dz +	∫y f2(x0, z)dz	(5)
x0	y0

удовлетворяет условию (2) в любой точке данной области. Найдем ее частные производные, воспользовавшись свойством 7) определенного интеграла (глава VII, Ÿ1) и теоремой о дифференцировании под знаком интеграла (глава VIII, Ÿ2):

		ux′ (x, y) =			∫x f1(z, y)dz ′		= f1(x, y),
	∫x f1	(z, y)dz ′			x0	x	= ∫x ∂yf1(z, y)dz + f2(x0, y) =
uy′ (x, y) =			+	∫y f2(x0, z)dz ′
x	x0	y		y0		y	x0
x0					x

=∫ ∂zf2(z, y)dz+f2(x0, y)= f2(z, y) x0+ f2(x0, y)=f2(x, y) − f2(x0, y) + f2(x0, y)=f2(x, y).
Таким образом, функция (5) обладает					свойством (2) и, значит (1) уравнение в полных диф-
ференциалах.
Резюмируя все вышесказанное, мы можем сказать, что								если функции f1(x, y) è f2(x, y)
непрерывны вместе с частными производными						∂yf1(x, y)		è ∂xf2(x, y) в прямоугольнике со
сторонами, параллельными осям координат, то						(1) является уравнением в полных дифферен-

циалах в том и только в том случае, когда в этом прямоугольнике выполняется тождество

(4). В этом случае

u(x, y) = ∫x f1(z, y)dz + ∫y f2(x0, z)dz = C

интеграл дифференциального уравнения

(1).

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

cos y

dx + (sin ln x

x tg y)dy = 0.

(6)

(x cos ln x + ln

)

−

(x, y) = sin ln x

−

x tg y непрерывно

Решение. Здесь функции

f1(x, y) =

πx cos ln x + ln

cos y, f

дифференцируемы в полосах x > 0, −

2 +2πn < y <

2 +2πn, n Z. В каждой из них тождество

(4) имеет место, так как

cos ln x

(cos y)′ =

cos ln x

∂yf1(x, y) =

− tg y,

cos y

∂xf2(x, y) = cos ln x (ln x)′

− tg y =

cos ln x

− tg y.

102

Таким образом, (6) уравнение в полных дифференциалах. Найдем его общий интеграл в

произвольной полосе, зафиксировав в ней точку M0(1, yn), yn = 2πn, n Z.

u(x, y) = ∫

(

)

dz + ∫ (sin ln 1 − tg z)dz =

z cos ln z + ln cos y

cos z

= y ∫

cos ln z d ln z + ln cos y · z 1

+ ∫

+ (x − 1) ln cos y + ln cos z yn =

dcos z = y sin ln z 1

= y sin ln x + (x

−

1) ln cos y + ln cos y

−

ln cos yn

= y sin ln x + x ln cos y.

Следовательно,

y sin ln x + x ln cos y = C

общий интеграл дифференциального уравнения (6).

Ÿ2. Дифференциальные уравнения высших порядков,

допускающие понижение порядка

Переформулируем основные определения предыдущего параграфа для дифференциального

уравнения порядка выше первого.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в нормальной форме имеет вид

(n)

= f (x, y, y′, . . . , y

−

(1)

ãäå f x, y, y′, . . . , y(n−1)

функция.

непрерывная в некоторой области D пространства Rn+1

Если уравнение (1) интегрируется в квадратурах, то операцию интегрирования приходится

(

)

выполнять n раз и, следовательно, решение этого дифференциального уравнения зависит от

n произвольных постоянных. Поэтому, если требуется найти частное решение, то необходимо

подчинить его n дополнительным условиям, чаще всего начальным, которые позволят найти

постоянные.

Задачей Коши для дифференциального уравнения (1) называется задача нахождения его

решения y = y(x), удовлетворяющего при x = x0 n начальным условиям

y(x0) = y0, y′(x0) = y′ , . . . , y(n−1)(x0) = y(n−1),

(2)

ãäå y0, y′

, . . . , y(n−1) заданные действительные числа и

x, y0, y′

, . . . , y(n−1)

(

)

Для дифференциального уравнения второго порядка

y′′ = f(x, y, y′)

(3)

мы можем дать геометрическую интерпретацию задачи Коши с начальными условиями

y(x0) = y0, y′(x0) = y0′ .

Эта задача заключается в нахождении интегральной кривой уравнения (3), проходящей через

точку M0(x0, y0) под углом α = arctg y0′

с положительным направлением оси Ox.

y=yHxL

Dxy

103

Теорема существования и единственности решения задачи Коши обобщается, естественно, и на дифференциальное уравнение (1).

(Теорема существования) и единственности решения задачи Коши. Пусть функция

f x, y, y′, . . . , y(n−1) в правой части дифференциального уравнения (1) непрерывна вместе с частными(производными ) ( ) ( )

fy′ x, y, y′, . . . , y(n−1) , fy′′ x, y, y′, . . . , y(n−1) , . . . , fy′(n−1) x, y, y′, . . . , y(n−1)

()

âобласти D. Тогда для любой точки M0 x0, y0, y0′ , . . . , y0(n−1) D существует и единст-

венно непродолжаемое решение задачи Коши с начальными условиями (2).

Функция

y = y(x, C1, C2, . . . , Cn),

ãäå C1, C2, . . . , Cn постоянные, называется( общим решением)дифференциального уравнения

(1) в области D, если для любой точки M0	x0	, y0	, y′	, . . . , y(n−1)		D существует единственная
			0	0

совокупность значений постоянных C1 = C10, C2 = C20, . . . , Cn = Cn0, для которой функция

y = y (x, C10, C20, . . . , Cn0)

является непродолжаемым решением задачи Коши с начальными условиями (2).

Рассмотрим теперь некоторые типы дифференциальных уравнений (1), порядок которых

мы можем понизить и, следовательно, в некоторых случаях свести их к дифференциальным уравнениям первого порядка, изученным в предыдущем параграфе.

a) Уравнение вида y(n) = f(x), f(x) непрерывная в некотором интервале функция.

Интегрирование правой части этого уравнения понижает, очевидно, его порядок на еди-

ницу. Следовательно, решение данного дифференциального уравнения находится n-кратным

интегрированием функции f(x) :

∫ (∫ ( ∫ ) )

y = . . . f(x)dx . . . dx dx + C1xn−1 + C2xn−2 + . . . + Cn.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

x3y′′′ = 1.

Решение. Здесь

y′′′ =

и, следовательно,

y′′ = ∫

∫ x−2dx + 2C1x + C2 =

−

+ 2C1, y′ =

−

x−1 + 2C1x + C2

−2

y =

∫

x−1dx + C1x2

+ C2x + C3 =

ln |x| + C1x2 + C2x + C3

общее решение данного дифференциального уравнения.

b)Уравнение y(n) = f (x, y′, . . . , y(n−1)), правая часть которого не содержит искомой функции y = y(x) и непрерывна в некоторой области пространства Rn.

Подстановка y′ = z, ãäå z = z(x) новая неизвестная функция, понижает порядок этого

уравнения на единицу. Результатом данной подстановки является дифференциальное урав-

нение	Проинтегрировать дифференциальное( ′	уравнение)
Пример 2.
	z(n−1) = f x, z, z , . . . , z(n−2) .

−y′′ ctg x = y′ + 1.

Решение. Подстановка y′ = z(x) приводит данное дифференциальное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции z = z(x) :

z′ ctg x = z + 1		dz	=		tg x dx.
−		z + 1		−

104

Проинтегрируем его:

∫	dz	= −∫	tg x dx ∫	d(z + 1)	= ∫	d cos x	ln \|z + 1\| = ln \|cos x\| + ln \|C1\|.
	z + 1			z + 1		cos x

Следовательно,	∫ (C1 cos x − 1)dx = C1 sin x − x + C2.
z + 1 = C1 cos x = y′ = C1 cos x − 1 = y =

Исходное дифференциальное уравнение исключает точки x = πn, n Z и в процессе разделения переменных мы также исключили точки x = π2 + πn, n Z. Поэтому функция

y = C1 sin x − x + C2

является общим решением исходного дифференциального уравнения в каждой из полос

									π
						πn < x <				+ πn, n Z.
						πn < x <			2	+ πn, n Z.
R	c) Уравнение y(n) = f			(	y, y	, . . . , y(n 1)	)	с непрерывной в некоторой области пространства
R	n	правой частью,		(	′	−	)				x.
			которая не содержит независимой переменной

Здесь понижает порядок данного дифференциального уравнения на единицу подстановка

y′ = z, z = z(y). Действительно, использовав правило дифференцирования композиции функций, найдем

y′′ = z′	y′ = z′	z, y′′′ = z′′	y′z + z′ z′	y′ = z′′ z2	+ (z′	)2z, . . . , y(n) = z	(n−1)zn−1	+ . . . + (z′	)n−1z
y	y	yy	y y	yy	y		yn−1	y
и, стало быть, данное дифференциальное уравнение приводится к виду
			(n 1)			(n 2)
			zyn−−1 zn−1 = f1 (y, z, zy′ , . . . , zyn−−2 ),

ãäå f1 непрерывная функция своих аргументов.

Пример 3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение yy′′ = 3(y′)2 + y2y′.

Решение. Проведем в уравнении подстановку y′ = z(y). Поскольку y′′ = zy′ y′ = zy′ z, то данное уравнение приводится к виду

yzy′ z = 3z2 + y2z.

1)Åñëè z = 0, òî y′ = 0 и, значит, y = C решения данного уравнения.

2)В случае z ̸= 0мы приходим к линейному относительно функции z = z(y) уравнению

yzy′ = 3z + y2.

Проинтегрируем сначала соответствующее однородное линейное уравнение:

yzy′ = 3z dzz = 3 dyy = ∫ dzz = 3 ∫ dyy ln |z| = 3 ln |y| + ln |C1| = z¯ = C1y3.

Тогда решение линейного неоднородного уравнения мы будем искать в виде z = φ(y)y3.

Поскольку zy′ = φ′(y)y3 + 3φ(y)y2, òî

y (φ′(y)y3 + 3φ(y)y2) = 3φ(y)y3 + y2

и, следовательно,

Таким образом,

∫

φ′(y) = y12 = φ(y) =

()

y′ = z =	1			y3
	−		+ C1
		y

dy	1
	= −		+ C1.
y2		y

= y2 (C1y − 1) .

105

Разделим переменные в этом последнем уравнении и проинтегрируем:

(

= dx =)

= dx () x =

y2 (C1y

C1y

∫

= C

d(C1y 1)

ln y

= C

ln y

+ C :

C1y 1

j j

)

dy =

Значит, в этом случае

x = C1 ln jC1y 1j C1 ln jyj + y + C2

общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Ÿ3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

В этом параграфе излагаются основы общей теории линейных дифференциальных уравнений на взгляд автора, наиболее изящной и законченной в курсе дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно имеет вид

y(n) + a1(x)y(n−1) + : : : + an−1(x)y′ + an(x)y = f(x);

(1)

ãäå a1(x); a2(x); : : : ; an(x); f(x) непрерывные в некотором интервале (c; d) функции. Если в этом интервале f(x) 0; то уравнение называется линейным однородным , иначе неодно-

родным.

