90

ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При исследовании различного рода динамично развивающихся процессов, возникающих в физике, химии, биологии, технике, экономике или в какой-нибудь иной науке или области человеческой деятельности, часто бывает трудно, а то и невозможно, найти непосредственно характеристику, определяющую этот процесс, однако сравнительно несложно отыскать функциональную зависимость, связывающую, например, время, искомую характеристику и скорость или ускорение ее изменения, т. е. производные. Указанную зависимость называют

Решение дифференциального уравнения и даст нам неизвестную

характеристику.

В качестве простого примера, приводящего к дифференциальному уравнению, рассмотрим

следующую задачу: принято считать, что скорость распада радиоактивного вещества прямо пропорциональна имеющемуся количеству этого вещества. Найти массу радиоактивного вещества в произвольный момент времени, если в начальный момент времени его масса была равна m0. Найти также период полураспада вещества.

Обозначим через m(t) массу вещества в момент времени t ≥ 0. Поскольку скорость распада

представляет собой производную массы по времени, то по условию задачи мы можем записать следующее дифференциальное уравнение распада:

m′(t) = −km(t),

ãäå k коэффициент пропорциональности и знак ” − ” в правой части отражает тот факт,

что с течением времени количество радиоактивного вещества уменьшается. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том, что решениями этого уравнения являются функции

m(t) = Ce−kt,

ãäå C произвольная действительная постоянная. Обратим здесь внимание на особенность,

характерную для дифференциального уравнения: его решение представляет собой, вообще

говоря, множество функций, зависящих от одной или нескольких произвольных постоян-

íûõ. Чтобы выделить из этого множества какое-нибудь отдельное решение необходимо задать какие-нибудь дополнительные условия , чаще всего, начальные. В нашем примере известна

начальная масса m(0) = m0, подстановка которой в решение дает нам значение постоянной

C = m0 и, таким образом, искомым решением дифференциального уравнения распада является

функция

m(t) = m0e−kt.

Период полураспада вещества является решением уравнения

m20 = m0e−kT

и, следовательно,

T = lnk2.

Все встречающиеся ниже в этой главе функции, если не оговорено противное, мы будем предполагать действительными и зависящими от действительных переменных.

В общем виде дифференциальное уравнение можно определить как уравнение

( )

F x, y, y′, y′′, . . . , y(n) = 0,

которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) è n ее производных y′ = y′(x), y′′ = y′′(x), . . . , y(n) = y(n)(x). Функция F предполагается непрерывной или непрерывно дифференцируемой в некоторой области евклидова пространства Rn+2.

Порядок n старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется его порядком.

Решением данного дифференциального уравнения называется n раз непрерывно дифферен-

цируемая в некотором интервале (a, b) функция y = y(x), для которой

( )

F x, y(x), y′(x), y′′(x), . . . , y(n)(x) ≡ 0, x (a, b).

91

График решения y = y(x), x (a, b) дифференциального уравнения на плоскости Oxy

называется интегральной кривой.

Перейдем теперь к изучению определенных классов дифференциальных уравнений, простейшими из которых являются

Ÿ1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Ограничимся здесь рассмотрением дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме или разрешенных относительно производной:

ãäå f(x, y) непрерывная функция своих аргументов в некоторой области D на плоскости.

Как уже отмечалось выше, решение дифференциального уравнения (1) в общем случае зависит от произвольной постоянной и для того, чтобы выделить какое-нибудь определенное решение необходимо задать дополнительное условие, например, начальное.

Задача нахождения решения y = y(x) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющего ïðè x = x0 начальному условию y(x0) = y0, ãäå y0 заданное действительное число и точка

M0(x0, y0) принадлежит области D, называется задачей Коши.

Геометрически, решить задачу Коши означает найти интегральную кривую данного дифференциального уравнения, которая проходит через точку M0(x0, y0) на плоскости.

Решение y = y(x), x (a, b) дифференциального уравнения (1) называется непродолжаемым в области D, если в этой области не существует его продолжения, т. е. решения этого уравнения, определенного в интервале (a1, b1) (a, b) и совпадающего с данным решением в интервале (a, b).

В общем случае поведение интегральных кривых дифференциального уравнения (1) может быть очень сложным. Сформулируем теорему, которая при не очень обременительных условиях на правую часть данного уравнения гарантирует простую структуру интегральных

кривых этого уравнения.

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть функ-

öèÿ f(x, y) в правой части дифференциального уравнения (1) непрерывна вместе с частной производной fy′ (x, y) в области D. Тогда для любой точки M0(x0, y0) D существует и единственно непродолжаемое решение задачи Коши с начальным условием y(x0) = y0. Единственность здесь понимается в том смысле, что два решения дифференциального уравнения