Как следует из теоремы существования и единственности (Ÿ2), для линейного уравнения (1) любая задача Коши

y(x0) = y0; y′(x0) = y′			; : : : ; y(n−1)(x0) = y(n−1)
		0		0
однозначно разрешима в области, где x0	2	(c; d); à y0; y′		; : : : ; y(n−1) произвольные действи-
			0	0
тельные числа. В этой же области существует и общее решение данного уравнения.

Для удобства дальнейшего изложения левую часть линейного уравнения (1) мы будем рассматривать как результат действия линейного оператора Ln; определенного на множестве Mn n раз непрерывно дифференцируемых в интервале (c; d) функций y = y(x); ò. å.

Lny = y(n) + a1(x)y(n−1) + : : : + an−1(x)y′ + an(x)y:	(2)
Таким образом, уравнение (1) мы можем переписать в следующей компактной форме:
Lny = f(x):	(3)

Из определения (2) оператора Ln и линейности производной следует, что для любых действительных чисел 1; 2; : : : ; s и функций y1 = y1(x); y2 = y2(x); : : : ; ys = ys(x) 2 Mn имеет

место свойство линейности оператора Ln :
Ln( 1y1 + 2y2 + : : : + sys) = 1Lny1 + 2Lny2 + : : : + sLnys:	(4)
Займемся сначала линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка
Lny = 0:	(5)

Отметим прежде всего, что функция y = 0 является решением этого уравнения.

Из свойства (4) следует, что любая линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения является его решением , ò. å. åñëè

y1(x); y2(x); : : : ; ys(x)

решения уравнения (5), то функция

1y1(x) + 2y2(x) + : : : + sys(x);

ãäå 1; 2; : : : ; s действительные постоянные (коэффициенты), также является решением этого уравнения:

Ln( 1y1 + 2y2 + : : : + sys) = 0:

(6)

106

В самом деле, коль скоро Lny1 = 0, Lny2 = 0, . . . , Lnys = 0, òî

Ln(α1y1 + α2y2 + . . . + αsys) = α1Lny1 + α2Lny2 + . . . + αsLnys = 0.

Â Ÿ8 главы V была определена комплексная функция действительного аргумента. Там же было указано и правило ее дифференцирования. Поэтому оператор Ln мы можем применить и

к комплексной функции z(x) = y1(x)+iy2(x), ãäå y1(x), y2(x) Mn и, следовательно, линейное

однородное уравнение (5) может иметь комплексные решения. Ввиду линейности оператора

Ln для комплексного решения

z(x) = y1(x) + iy2(x),

ãäå y1(x), y2(x) Mn справедливо

Lnz = Ln(y1 + iy2) = Lny1 + iLny2 = 0 Lny1 = 0, Lny2 = 0,

(7)

ò. å. действительная и мнимая части комплексного решения однородного уравнения (5) ÿâëÿ-

ются действительными решениями этого уравнения.

Для того, чтобы выяснить структуру общего решения однородного уравнения (5) введем

понятие линейной зависимости функций.

Функции y1(x), y2(x), . . . , ys(x) из множества Mn называются линейно зависимыми, åñëè существуют действительные числа α1, α2, . . . , αs, не все равные нулю, для которых

α1y1(x) + α2y2(x) + . . . + αsys(x) ≡ 0.

(8)

Иначе говоря, функции линейно зависимы, если одна из этих функций представляется в виде линейной комбинации остальных.

Если тождество (8) выполняется только при α1 = α2 = . . . = αs = 0, то данные функции

называются линейно независимыми. В этом случае ни одна из этих функций не выражается линейно через остальные.

Выясним, например, являются ли линейно зависимыми на всей числовой оси функции 1, sin x, cos x. Для этого рассмотрим тождество

α1 · 1 + α2 sin x + α3 cos x ≡ 0.

Èç íåãî ìû ïðè x = 0;	π ; π получим однородную систему линейных уравнений относительно
	2
неизвестных α1, α2, α3	:	α1 + α3	= 0,
		α1 + α2	= 0,
		α1 − α3	= 0.

Складывая почленно первое и третье уравнения, найдем 2α1 = 0 α1 = 0. Тогда из первого

и второго уравнений α2 = 0, α3 = 0. Следовательно, данные функции линейно независимы. Для функций же 1, sin2 x, cos2 x выполняется тождество

1 − sin2 x − cos2 x ≡ 0

и, значит, эти функции линейно зависимы.

Исследовать линейную зависимость функций y1(x), y2(x), . . . , ys(x), s ≤ n весьма удобно с помощью специального функционального определителя

y1(x)

y2(x) . . .

ys(x)

Ws(x) =

y1′ (x)

y2′ (x) . . .

ys′ (x)

. . .

который называется определителем

Вронского.

−

(x) y

−

(x)

(x) . . . ys −

Лемма 1. Если функции y1(x), y2(x), . . . , ys(x), s ≤ n линейно зависимы, то Ws(x) ≡ 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению линейной зависимости найдутся действительные числа, не все равные нулю, для которых выполняется тождество (8). Дифференцируя почленно

107

это тождество s−1 раз, мы придем к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных α1, α2, . . . , αs :

α1y1(x)

α2y2(x)

+ . . . +

αsys(x)

α1y1′ (x)

α2y2′ (x)

+ . . . +

αsys′ (x)

≡ 0,

Определителем

. . . . .

≡ .

(9)

è,

(x) ≡ 0.

α1y1 −

(x) + α2y2 −

(x) + . . . + αsys −

Ws(x)

матрицы этой системы является как раз определитель Вронского

следовательно, Ws(x) ≡ 0, поскольку данная однородная система имеет ненулевое решение (здесь мы воспользовались замечанием, сделанным в главе I, Ÿ5, пункт 3).

Äëÿ n решений линейного однородного дифференциального уравнения (5) справедливо и обратное утверждение.

Лемма 2. Åñëè y1(x), y2(x), . . . , yn(x) решения уравнения (5), то они линейно зависимы

тогда и только тогда, когда Wn(x) ≡ 0.

Необходимость этого утверждения доказана в лемме 1. Докажем достаточность условия Wn(x) ≡ 0 для линейной зависимости решений. Возьмем произвольную точку x0 (c, d) и рассмотрим в этой точке однородную систему линейных алгебраических уравнений (9) при s = n. Определитель матрицы этой системы равен Wn(x0) = 0 и, значит, она имеет ненулевое

решение α10, α20, . . . , αn0. Рассмотрим функцию

y(x) = α10y1(x) + α20y2(x) + . . . + αn0yn(x).

Ввиду (6) она является решением однородного уравнения (5) и, коль скоро

y(x0) = α10y1(x0) + α20y2(x0) + . . . + αn0yn(x0) = 0,

y′(x0) = α10y1′ (x0) + α20y2′ (x0) + . . . + αn0yn′ (x0) = 0,

y(n−1)(x0) = α10y1(n−1)(x0) + α20y2(n−1)(x0) + . . . + αn0yn(n−1)(x0) = 0,

то по теореме существования и единственности решения задачи Коши y(x) ≡ 0,

α10y1(x) + α20y2(x) + . . . + αn0yn(x) ≡ 0,

что и означает линейную зависимость решений y1(x), y2(x), . . . , yn(x). Èç леммы 1 следует

Лемма 3. Если для функций y1(x), y2(x), . . . , ys(x), s ≤ n в некоторой точке (c, d) Ws(x0) ̸=,0то эти функции линейно независимы.

ò. å.

x0 интервала

Действительно, если бы они были линейно зависимыми, то по лемме 1 всюду в интервале (c, d) выполнялось бы равенство Ws(x) = 0, что противоречит условию.

Аналогично, следствием леммы 2 является

Лемма 4. Решения y1(x), y2(x), . . . , yn(x) однородного уравнения (5) линейно независимы

âтом и только в том случае, когда Wn(x) ̸=,0x (c, d). Пример 1. Являются ли функции

eλx, xeλx, . . . , xkeλx, λ C, k N

линейно независимыми?

Решение. Общий множитель eλx этих функций отличен от нуля при всех действительных x,

поэтому он не влияет на характер их линейной зависимости. Вычислим определитель Вронского для функций 1, x, . . . , xk.

. . .

. . . kxk−1

(x) =

= 1!

. . .

=,0

. .

. . .

k+1

. . .

следовательно, по лемме 3 данные функции линейно независимы.

комплексных функций действите льного аргумента

108

Линейная зависимость определяется по аналогии с действительными функциями, причем коэффициенты линейных комбинаций этих функций следует также считать комплексными.

Лемма 5. Пусть z1(x), z2(x), . . . , zs(x), x (c, d) линейно независимые функции, среди которых имеются комплексные, причем вместе с каждой комплексной функцией в эту систему входит и комплексно сопряженная с ней. Тогда, заменив любую пару комплексно сопряженных функций действительной и мнимой частями одной из них, мы опять же по-

лучим систему линейно независимых функций.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Перенумеровав, если необходимо, функции, будем считать, что z1(x) = y1(x) + iy2(x), z2(x) = y1(x) − iy2(x)

пара комплексно сопряженных функций. Складывая и вычитая эти два равенства, найдем

1			(x)), y2(x) = −			i	(z1(x) − z2(x)).
y1(x) =		(z1(x) + z2
y1(x) =	2	(z1(x) + z2				2
Рассмотрим линейную комбинацию
α1y1(x) + α2y2(x) + α3z3(x) + . . . + αszs			(x) =	α1 − α2i	z1		(x) +	α1 + α2i	z2(x) + . . . + αszs(x)
α1y1(x) + α2y2(x) + α3z3(x) + . . . + αszs			(x) =	2	z1		(x) +	2	z2(x) + . . . + αszs(x)
				2				2

с комплексными коэффициентами. Поскольку функции z1(x), z2(x), . . . , zs(x) линейно независимы, то данная линейная комбинация тождественна равна нулю в интервале (c, d) только в том случае, когда

α1 − α2i	= 0,	α1 + α2i		= 0, α3 = 0, . . . , αs = 0.
2			2

Следовательно, α1 = 0, α2 = 0, . . . , αs = 0, что и доказывает линейную независимость системы функций y1(x), y2(x), z3(x), . . . , zs(x).

Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального

уравнения (5) называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Покажем, что фундаментальная система решений однородного уравнения существует. Рассмотрим произвольную невырожденную матрицу n-го порядка:

	a11	a12	. . . a1n	.
A =	a21	a22	. . . a2n	.
	.	.	. . . .
	an1	an2	. . . ann

Решения

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

уравнения (5) с начальными условиями

yk(x0) = a1k, yk′ (x0) = a2k, . . . , yk(n−1)(x0) = ank, k = 1, n

как раз и образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, так как, во-первых, по теореме существования и единственности эти решения существуют и, во-вторых, по лемме

3 они линейно независимы, поскольку для них Wn(x0) = |A| ̸=.0

Покажем, что знания фундаментальной системы решений достаточно, чтобы найти общее

решение линейного однородного уравнения.

Теорема 1 (о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Пусть

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

фундаментальная система решений уравнения (5). Тогда функция
y = C1y1(x) + C2y2(x) + . . . + Cnyn(x),	(10)

ãäå C1, C2, . . . , Cn произвольные действительные числа, является общим решением данного уравнения, т. е. общее решение линейного однородного дифференциального уравнения представляет собой линейную комбинацию с произвольными действительными коэффициентами решений фундаментальной системы решений этого уравнения.

не представляется

109

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что ввиду (6) функция (10) является решением уравнения (5) при любых значениях постоянных. Рассмотрим теперь произвольную задачу Коши для данного уравнения с начальными условиями

y(x0) = y0, y′(x0) = y0′ , . . . , y(n−1)(x0) = y0(n−1).

Подберем постоянные так, чтобы для них функция (10) являлась решением поставленной задачи Коши. Продифференцировав функцию (10) n −1 раз и воспользовавшись начальными условиями, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

C1, C2, . . . , Cn :

C1y1(x0)

C2y2(x0)

+ . . . +

Cnyn(x0) = y0,

C1y1′ (x0)

C2y2′ (x0)

Cnyn′ (x0) = y0′ ,

+ . . . +

. . . . .

(n 1)

−

C1y1 −

(x0) + C2y2 −

(x0) + . . . + Cnyn −

(x0) = y0

Определителем основной матрицы этой системы является определитель Вронского Wn(x0). Ïî лемме 4 Wn(x0) ̸= 0и, стало быть, данная система имеет единственное решение

C1 = C10, C2 = C20, . . . , Cn = Cn0.

Таким образом, функция y = C10y1(x)+C20y2(x)+. . .+Cn0yn(x) решение сформулированной выше задачи Коши, что и доказывает теорему.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0.

Решение. Прямой проверкой несложно убедиться в том, что функции y1 = ex, y2 = xex, y3 = x2ex

являются решениями данного линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка. Кроме того (пример 1), эти решения линейно независимы и, значит, они образуют фундаментальную систему решений. Осталось воспользоваться теоремой 1 и записать общее

решение данного уравнения:

y = C1ex + C2xex + C3x2ex.

Замечание 1. Несмотря на то, что структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения известна, найти это решение в общем случае возможным. Существуют линейные однородные уравнения, которые не интегрируются в квадратурах. Рассмотрим, например, однородное уравнение второго порядка

y′′ = −x2y.

∫

Выполним в нем при y ̸= 0подстановку y = ±e− z(x)dx, ãäå z = z(x) новая неизвестная

функция. Так как	(−∫ z(x)dx)′
y′ = ±e− ∫ z(x)dx	(−∫ z(x)dx)′	= −yz, y′′ = −y′z − yz′ = yz2 − yz′,

то исходное дифференциальное уравнение приводится к виду yz2 − yz′ = −x2y

èëè

z′ = x2 + z2.

Полученное уравнение Риккати, как уже отмечалось в Ÿ1 настоящей главы, не интегрируется в квадратурах, следовательно, не интегрируется в квадратурах и данное линейное однородное уравнение второго порядка.

Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное уравнение (3). Мы можем най-

ти его общее решение, если известно какое-нибудь частное решение этого уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения.

110

Теорема 2 (о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой

сумму частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения, т. е. если y (x) частное решение неоднородного

уравнения (3) è y(x) общее решение соответствующего однородного уравнения (5), òî

y = y (x) + y(x)

(11)

общее решение неоднородного уравнения (3).

Äо к а з а т е л ь с т в о. С одной стороны, функция (11) является решением уравнения (3), так как благодаря (4)

Lny = Ln(y + y) = Lny + Lny = f(x) + 0 = f(x).

С другой, функция (11) содержит решение любой задачи Коши для дифференциального уравнения (3) с начальными условиями

y(x0) = y0, y′(x0) = y0′ , . . . , y(n−1)(x0) = y0(n−1),

так как для решения y(x) этой задачи функция y0(x) = y(x) y (x) служит решением1 задачи Коши для однородного уравнения (5) с начальными условиями

y0(x0) = y0 y (x0), y0′ (x0) = y0′ (y )′(x0), . . . , y0(n−1)(x0) = y0(n−1) (y )(n−1)(x0)

и, значит, по теореме 1 она входит в общее решение y(x) однородного уравнения. Т е о р е м а

ä î ê à ç à í à.

Метод Лагранжа, который мы использовали для интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка, обобщается и на линейное неоднородное дифференциальное уравнение высших порядков при условии, что нам известна фундаментальная система решений соответствующего линейного однородного уравнения.

Пусть

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

фундаментальная система решений однородного уравнения (5), соответствующего неоднородному уравнению (3). Тогда по теореме 1 функция

y = C1y1(x) + C2y2(x) + . . . + Cnyn(x)

является общим решением однородного уравнения.

Варьируя постоянные, мы будем искать решение уравнения (3) в виде
y = φ1(x)y1(x) + φ2(x)y2(x) + . . . + φn(x)yn(x),	(12)

ãäå φ1(x), φ2(x), . . . , φn(x) неизвестные дифференцируемые функции.

Станем последовательно дифференцировать n 1 раз функцию (12), заботясь на каждом

шаге, чтобы для каждой производной сохранялась структура соответствующей производной общего решения линейного однородного уравнения. Поскольку

y′ = φ′1(x)y1(x) + φ′2(x)y2(x) + . . . + φ′n(x)yn(x) + φ1(x)y1′ (x) + φ2(x)y2′ (x) + . . . + φn(x)yn′ (x),

то, полагая

φ′1(x)y1(x) + φ′2(x)y2(x) + . . . + φ′n(x)yn(x) = 0,

мы получим

y′ = φ1(x)y1′ (x) + φ2(x)y2′ (x) + . . . + φn(x)yn′ (x).

Аналогично,

y′′ = φ1(x)y1′′(x) + φ2(x)y2′′(x) + . . . + φn(x)yn′′(x),

åñëè

φ′1(x)y1′ (x) + φ′2(x)y2′ (x) + . . . + φ′n(x)yn′ (x) = 0.

Продолжая этот процесс, после (n 1)-го шага мы найдем

y(n−1) = φ1(x)y1(n−1)(x) + φ2(x)y2(n−1)(x) + . . . + φn(x)yn(n−1)(x),

1Òàê êàê Lny0 = Ln(y y ) = Lny Lny = f(x) f(x) = 0:

111

åñëè

φ′1(x)y1(n−2)(x) + φ′2(x)y2(n−2)(x) + . . . + φ′n(x)yn(n−2)(x) = 0.

Дифференцируя еще один раз и подставляя функцию (12) и все ее производные в неоднородное уравнение (3), мы после перегруппировки слагаемых придем к уравнению

φ′1(x)y1(n−1)(x) + φ′2(x)y2(n−1)(x) + . . . + φ′n(x)yn(n−1)(x)+

+φ1(x)Lny1 + φ2(x)Lny2 + . . . + φn(x)Lnyn = f(x)

и, значит,

φ′1(x)y1(n−1)(x) + φ′2(x)y2(n−1)(x) + . . . + φ′n(x)yn(n−1)(x) = f(x).

Таким образом, производные неизвестных функций φ1(x), φ2(x), . . . , φn(x) удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений

φ1′ (x)y1(x)

φ2′ (x)y2(x)

+ . . . +

φn′ (x)yn(x) = 0,

φ1′ (x)y1′ (x)

φ2′ (x)y2′ (x)

+ . . . +

φn′ (x)yn′ (x) = 0,

(13)

. . . . .

−

φ1′ (x)y1

−

(x) + . . . + φn′ (x)yn

(x) + φ2′ (x)y2

(x) = 0,

φ1′ (x)y1(n−1)(x) + φ2′ (x)y2(n−1)(x) + . . . + φn′ (x)yn(n−1)(x) = f(x).

имеет единственное решение, поскольку определителем ее основной матрицы яв-

Эта система

ляется определитель Вронского фундаментальной системы решений, который по лемме 4 отличен от нуля в любой точке интервала (c, d). Решив систему (13), мы найдем производные

φ′1(x) = ψ1(x), φ′2(x) = ψ2(x), . . . , φ′n(x) = ψn(x),

а, значит, с помощью квадратур и неизвестные функции

∫ ∫ ∫

φ1(x) = ψ1(x)dx + C1, φ2(x) = ψ2(x)dx + C2, . . . , φn(x) = ψn(x)dx + Cn.

Подстановка найденных функций в (12) дает нам общее решение линейного неоднородного

уравнения (3)

(∫ ) (∫ ) (∫ )

y = ψ1(x)dx + C1 y1(x) + ψ2(x)dx + C2 y2(x) + . . . + ψn(x)dx + Cn yn(x).

Таким образом, метод Лагранжа позволяет проинтегрировать в квадратурах линейное неоднородное уравнение (3), если соответствующее линейное однородное уравнение (5) èí-

тегрируется в квадратурах, а правая часть f(x) является элементарной функцией.

Пример 3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение y′′′ + y′ = tg x.

Решение. Функции y1 = 1, y2 = cos x, y3 = sin x, как нетрудно проверить, являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения

y′′′ + y′ = 0,

соответствующего данному линейному неоднородному уравнению третьего порядка. Выше мы убедились, что они линейно независимы и, значит, образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения. Запишем его общее решение:

y¯ = C1 + C2 cos x + C3 sin x.

Воспользовавшись методом Лагранжа, представим решение данного неоднородного уравнения в форме

y = φ1(x) + φ2(x) cos x + φ3(x) sin x.

(14)

Производные неизвестных функций φ1(x), φ2(x), φ3(x) удовлетворяют системе (13) äëÿ äàí-

ного уравнения:	φ1′ (x) + φ2′		(x) cos x + φ3′	(x) sin x = 0,
		φ′	(x) sin x + φ′ (x) cos x = 0,
		− 2	3
		−φ2	(x) cos x − φ3	(x) sin x = tg x.

112

Из второго и третьего уравнений мы без труда находим

φ′2(x) = −sin x, φ′3(x) = −sin2 x. cos x

Тогда из первого уравнения φ′1(x) = tg x. Следовательно,

φ1(x) = ∫ tg x dx =

−∫

d cos x

(x) = −∫

= −ln |cos x| + C1, φ2

sin x dx = cos x + C2,

cos x

sin2 x

π2 − x

φ3(x) = −∫

dx =

∫

(cos x −

)dx = sin x + ∫

sin(

π2 − x)

cos x

d tg

−

(

)

= sin x +

= sin x + ln tg

+ C3.

)

∫

− 2

−

(

)

Подставляя найденные функции(â (14),)получим общее решение исходного дифференциаль-

ного уравнения:

y = C1 − ln |cos x| + C2 cos x + (ln tg (

−

) + C3)sin x.

дифференциаль-

Замечание 2. Предположим, что правая часть линейного

неоднородного

ного уравнения (3) представляет собой сумму двух функций, ò. å.

Lny = f1(x) + f2(x).

(15)

Тогда, если y1(x) è y2(x) решения дифференциальных уравнений

Lny = f1(x) è Lny = f2(x),

соответственно, то функция

y = y1(x) + y2(x)

является решением дифференциального уравнения (15).

Для доказательства достаточно воспользоваться свойством линейности оператора Ln :

Lny = Ln(y1 + y2) = Lny1 + Lny2 = f1(x) + f2(x).

Аналогично несложно убедиться в том, что, если правая часть уравнения (3) представляет

собой комплексную функцию

f(x) = f1(x) + if2(x)

и мы нашли комплексное решение

y(x) = y1(x) + iy2(x)

этого дифференциального уравнения, то, во-первых,

Lny1(x) = f1(x), Lny2(x) = f2(x)

и, во-вторых,

Lny(x) = f(x)

(здесь черта обозначает знак комплексного сопряжения).

Ÿ4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

В этом параграфе мы будем изучать линейное дифференциальное уравнение в простейшем частном случае, когда все коэффициенты в его левой части постоянны:

Lny = y(n) + a1y(n−1) + . . . + an−1y′ + any = f(x),

ãäå a1, a2, . . . , an действительные числа, f(x) непрерывная в некотором интервале функ-

öèÿ.

Это дифференциальное уравнение, как мы увидим ниже, интегрируется в квадратурах , поскольку мы можем найти фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, причем интегрирование этого последнего сводится к решению алгебраического уравнения и, значит, обходится без квадратур.

113

1.Линейное однородное дифференциальное уравнение

ñпостоянными коэффициентами

Займемся сначала линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами

Lny = y(n) + a1y(n−1) + . . . + an−1y′ + any = 0.

(1)

Ïðè n = 1 мы имеем линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка y′ + a1y = 0.

Разделим в нем переменные и проинтегрируем:

∫ ∫

dyy = −a1dx = dyy = − a1dx = ln |y| = −a1x + ln |C| = y = Ce−a1x.

Таким образом, однородное уравнение первого порядка имеет своим решением экспоненту. Попытаемся в таком виде найти также и решение уравнения (1).

Итак, решение однородного уравнения (1) мы будем искать в виде y = eλx,

ãäå λ постоянная (вообще говоря, комплексная). Поскольку1 y(k) = (eλx)(k) = λkeλx, k N,

то подставляя данную функцию в уравнение (1), получим

Lneλx = (λn + a1λn−1 + . . . + an−1λ + an)eλx = 0.

Следовательно, постоянная λ удовлетворяет алгебраическому уравнению n-ой степени

Pn(λ) = λn + a1λn−1 + . . . + an−1λ + an = 0,

(2)

которое называется характеристическим уравнением однородного дифференциального уравнения (1). Соответственно, Pn(λ) характеристический полином этого уравнения.

Â Ÿ8 главы V мы выяснили, что характеристическое уравнение (2), как любое алгебраи- ческое, имеет n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Кроме

того, в том же параграфе мы доказали, что, поскольку уравнение (2) имеет действительные коэффициенты, то вместе с каждым комплексным корнем это уравнение имеет и комплексно сопряженный корень той же кратности.

Предположим сначала, что характеристическое уравнение (2) имеет n различных корней. Обозначим их через

λ1, λ2, . . . , λn.

Тогда функции

y1 = eλ1x, y2 = eλ2x, . . . , yn = eλnx

(3)

являются решениями однородного уравнения (1), причем каждому действительному корню соответствует действительное решение, а каждой паре

λk = µk + νki, λl = µk − νki

комплексно сопряженных корней характеристического уравнения отвечает пара комплексных решений

yk = e(µk+νki)x, yl = e(µk−νki)x,

которые мы, использовав определение комплексной экспоненты (глава V, Ÿ8), можем записать в виде

yk = eµkx(cos νkx + i sin νkx), yl = eµkx(cos νkx − i sin νkx)

(4)

и, значит, решения yk è yl дифференциального уравнения (1) являются комплексно сопряжен-

íûìè.

Покажем, что решения (3) являются линейно независимыми.

1Здесь мы используем тот факт, доказанный в Ÿ8, главы V, что при любом ; действительном или комплексном, (e x)′ = e x:

114

Предположим, напротив, что эти функции линейно зависимы. Тогда существуют комплексные числа α1, α2, . . . , αn, не все равные нулю, для которых

α1eλ1x + α2eλ2x + . . . + αneλnx ≡ 0.

Для удобства будем считать, что коэффициенты α1, α2, . . . , αs, s ≤ n отличны от нуля, а остальные равны нулю. Значит,

α1eλ1x + α2eλ2x + . . . + αseλsx ≡ 0.

(5)

Умножим обе части тождества (5) на функцию e−λ1x и затем продифференцируем почленно получившееся равенство. В результате получим тождество

α2(λ2 − λ1)e(λ2−λ1)x + α3(λ3 − λ1)e(λ3−λ1)x + . . . + αs(λs − λ1)e(λs−λ1)x ≡ 0,

которое по структуре ничем не отличается от (5). Повторив указанную процедуру еще s − 2 раз, мы придем к противоречивому тождеству

αs(λs − λ1)(λs − λ2) · . . . · (λs − λs−1)e(λs−λs−1)x ≡ 0.

Таким образом, наше предположение неверно и, стало быть, функции (3) линейно независимы. Из доказанной линейной независимости функций (3) следует, что в случае различных действительных корней характеристического уравнения (2) эти функции образуют фундамен-

тальную систему решений однородного дифференциального уравнения (1).

Предположим, что характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Тогда для каждой пары комплексно сопряженных корней µk ± νki уравнение (1) имеет комплексно сопря-

женные решения (4). Ïî лемме 5 из предыдущего параграфа мы можем заменить в системе функций (3) пару комплексно сопряженных решений (4) действительной и мнимой частями любой из них, например, парой функций

eµkx cos νkx, eµkx sin νkx,

(6)

причем линейная независимость новой системы функций не нарушится. Учитывая, что функции (6), как действительная и мнимая части комплексного решения однородного уравнения (1) также являются решениями этого уравнения (Ÿ3, формула (7)), мы и в этом случае получим

фундаментальную систему действительных решений уравнения (1).

Рассмотрим теперь случай кратных корней характеристического уравнения. Пусть уравнение (2) имеет s различных корней

λ1, λ2, . . . , λs

кратностей

n1, n2, . . . , ns,

соответственно. Для кратностей выполняется равенство n1 + n2 + . . . + ns = n.

Покажем, что каждому корню λk, k = 1, s соответствует nk линейно независимых реше-

íèé линейного однородного уравнения (1).

Для этого изучим более подробно действие оператора Ln на функцию eλx, причем λ мы будем считать переменной величиной. Выше мы выяснили, что

Lneλx = Pn(λ)eλx,

ãäå Pn(λ) характеристический полином. Продифференцируем почленно это равенство по переменной λ. Поскольку функция eλx бесконечно дифференцируема по переменным λ è x, òî,

учитывая, что в этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифферен-

цирования (глава VIII, Ÿ3), получим

(Lneλx)′ = Ln (eλx)′ = Lnxeλx.

λλ

С другой стороны,	(Pn(λ)eλx)λ′	= Pn′ (λ)eλx + Pn(λ)eλxx.
Следовательно,

Lnxeλx = Pn′ (λ)eλx + Pn(λ)eλxx.

115

Аналогично, почленное дифференцирование последнего равенства по переменной λ äàñò

íàì

Lnx2eλx = Pn′′(λ)eλx + 2Pn′ (λ)eλxx + Pn(λ)eλxx2.

Продолжая процесс дифференцирования, после m шагов мы придем к равенству

Lnxmeλx = Pn(m)(λ)eλx + mPn(m−1)(λ)eλxx + . . . + Pn(λ)eλxxm,

(7)

правая часть которого раскрыта по формуле Лейбница для произведения Pn(λ)eλx (глава V, Ÿ2, пункт 3).

Подставляя в равенство (7) корень λk характеристического уравнения и воспользовавшись тем, что, как доказано в главе V, Ÿ8

Pn(λk) = Pn′ (λk) = . . . = Pn(nk−1)(λk) = 0, Pn(nk)(λk) ̸=,0

получим

Lneλkx = Lnxeλkx = . . . = Lnxnk−1eλkx = 0,

ò. å. функции
yk1 = eλkx, yk2 = xeλkx, . . . , yknk = xnk−1eλkx	(8)

решения линейного однородного дифференциального уравнения (1). Эти решения линейно

независимы (Ÿ3, пример 1).

Объединив s групп решений (8) для всех корней λ1, λ2, . . . , λs характеристического уравне- ния, мы получим систему n решений уравнения (1):

y11 = eλ1x, y12 = xeλ1x, . . . , y1n1	= xn1−1eλ1x,
y21 = eλ2x, y22 = xeλ2x, . . . , y2n2	= xn2−1eλ2x,	(9)
· · · · · · · · · ·	· · · ·	(9)
· · · · · · · · · ·	· · · ·

ys1 = eλsx, ys2 = xeλsx, . . . , ysns = xns−1eλsx.

Решения (9), как и решения (3), линейно независимы, в чем можно убедиться с помощью аналогичных рассуждений.

Åñëè все корни характеристического уравнения (2) действительны, то функции (9) состав-

ëÿþò фундаментальную систему решений данного однородного уравнения.

С комплексными корнями характеристического уравнения поступим точно также, как и выше в случае простых корней. Комплексному корню λk = µk + νki кратности nk соответствует nk комплексных решений (8), а комплексно сопряженному корню µk − νki той же кратно-

ñòè nk комплексно сопряженных к (8) решений уравнения (1). Принимая во внимание, что eλkx = eµkx(cos νkx + i sin νkx), заменим каждую пару комплексно сопряженных решений действительной и мнимой частями одного из них. В результате в системе решений (9) мы заменим 2nk комплексных решений, соответствующих комплексно сопряженным корням µk ±νki таким же количеством действительных решений

eµkx cos	νkx, eµkx sin νkx;
xeµkx cos νkx, xeµkx sin νkx;		(10)
· · · ·	· · · · · ·	(10)
· · · ·	· · · · · ·
xnk−1eµkx cos	νkx, xnk−1eµkx sin νkx.

Построенная таким образом совокупность функций является фундаментальной системой решений однородного уравнения (1).

Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать

Алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения

ñпостоянными коэффициентами

1)Äëÿ дифференциального уравнения (1) мы записываем характеристическое уравнение

(2), находим его корни и определяем их кратность.

2)Для каждого действительного корня λk характеристического уравнения кратности nk

мы выписываем соответствующую ему систему решений (8). Аналогично, для каждой пары

116

комплексно сопряженных корней µk ± νki кратности nk мы строим систему решений (10). Объединяя все решения, мы получим фундаментальную систему решений

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

линейного однородного уравнения (1).

3) Воспользовавшись теоремой 1 предыдущего параграфа, записываем общее решение данного уравнения :

y = C1y1(x) + C2y2(x) + . . . + Cnyn(x),

ãäå C1, C2, . . . , Cn произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения yV + yIV − 2y′′′ = 0.

Решение. Данное уравнение имеет âèä (1). Отыщем корни его характеристического уравне-

íèÿ

λ5 + λ4 − 2λ3 = 0.

Поскольку λ5 + λ4 − 2λ3 = λ3(λ2 + λ − 2) = λ3(λ + 2)(λ − 1), то характеристическое уравнение

имеет трехкратный корень λ1 = 0 è два простых корня λ2 = −2 è λ3 = 1.

Первому корню соответствуют три линейно независимых решения y1 = eλ1x = 1, y2 = xeλ1x = x, y3 = x2eλ1x = x2,

второму и третьему решения

y4 = eλ2x = e−2x, y5 = eλ3x = ex

исходного уравнения. Тогда

1, x, x2, e−2x, ex

фундаментальная система решений данного однородного дифференциального уравнения и y = C1 + C2x + C3x2 + C4e−2x + C5ex

его общее решение.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение y′′′ − 27y = 0.

Решение. Характеристический полином

P3(λ) = λ3 − 27

этого уравнения вида (1) разлагается на множители P3(λ) = (λ − 3)(λ2 + 3λ + 9), поэтому

корнями характеристического уравнения являются√действительное число λ1 = 3 и пара комплексно сопряженных чисел λ2,3 = µ2 ±ν2i = −32 ± 3 2 3 i. Первому корню соответствует решение

y1 = eλ1x = e3x,

а комплексно сопряженным корням решения
		3√		x, y3		3√		x
y2	= eµ2x cos ν2x = e−23 x cos		3		= eµ2x sin ν2x = e−23 x sin		3
		2				2

данного дифференциального уравнения. Решения y1, y2, y3 составляют фундаментальную си-

стему решений исходного уравнения и, стало быть,	√
√

y= C1e3x + C2e−32 x cos 3 2 3x + C3e−32 x sin 3 2 3x

общее решение этого уравнения.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения yIV + 4y′′ + 4y = 0.

Решение. Найдем для этого линейного однородного дифференциального уравнения вида (1) корни его характеристического уравнения

λ4 + 4λ2 + 4 = 0.

117

Òàê êàê λ4 + 4λ2 + 4 = (λ2 + 2)2, òî

	2		2	= 0 = λ	2	+ 2 = 0 = λ1,2	= ±	√
(λ		+ 2)							2i.

Таким образом, хар√àктеристическое уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней λ1,2 = µ1 ±ν1i = ± 2i кратности 2. Им соответствуют четыре линейно независимых решения

данного однородного уравнения	√			= eµ1x sin ν1x = sin √
y1 = eµ1x cos ν1x = cos			x, y2			x,
		2			2
y3 = xeµ1x cos ν1x = x cos	√		x, y4	= xeµ1x sin ν1x = x sin √				x,
		2					2

которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид: √ √ √ √

y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + C3x cos 2x + C4x sin 2x.

2.Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

ñпостоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Lny = y(n) + a1y(n−1) + . . . + an−1y′ + any = f(x).

(1)

Здесь a1, a2, . . . , an действительные числа, f(x) непрерывная в некотором интервале функ-

öèÿ.

В предыдущем пункте мы убедились, что общее решение соответствующего однородного уравнения мы можем найти по корням его характеристического уравнения, поэтому проинтегрировать данное неоднородное уравнение (1) мы можем методом Лагранжа и, таким об-

разом, оно интегрируется в квадратурах.

Покажем, что и здесь в случае, когда правая часть имеет специальный вид найти частное, а, значит, и общее решение уравнения (1) мы можем без квадратур.

Пусть

f(x) = eαx(Qk(x) cos βx + Rl(x) sin βx),

(2)

ãäå α, β действительные числа, Qk(x), Rl(x) полиномы степеней k è l, соответственно,

т. е. правая часть данного уравнения представляет собой линейную комбинацию линейно независимых решений некоторого линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Очевидно, дифференцирование функции вида (2) приводит к функции такой же структуры, поэтому можно попытаться и частное решение неоднородного уравнения (1) найти в таком же виде, использовав линейную независимость функций составляющих правую часть.

I. Рассмотрим сначала случай, когда β = 0 и, стало быть,

f(x) = eαxQk(x) = eαx(b0xk + b1xk−1 + . . . + bk−1x + bk).

(3)

Здесь, в свою очередь, мы рассмотрим две возможности.

1) Число α не является корнем характеристического уравнения

Pn(λ) = λn + a1λn−1 + . . . + an−1λ + an = 0

соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Для частного решения неоднородного уравнения (1) мы сохраним структуру (3), т. е. будем искать решение этого уравнения в виде

, c1, . . . , ck подлежат определению.

αx

= eαxQk

(x) = eαx(c0xk + c1xk−1

+ . . . + ck−1x + ck),

(4)

где неизвестные коэффициенты

Подставим решение (4)

â уравнение (1), учитывая, что по формуле Лейбница для произведения

(x)

(y )′ = αeαxQk(x) + eαxQk′ (x),

(y )′′ = α

αx

+ 2αeαxQ (x) + eαxQ (x),

Qk(x) e

k′

e·

k′′

(·n) ·

n·

αx·

e· ·

n· 1 αx·

·e

· ·

αx·

(n·)

(x).

(y ) = α e Q (x) + nα − e Q′ (x) + . . . + e Q

118

В результате после перегруппировки слагаемых получим:
Lny = eαx	(Pn(α)Qk(x) + Pn′ (α)Qk′ (x) +		Pn′′2!	)Qk′′(x) + . . .
	e	e	(α		e

+ Qk(n)	(x))	= eαxQk(x).
e

Отсюда			P ′′(α)
	e	e	P ′′(α)	e	1, x,e	(n)
Как следует из	e	e	n	e	1, x,e	. . . , x		(5)
Pn(α)Qk(x) + Pn′		(α)Qk′ (x) +	n	Qk′′(x) + . . . + Qk			(x) = Qk(x).	(5)
			2!

линейной независимости системы функций	k (Ÿ3, пример 1) äâà ïî-

линома тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты этих полиномов при одинаковых степенях переменной. Поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых

степенях x в левой и правой частях последнего равенства, мы придем к системе линейных алгебраических уравнений

xk :	Pn(α)c0 = b0,
xk−1 :	Pn(α)c1 + Pn′ (α)kc0 = b1,
· ·	· · ·	·	· · ·		· ·
x0 :	Pn(α)c + P ′		(α)c	k−1	+ . . . + Pn(k)(α)c0	= b	k
	k	n		k−1			k

относительно неизвестных коэффициентов. Поскольку здесь у нас Pn(α) ̸= 0òî, из первого уравнения мы однозначно находим коэффициент c0, затем из второго c1, . . . , из последнегоck. Таким образом, эта линейная система однозначно разрешима. Подстановка ее решения в

(4)даст нам частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1).

2)Число α является корнем характеристического уравнения кратности r.

В этом случае, как известно,

Pn(α) = Pn′ (α) = . . . = Pn(r−1)(α) = 0, Pn(r)(α) ̸=,0

поэтому, как следует из (5), мы должны повысить степень полинома Qk(x) íà r единиц. Проще
необходимо искать в виде	x	,					e
всего это сделать, умножив его на	r		т. е. частное решение неоднородного уравнения (1) здесь
y = eαxxrQ (x) = eαxxr(c xk + c					xk−1 + . . . + c	k−1	x + c	k	).	(6)
ek			0	1		k−1		k

Âостальном все приведенные выше рассуждения сохраняются.

II. Пусть теперь β ̸= 0и, таким образом, правая часть имеет специальный вид (2).

Обозначим λ = α + βi. Поскольку

eλx = eαx cos βx + ieαx sin βx, eλx = eαx cos βx − ieαx sin βx,

то, складывая и вычитая эти два равенства, получим:

	1	¯		i	¯
eαx cos βx =		(eλx + eλx)	, eαx sin βx = −		(eλx − eλx).
eαx cos βx =	2	(eλx + eλx)	, eαx sin βx = −	2	(eλx − eλx).

Следовательно, правую часть (2) мы можем записать как сумму комплексно сопряженных

функций	1		1
				¯
f(x) =		(Qk(x) − iRl(x))eλx +		(Qk(x) + iRl(x))eλx.	(7)
	2		2

Функции Qk(x) ±iRl(x) действительной переменной x представляют собой комплексно сопряженные полиномы степени m = max{k, l}.

Частное решение неоднородного уравнения (1) мы и здесь будем искать по виду правой

части (2) в форме			e	e	r = 0, åñëè λ не является корнем),
ãäå r кратность корня λ
			y = eαxxr(Qm(x) cos βx + Rm(x) sin βx),			(8)
em	em		характеристического уравнения (
		(x) полиномы степени m с действительными неопределенными коэффициента-
Q	(x), R

ми. Это решение, как и правую часть (7), мы, разумеется, можем представить в виде суммы комплексно сопряженных функций:

1	em		−	em		1	em	em	¯
2	em		−	em		2	em	em
y =	xr(Q	(x)		iR	(x))eλx +		xr(Q	(x) + iR	(x))eλx.	(9)

											119
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
Lny =				1		(Qk(x) − iRl(x))eλx					(10)

					2
с комплексной правой частью. Покажем, что для него существует решение в форме
Действительно, поскольку функция		21 (Qme(x) − iRme(x)) является полиномом степени m äåé-
y =		1	xr(Q (x)				−	iR		(x))eλx.
1		2				m	−		m
коэффициенты этого полинома, а,				e			e				Qm(x)
ствительной переменной x с комплексными коэффициентами, то, как и выше в случае β = 0,
	значит, и действительные коэффициенты полиномов										e
ние (10) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях x.											e

è e

Rm(x) мы можем однозначно найти подстановкой решения y1 в дифференциальное уравне-

Воспользовавшись, далее, замечанием 2, сделанным в Ÿ3, мы можем утверждать, что комплексно сопряженная к решению y1 функция

	1		e	e	¯
служит решением линейного			e	e
	y2 = xr(Qm(x) + iRm(x))eλx
	2
	неоднородного уравнения
		1			¯
	Lny =		(Qk(x) + iRl(x))eλx
	Lny =		(Qk(x) + iRl(x))eλx
		2

с правой частью, комплексно сопряженной с правой частью уравнения (10).

Отсюда, принимая во внимание (7), (9) и уже упоминавшееся замечание 2 из предыдущего параграфа, мы заключаем, что функция

y = y1(x) + y2(x)

является решением âèäà (8) данного линейного неоднородного дифференциального уравнения

(1) ñ правой частью (2).

Замечание. При нахождении частного решения неоднородного уравнения (1) с правой ча- стью (2) конечно же нет никакой необходимости представлять правую часть в âèäå (7), а решение в форме (9). Следует решение (8) подставить в уравнение (1) и, сократив затем обе части получившегося равенства на eαx, приравнять коэффициенты при одинаковых функциях

xs cos βx, xs sin βx, s = 0, m, использовав их линейную независимость. В результате мы полу-

чим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов
полиномов Q	(x) è R	(x), из которой они однозначно и определяются.
em	em

Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

ñпостоянными коэффициентами и правой частью специального вида

1)Сначала мы находим общее решение y¯(x) соответствующего линейного однородного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (пункт 1).

2) Затем по виду правой части мы определяем частное решение y (x) данного линейного

неоднородного уравнения. Если правая часть имеет âèä (3), то частное решение следует искать в âèäå (6), ãäå r кратность корня α характеристического уравнения и r = 0, åñëè

α корнем не является. Аналогично, если правая часть имеет более общую структуру (2), то частное решение неоднородного уравнения необходимо разыскивать в форме (8) (r кратность корня λ = α+βi характеристического уравнения, в противном случае r = 0). В обоих

случаях подставляя решение в исходное дифференциальное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях получившегося тождества, мы получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов полиномов, входящих в искомое решение, из которой они и находятся единственным образом.

3) Воспользовавшись теоремой 2 предыдущего параграфа, мы записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения :

y = y (x) + y¯(x).

120
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
y′′′ + 4y′ = 2x2 − 1 + e−x(3x + 2) − 5 cos 2x.	(11)

Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным с постоянными коэффициентами и правой частью, равной сумме трех функций

f1(x) = 2x2 − 1, f2(x) = e−x(3x + 2), f3(x) = −5 cos 2x

специального âèäà (2).

Найдем сначала общее решение соответствующего линейного однородного дифференциаль-

ного уравнения

y′′′ + 4y′ = 0.

Его характеристическое уравнение

λ3 + 4λ = 0

имеет корни

λ1 = 0, λ2,3 = µ2 ± ν2i = ±2i.

Первому корню соответствует частное решение

y1 = eλ1x = 1,

а паре комплексно сопряженных корней пара линейно независимых решений y2 = eµ2x cos ν2x = cos 2x, y3 = eµ2x sin ν2x = sin 2x.

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид y¯ = C1 + C2 cos 2x + C3 sin 2x.

Найдем теперь частные решения для каждой из указанных правых частей. Правая часть дифференциального уравнения

y′′′ + 4y′ = 2x2 − 1

(12)

имеет âèä (3) ïðè α = 0 è Q2(x) = 2x2 − 1. Учитывая, что число α является простым корнем характеристического уравнения (r = 1), будем искать частное решение уравнения (12) в âèäå

(6):

y1 = xeαx(b1x2 + b2x + b3) = b1x3 + b2x2 + b3x.

Поскольку

(y1)′ = 3b1x2 + 2b2x + b3, (y1)′′ = 6b1x + 2b2, (y1)′′′ = 6b1,

то подставляя это решение в уравнение (12)

6b1 + 4(3b1x2 + 2b2x + b3) = 2x2 − 1

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, получим

x2 :		12b1 = 2,
x :		8b2 = 0,
x0 : 6b1 + 4b3 = −1,
откуда					1
1		, b2 = 0, b3 = −			1
b1 =
b1 =	6				2
и, стало быть,		1
y1		1		x(x2 − 3).
		=
		=	6
Найдем, далее, частное решение неоднородного уравнения
y′′′ + 4y′ = e−x(3x + 2).						(13)

Правая часть этого уравнения также имеет âèä (3), ãäå α = −1, Q1(x) = 3x + 2. Поскольку число α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (13) мы будем искать в âèäå (4):

y2 = eαx(c1x + c2) = e−x(c1x + c2).

121

Трижды дифференцируя его, получим:

(y2)′ = e−x(−c1x + c1 − c2), (y2)′′ = e−x(c1x − 2c1 + c2), (y2)′′′ = e−x(−c1x + 3c1 − c2).

Тогда подстановка в (13) дает

e−x(−c1x + 3c1 − c2) + 4e−x(−c1x + c1 − c2) = e−x(3x + 2)

и, значит,

−5c1x + 7c1 − 5c2 = 3x + 2.

Следовательно,

−5c1 = 3, 7c1 − 5c2 = 2,

откуда	3			31

c1 =	−			, c2 = −		.
		5			25
Таким образом,	1
y2 = −			e−x(15x + 31).

	25
Осталось, наконец, отыскать частное решение неоднородного уравнения
y′′′ + 4y′				= −5 cos 2x.			(14)

Правая часть уравнения (14) имеет структуру (2) ïðè α = 0, β = 2, Q0(x) = −5, R0(x) = 0, причем, как мы установили выше комплексно сопряженные числа ±βi являются простыми

корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение данного уравнения мы будем разыскивать в форме

y3 = xeαx(d1 cos βx + d2 sin βx) = x(d1 cos 2x + d2 sin 2x).

Три его первые производные равны

(y3)′ = d1 cos 2x + d2 sin 2x + x(−2d1 sin 2x + 2d2 cos 2x), (y3)′′ = −4d1 sin 2x + 4d2 cos 2x + x(−4d1 cos 2x − 4d2 sin 2x), (y3)′′′ = −12d1 cos 2x − 12d2 sin 2x + x(8d1 sin 2x − 8d2 cos 2x).

Результатом подстановки данного решения в уравнение (14) является тождество

−8d1 cos 2x − 8d2 sin 2x = −5 cos 2x.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа в этом тождестве, получим

cos 2x : −8d1 = −5, sin 2x : −8d2 = 0,

откуда

и, следовательно,

d1 = 8, d2 = 0

y3 = 58 x cos 2x.

Тогда, как известно (Ÿ3, замечание 2), сложив частные решения уравнений (12) (14), мы найдем частное решение исходного неоднородного уравнения (11):

y = y1(x) + y2(x) + y3(x) = 16 x(x2 − 3) − 251 e−x(15x + 31) + 58 x cos 2x.

Запишем искомое общее решение дифференциального уравнения (11):

y = y (x) + y¯(x) = 16 x(x2 − 3) − 251 e−x(15x + 31) + 58 x cos 2x + C1 + C2 cos 2x + C3 sin 2x.

второго закона

122

Ÿ5. О системах дифференциальных уравнений

В приложениях часто математической моделью исследуемого процесса является не одно дифференциальное уравнение, а система уравнений, связывающая несколько неизвестных функций вместе с их производными. Например, математическим выражением

динамики (Ньютона) для материальной точки с массой m в пространстве является система

трех дифференциальных уравнений второго порядка

mx′′ = Fx(t, x, y, z, x′, y′, z′),

my′′ = Fy(t, x, y, z, x′, y′, z′), mz′′ = Fz(t, x, y, z, x′, y′, z′),

где в правой части этих уравнений записаны координаты Fx, Fy, Fz равнодействующей сил, действующих на точу, зависящие от времени t, текущих координат x = x(t), y = y(t), z = z(t) данной точки и координат x′ = x′(t), y′ = y′(t), z′ = z′(t) ее скорости.

Системой n дифференциальных уравнений в нормальной форме						или, короче, нормальной
системой n-ãî порядка называется система уравнений вида
		y1′	= f1(x, y1, y2, . . . , yn),

ãäå	y2′		= f2(x, y1, y2, . . . , yn),				(1)
ãäå	независимая переменная, yn′		= fn(x, y1	, y2	, . . . , yn),		искомые функции,
		·	· · ·	·	· · ·

x	y1 = y1(x), y2 = y2(x), . . . , yn = yn(x)

fk(x, y1, y2, . . . , yn), k = 1, n заданные непрерывные в некоторой области D евклидова прост- ранства Rn+1 функции.

Решением данной системы называется совокупность n непрерывно дифференцируемых в некотором интервале (a, b) функций

y1 = y1(x), y2 = y2(x), . . . , yn = yn(x),

(2)

которые в области D обращают в тождество по переменной x каждое из уравнений нормальной системы (1).

Как и при интегрировании дифференциального уравнения n-го порядка, в том случае, когда система (1) интегрируется в квадратурах, в процессе ее решения необходимо выполнить n операций интегрирования и, стало быть, решение этой системы зависит от n произвольных постоянных. Чтобы найти какое-нибудь конкретное решение системы (1) следует подчинить его n дополнительным условиям.

Задача Коши для нормальной системы (1) заключается в нахождении решения (2) данной системы, удовлетворяющего при x = x0 начальным условиям

y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, . . . , yn(x0) = yn0,

(3)

ãäå y10, y20, . . . , yn0 заданные действительные числа и точка M0(x0, y10, y20, . . . , yn0) принадлежит области D.

Функции (2) мы можем рассматривать, как уравнения некоторой линии в пространстве Rn.

Тогда решение задачи Коши с начальными условиями (3) представляет собой кривую (2) â

Rn, которая при x = x0 проходит через точку N0(y10, y20, . . . , yn0). В частности, в трехмерном

пространстве решению задачи Коши для системы дифференциальных уравнений

x′ = f1(t, x, y, z),

y′ = f2(t, x, y, z), z′ = f3(t, x, y, z)

с начальными условиями

x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0

соответствует линия L с параметрическими уравнениями

x = x(t), y = y(t), z = z(t),

проходящая через точку N0(x0, y0, z0).

123

Приведем формулировку теоремы, которая при достаточно общих условиях на правые части системы дифференциальных уравнений (1) обеспечивает существование и единственность

решения задачи Коши для этой системы.

Теорема. Предположим, что функции fk(x, y1, y2, . . . , yn), k = 1, n в правых частях нормальной системы дифференциальных уравнений (1) непрерывны вместе с частными производными по всем переменным y1, y2, . . . , yn в области D. Тогда для любой точки M0(x0, y10, y20, . . . , yn0) из области D существует и единственно непродолжаемое решение

задачи Коши для данной системы с начальными условиями (3).

Введем понятие общего решения системы (1). Функции

y1 = y1(x, C1, C2, . . . , Cn), y2 = y2(x, C1, C2, . . . , Cn), . . . , yn = yn(x, C1, C2, . . . , Cn), (4)

ãäå C1, C2, . . . , Cn постоянные, составляют общее решение нормальной системы (1), если для любых начальных условий (3) из области D существует единственная совокупность значений

постоянных C1 = C10, C2 = C20, . . . , Cn = Cn0, подстановка которой в (4) дает непродолжаемое решение поставленной задачи Коши.

Покажем, что дифференциальное уравнение n-го порядка в нормальной форме
y(n) = f	x, y, y′, . . . , y(n−1)		(5)
(		n+1 è)удовлетворяющей в ней условиям
с непрерывной в некоторой области D пространства R

теоремы существования и единственности решения правой частью мы всегда можем привести

к нормальной системе n дифференциальных уравнений âèäà (1).

Для этого достаточно ввести n неизвестных функций

y1 = y(x), y2 = y′(x), . . . , yn = y(n−1)(x),

(6)

которые, очевидно, связаны системой дифференциальных уравнений

	y1′ = y2		,	(7)
y2′		= y3	,	(7)


	·	· · · ·		· ·
yn′		= f(x, y1, y2, . . . , yn).

Дифференциальное уравнение (5) и система дифференциальных уравнений (7) равносильны в том смысле, что каждому решению y(x) уравнения по формулам (6) соответствует

единственное решение системы и, наоборот, каждому решению y1(x), y2(x), . . . , yn(x) системы уравнений отвечает единственное решение y = y1(x) уравнения. Первое следует из самого способа построения системы (7), для доказательства обратного заметим, что из первых n − 1

уравнений системы y2	= y′	, y3	= y′′, . . . , yn = y(n−1)		и, значит, из последнего уравнения
	1		1	1
		yn′ = y1(n) = f		(x, y1, y1′ , . . . , y1(n−1)),

т. е. функция y = y1(x) решение дифференциального уравнения (5). Единственность решения в том и другом случае следует из теоремы существования и единственности.

Исключим из системы (1) неизвестные функции

124

При определенных условиях верно также и обратное , а именно, нормальная система дифференциальных уравнений (1) может быть преобразована в дифференциальное уравнение n-ãî

порядка âèäà (5).

Изложим здесь метод исключения неизвестных функций, который позволяет это сделать, предполагая, что правая часть первого из уравнений системы (1) непрерывно дифференци-

руема n − 1 раз, а все остальные правые части (n − 2) раз в области D.

y2(x), y3(x), . . . , yn(x). Для этого продифференцируем по переменной x обе части первого из уравнений системы (1), использовав прави-

ло дифференцирования композиции функций многих переменных (глава VIII, Ÿ2) и выражения для производных неизвестных функций из уравнений системы:

y1′′ = ∂xf1 + ∂y1 f1 · y1′ + ∂y2 f1 · y2′ + . . . + ∂yn f1 · yn′ = ∂xf1 + f1∂y1 f1 + f2∂y2 f1 + . . . + fn∂yn f1.

Таким образом,

y1′′ = f˜2(x, y1, y2, . . . , yn).

Аналогично, продифференцировав далее по переменной x обе части последнего уравнения, получим после соответствующих выкладок:

y1′′′ = f˜3(x, y1, y2, . . . , yn).

Продолжая этот процесс, мы после n − 1 шагов придем к дифференциальному уравнению

y1(n) = f˜n(x, y1, y2, . . . , yn).

(8)

Отметим, что на каждом шаге указанного процесса дифференцирования

f˜k+1 = ∂xf˜k + f1∂y1 f˜k + f2∂y2 f˜k + . . . + fn∂yn f˜k, k =		,
	1, n − 1		(9)

причем мы считаем, что f˜1 = f1.

Рассмотрим, далее, систему дифференциальных уравнений

	y1′ = f1(x, y1, y2, . . . , yn),
y1′′ = f˜2(x, y1				, y2	, . . . , yn),	(10)
						(10)


	· (n	·	1) · ·	·	· · ·
y1		−	= f˜n−1(x, y1, y2, . . . , yn)

порядка n − 1. Предположим, что систему (10) мы можем в области D однозначно разрешить относительно неизвестных функций y2(x), y3(x), . . . , yn(x). По теореме о неявных функциях 1 этого всегда можно добиться, если в области D

∂y2 f1

∂y3 f1

. . .

∂yn f1

J(x, y1, y2

, . . . , yn) =

∂y2 f˜2

∂y3 f˜2

. . .

∂yn f˜2

= 0,

(11)

. . .

∂y

f˜n

−

∂y

f˜n

−

. . . ∂y f˜n

−

указанных выше,

что мы и будем предполагать. Разрешив

систему (10) относительно функций

получим:

y2 =φ2(x, y1, y1′

−

, . . . , y1

−

), y3 =φ3(x, y1, y1′ , . . . , y1

−

), . . . , yn =φn(x, y1, y1′

, . . . , y1

). (12)

Подстановка найденных функций в (8) приводит нас к дифференциальному уравнению n-го порядка

					(n)	= f (x, y1, y1′	(n−1)	),		(13)
(		(n		1)	y1	= f (x, y1, y1′	, . . . , y1	),	функция.
(	, . . . , y		−		)					(1)
ãäå f x, y1, y′	, . . . , y	1	−		непрерывная в некоторой области D1 пространства Rn+1
1		1
Покажем, что при выполнении условия (11) система дифференциальных уравнений											è
дифференциальное уравнение (13) равносильны.

1Эту теорему можно найти во втором томе двухтомника Л.Д. Кудрявцева или первом томе трехтомника Г.М. Фихтенгольца, имеющихся в списке литературы.

∂y2 f˜n−1

линейных однородных алгебраических уравне-

125

Действительно, если y1(x), y2(x), . . . , yn(x) решение системы (1), то, как следует из самого алгоритма исключения неизвестных, функция y1(x) служит решением дифференциального уравнения (13), а функции y2(x), y3(x), . . . , yn(x) удовлетворяют равенствам (12).

Обратно, пусть функция y1(x) является решением дифференциального уравнения (13). Дан-

ная функция вместе с функциями, вычисленными по формулам (12) удовлетворяет системе (10) è уравнению (8). Продифференцируем обе части первого из уравнений этой системы:

y1′′ = ∂xf1 + ∂y1 f1 · y1′ + ∂y2 f1 · y2′ + . . . + ∂yn f1 · yn′ .

Вычитая из обеих частей последнего равенства соответствующие части второго уравнения системы (10), получим, принимая во внимание (9):

∂y2 f1(y2′ − f2) + ∂y3 f1(y3′ − f3) + . . . + ∂yn f1(yn′ − fn) = 0.

Аналогично, дифференцируя обе части второго из уравнений системы (10) и учитывая третье уравнение и (9), мы придем к уравнению

∂y2 f˜2(y2′ − f2) + ∂y3 f˜2(y3′ − f3) + . . . + ∂yn f˜2(yn′ − fn) = 0.

Продолжая эту процедуру, мы через n − 1 шагов убедимся в справедливости равенства

∂y2 f˜n−1(y2′ − f2) + ∂y3 f˜n−1(y3′ − f3) + . . . + ∂yn f˜n−1(yn′ − fn) = 0.

Таким образом, мы получили систему из n − 1

íèé

∂y2 f1(y2′ − f2) + ∂y3 f1(y3′ − f3) + . . . + ∂yn f1(yn′ − fn) = 0, ∂y2 f˜2(y2′ − f2) + ∂y3 f˜2(y3′ − f3) + . . . + ∂yn f˜2(yn′ − fn) = 0,

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

(y2′ − f2) + ∂y3 f˜n−1(y3′ − f3) + . . . + ∂yn f˜n−1(yn′ − fn) = 0,

в которой в качестве неизвестных мы рассматриваем функции y2′ − f2, y3′ − f3, . . . , yn′ − fn.

Основная матрица данной системы имеет в области D ненулевой определитель (11), поэтому эта система обладает единственным нулевым решением и, стало быть,

y2′ = f2, y3′ = f3, . . . , yn′ = fn.

Присоединив сюда и первое из уравнений системы (10), мы заключаем, что функции y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

составляют решение системы (1).

Если мы знаем общее решение дифференциального уравнения (13), то, использовав формулы (12), мы можем найти также и общее решение системы дифференциальных уравнений (1).

Пример. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений

{ y′ = x + 2y + z3, z′ = zy2 .

Решение. Воспользуемся методом исключения неизвестных. Продифференцировав по переменной x обе части первого уравнения системы и подставив далее вместо производной z′ åå

выражение из второго уравнения, получим:

y′′ = 1 + 2y′ + 3z2z′ = y′′ = 1 + 2y′ + 3y.

Таким образом, исключив из системы неизвестную функцию z(x), мы пришли к дифференциальному уравнению второго порядка

y′′ − 2y′ − 3y = 1

(14)

относительно неизвестной функции y(x). Это уравнение является линейным неоднородным с

постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (Ÿ4, пункт 2). Корни характеристического уравнения

λ2 − 2λ − 3 = 0

126

соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения y′′ − 2y′ − 3y = 0

равны λ1 = −1, λ2 = 3. Следовательно,

y¯ = C1e−x + C2e3x

общее решение однородного уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения (14), учитывая структуру его правой части мы будем искать в виде y = a, a R. Подставив это решение в (14), получим −3a = 1, откуда

a = −13 и, значит,

y = −13.

Запишем общее решение линейного неоднородного уравнения (14): y = y (x) + y¯(x) = −13 + C1e−x + C2e3x.

Далее, учитывая, что y′ = 3C2e3x−C1e−x, из первого уравнения данной системы мы находим

√

z = √3 y′ − 2y − x = 3 C2e3x − 3C1e−x + 23 − x.

Таким образом, общее решение исходной системы дифференциальных уравнений имеет вид:

y = −		1		+ C1e−x + C2e3x,

		3
z = 3
z = 3			C e3x			3C	e	x + 2		x.
	√			2	−	1	−	3	−

Ÿ6. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений

В приложениях часто возникают дифференциальные уравнения или системы дифференциальных уравнений, которые не интегрируются в квадратурах или их решения имеют очень

громоздкий вид èëè выражаются через специальные функции. В этом случае мы можем использовать методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, которые

позволяют найти неизвестное решение с заранее заданной точностью. Рассмотрим два таких метода применительно к решению задачи Коши

y′ = f(x, y), y(x0) = y0

(1)

для дифференциального уравнения первого порядка с дифференцируемой достаточное число раз в некоторой области D на плоскости правой частью f(x, y). Решение задачи (1) существует

и единственно в области D на некотором отрезке [x0, x0 + l], l > 0, что следует из теоремы,

сформулированной в Ÿ1.

Докажем сначала справедливость следующих приближенных равенств для непрерывно дифференцируемой на отрезке [x0, x0 + l] функции y = y(x) :

y(x + h) = y(x) + hy′(x) + o(h),
y((x + h)		′		(	2		)
y x + h = y(x) + h y′					x + h			+ o(h),	(2)
2	2		(		2				[x0, x0 + l), 0 < h
Во всех этих равенствах x произвольная			(			)			[x0, x0 + l), 0 < h
) = y(x) + hy x + h								+ o(h).

фиксированная точка промежутка

бесконечно малая величина, o(h) бесконечно малые более высокого порядка, чем h, ò. å.

lim o(h) = 0.

h→0 h

Убедимся, например, в справедливости последнего из равенств (2). Рассмотрим функцию

	h
φ(h) = y(x + h) − y(x) − hy′ (x +		)
	2

127

и, воспользовавшись определением производной и ее непрерывностью в точке x, найдем:

lim

φ(h)

= lim

y(x + h)

y(x)

lim y

′ (

x +

= y

(x)

−

′(x) = 0.

h→0

− h→0

2 )

′

Таким образом, φ(h) бесконечно малая более высокого порядка, чем h è

	h
y(x + h) = y(x) + hy′ (x +		) + φ(h),
	2

что и доказывает утверждение.

Опустив при малых h в правых частях равенств (2) бесконечно малые o(h), мы получим

приближенные равенства

y(x) + hy′(x),

(3)

y(x + h)

≈

y (x +

) ≈ y(x) +

y′ (x +

(4)

y(x + h) ≈ y(x) + hy′

(x +

(5)

которые мы будем использовать ниже.

a) Метод Эйлера (ломаных ).

Разобьем отрезок [x0, x0 + l] íà n частичных отрезков равной длины h =

n и обозначим

через

xk = x0 + kh, k = 0, n

точки этого разбиения. Совокупность всех этих точек мы будем называть сеткой, данные

точки узлами сетки, а число h шагом сетки.

Пусть y = y(x) решение задачи Коши (1), à yk ≈ y(xk), k = 1, n приближенные значения

решения в узлах сетки.

Ìû последовательно найдем все значения

y1, y2, . . . , yn,

если воспользуемся приближенным равенством (3) при x = xk, k = 0, n − 1. В самом деле, при k = 0

y(x1) = y(x0 + h) ≈ y(x0) + hy′(x0) = y0 + hf(x0, y0)

и, стало быть,

y1 = y0 + hf(x0, y0).

Аналогично, если k = 1, òî

y(x2) = y(x1 + h) ≈ y(x1) + hy′(x1) = y(x1) + hf(x1, y(x1))

и, значит,

y2 = y1 + hf(x1, y1).

Продолжая этот процесс, мы через n шагов найдем

yn = yn−1 + hf(xn−1, yn−1).

Таким образом, расчетная формула метода Эйлера имеет вид:


yk+1 = yk + hf(xk, yk), k = 0, n − 1.			(6)

Подчеркивая геометрический смысл метода Эйлера, его называют иногда методом ломаных. Чтобы дать геометрическое представление данного метода последовательно соединим

отрезками прямых на плоскости Oxy точки

(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn).

(7)

128

		y=yHxL
			x
O			x
	x0	x0+l
	x0	x0+l

В результате получим ломаную, звеньями которой являются отрезки касательных к интеграль- ным кривым данного дифференциального уравнения, проходящим через первые n − 1 точек

(7). Действительно, для любой такой точки (xk, yk), k = 0, n − 1 обозначим через y˜k(x) решение

задачи Коши, удовлетворяющее начальному условию y˜k(xk) = yk. Тогда, как известно (глава V, Ÿ1, формула (1)),

y= y˜k(xk) + y˜k′ (xk)(x − xk) y = yk + f(xk, yk)(x − xk)

уравнение касательной к интегральной кривой, соответствующей решению y˜k(x) в данной точке. Подставив в это уравнение вместо x значение xk+1, мы найдем yk+1 = yk + hf(xk, yk) è,

значит, касательная проходит через точку (xk+1, yk+1).

Обсудим теперь величину погрешности метода Эйлера. Поскольку на каждом шаге этого метода мы меняем приращение искомого решения его дифференциалом по формуле (3), т. е. линейной частью приращения, то, естественно, трудно ожидать, что точность метода Эйлера будет высокой. В курсе вычислительной математики приводится доказательство того, что, если правая часть исходного дифференциального уравнения непрерывно дифференцируема в

области D, то погрешность метода Эйлера

εn = max |y(xk) − yk|

k=1,n

имеет первый порядок малости относительно шага сетки h и, таким образом, данный метод

имеет первый порядок точности. b) Метод Рунге-Кутта.

Возьмем ту же сетку, что и в методе Эйлера. Для любого отрезка [xk, xk+1], k = 0, n − 1 y′(s) = f(s, y(s)), s [xk, xk+1].

Интегрируя обе части этого тождества в пределах от xk äî xk+1, получим

xk+1				xk+1
∫	y′(s)ds = y(xk+1) − y(xk) =			∫	f(s, y(s))ds,
xk				xk
откуда		xk+1
		xk+1
	y(xk+1) = y(xk) +	∫	f(s, y(s))ds.			(8)

Заменим интеграл в правой части равенства (8) его приближенным значением по формуле парабол (глава VII, Ÿ6), разбив отрезок [xk, xk+1] на две равные части:

∫

f(s, y(s))ds ≈ 6

(f(xk, y(xk)) + 4f (xk + 2 , y (xk + 2 ))

+ f(xk+1, y(xk+1))). (9)

xk+1

Обозначим

g˜k1

g˜k1 = hf(xk, y(xk)), g˜k2 = hf (xk +

, y(xk) +

g˜k2

g˜k3 = hf (xk +

, y(xk) +

), g˜k4 = hf(xk + h, y(xk) + g˜k3).

129

Последовательно применив приближенные формулы (3) è (4) ïðè x = xk, причем первую из

них с половинным шагом, получим, с одной стороны,					≈		h ,
f	(xk + 2 , y (xk +		2 ))		≈		h ,
		h	h				g˜k2
а, с другой,	(xk + 2 , y (xk +		2 ))		≈		h .
f	(xk + 2 , y (xk +		2 ))		≈		h .
		h	h				g˜k3
Использование формулы (5) äëÿ x = xk äàåò íàì
	f(xk+1, y(xk+1)) ≈			g˜k4
						.
				h		.

Подстановка всех найденных выражений в (9), а затем и в (8) приводит нас к приближен-

ному равенству

y(xk+1) ≈ y(xk) + 6(˜gk1 + 2˜gk2 + 2˜gk3 + g˜k4).

Пользуясь последней формулой, мы можем последовательно, начиная с узла x0, вычислить

приближенные значения искомого решения. В результате мы получим расчетную								формулу
метода Рунге-Кутта :
1
yk+1 = yk +		(gk1 + 2gk2 + 2gk3 + gk4), k = 0, n − 1,						(10)
yk+1 = yk +	6	(gk1 + 2gk2 + 2gk3 + gk4), k = 0, n − 1,						(10)
ãäå
gk1 = hf(xk, yk),
gk2 = hf (xk +			h		, yk +	gk1	),
gk2 = hf (xk +				2	, yk +	2	),
gk3 = hf (xk +			h		, yk +	gk2	),
gk3 = hf (xk +				2	, yk +	2	),

gk4 = hf(xk + h, yk + gk3).

Формула (10) метода Рунге-Кутта хотя и сложнее формулы (6) метода Эйлера, поскольку на каждом шаге приходится вычислять четыре значения функции f(x, y), но зато она обладает гораздо большей точностью. Если правая часть дифференциального уравнения четырежды непрерывно дифференцируема в области D, то погрешность метода Рунге-Кутта сравнима с h4 и, таким образом, данный метод имеет четвертый порядок точности.

Замечание. При заданной точности вычислений ε > 0 здесь, как и при приближенном

вычислении определенного интеграла (глава VII, Ÿ6), целесообразно применять правило Рунге для оценки погрешности. Для этого приближенно вычислим методом Эйлера или Рунге-Кутта

решение задачи Коши (1) в узлах сетки с шагом h и в узлах в два раза более густой сетки с

шагом h . Обозначим эти решения через yh è yh , соответственно. Будем считать, что требуемая
2		2
точность достигнута, если во всех совпадающих узлах этих сеток выполняется неравенство
2		−	1
		−		< ε,
	yhs− y 2			< ε,
			h

ãäå s порядок точности приближенного метода, т. е. s = 1 è s = 4 для методов Эйлера и Рунге-Кутта, соответственно. Тогда в качестве приближенного решения задачи Коши здесь следует взять yh .

Пример. Найти приближенное решение задачи Коши y′ = xy + xy , y(1) = 1

на отрезке [1, 2] a) методом Эйлера с точностью ε = 10−2 è b) методом Рунге-Кутта ñ точностью ε = 10−7.

Решение. Здесь		x		y
	f(x, y) =		+		, x0	= 1, y0 = 1, l = 1.

		y		x

130

a) Проведем вычисления по формуле (6) ïðè n = 10 è n = 20. Шаги сеток равны, соответ-

ственно, h = 0, 1 è h2 = 0, 05. Величину погрешности мы оценим по правилу Рунге. Сравним приближенное решение с точным √

y = x 1 + 2 ln x,

которое мы можем найти, проинтегрировав данное уравнение как однородное èëè уравнение Бернулли. Результаты вычислений1 представлены в следующей таблице:

1		3	4		5			6
1	2	3	4		5			6
x	yh	y 2	y
x	yh	y 2	y	yh − y		2	y − y 2
		h				h		h

1,05		1,1	1,10004				0,0000374139
1,1	1,2	1,20011	1,20027	0,000108225			0,000162842
1,15		1,30049	1,30083				0,000346678
1,2	1,40076	1,40124	1,40182	0,00048735			0,000570356
1,25		1,50245	1,50327				0,000821769
1,3	1,60316	1,60415	1,60524	0,000990607			0,00109277
1,35		1,70636	1,70774				0,00137773
1,4	1,80757	1,80912	1,81079	0,00155527			0,00167267
1,45		1,91242	1,9144				0,00197475
1,5	2,01413	2,01628	2,01856	0,00215116			0,00228187
1,55		2,12069	2,12328				0,0025925
1,6	2,22288	2,22564	2,22855	0,00276258			0,00290549
1,65		2,33114	2,33436				0,00321996
1,7	2,43379	2,43717	2,4407	0,00338089			0,00353528
1,75		2,54373	2,54758				0,00385093
1,8	2,6468	2,6508	2,65497	0,00400115			0,00416652
1,85		2,75839	2,76287				0,00448178
1,9	2,86185	2,86647	2,87127	0,00462051			0,00479647
1,95		2,97505	2,98016				0,00511043
2,0	3,07887	3,0841	3,08953	0,00523727			0,00542351

Содержимое колонок 5 и 6 показывает, что требуемая точность ε = 10−2 достигнута.

b) Аналогично, воспользовавшись формулой (10) метода Рунге-Кутта на тех же сетках,

получим:
1			3	4	1		5		6
1		2	3	4	1		5		6
	x	yh	y 2	y	15						8
	x	yh	y 2	y	15	yh − y 2		y − y		2
			h				h			h

1,05			1,10004	1,10004	2, 04605 · 10−8			1, 25611 · 10−
1,1		1,20027	1,20027	1,20027	2, 04605 · 10−8			2, 05926 · 10−8
1,15			1,30083	1,30083	2, 95935 · 10−8			2, 60045 · 10−8
1,2		1,40182	1,40182	1,40182	2, 95935 · 10−8			2, 98197 · 10−8
1,25			1,50327	1,50327	3, 44759 · 10−8			3, 26221 · 10−8
1,3		1,60524	1,60524	1,60524	3, 44759 · 10−8			3, 47619 · 10−8
1,35			1,70774	1,70774	3, 75241 · 10−8			3, 64573 · 10−8
1,4		1,81079	1,81079	1,81079	3, 75241 · 10−8			3, 7849 · 10−8
1,45			1,9144	1,9144	3, 971 · 10−8			3, 90296 · 10−8
1,5		2,01856	2,01856	2,01856	3, 971 · 10−8			4, 00619 · 10−8
1,55			2,12328	2,12328	4, 14683 · 10−8			4, 09889 · 10−8
1,6		2,22855	2,22855	2,22855	4, 14683 · 10−8			4, 18406 · 10−8

1Расчеты выполнены в среде компьютерной алгебры Mathematica.

131

1	2	3	4	5	6
1,65		2,33436	2,33436	4, 3008 · 10−8	4, 26383 · 10−8
1,7	2,4407	2,4407	2,4407	4, 3008 · 10−8	4, 3397 · 10−8
1,75		2,54758	2,54758	4, 44347 · 10−8	4, 41278 · 10−8
1,8	2,65497	2,65497	2,65497	4, 44347 · 10−8	4, 48385 · 10−8
1,85		2,76287	2,76287	4, 58037 · 10−8	4, 55348 · 10−8
1,9	2,87127	2,87127	2,87127	4, 58037 · 10−8	4, 62211 · 10−8
1,95		2,98016	2,98016	4, 71447 · 10−8	4, 69005 · 10−8
2,0	3,08953	3,08953	3,08953	4, 71447 · 10−8	4, 75751 · 10−8

Таким образом и здесь найдено приближенное решение данной задачи Коши с заданной точностью ε = 10−7, которая, как и следовало ожидать, гораздо выше точности решения,

полученного методом Эйлера.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.87 Mб0Лабораторный практикум по сварке курса Металлические конструкции для студентов специальности Промышленное и гражданское строительство.pdf
#
24.11.20251.22 Mб0Лабораторный практикум.pdf
#
24.11.2025564.19 Кб0Лагiстыка.pdf
#
24.11.20252.38 Mб1Лексические и грамматические аспекты перевода технических текстов.pdf
#
24.11.20253.27 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (I семестр).pdf
#
24.11.20252.56 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf
#
24.11.202517.87 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (III семестр).pdf
#
24.11.2025987.88 Кб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (IV семестр).pdf
#
24.11.20251.25 Mб0Литейные сплавы.pdf
#
24.11.2025816.49 Кб0Логика пособие.pdf
#
24.11.20251.06 Mб0Логика специализированный модуль Философия.pdf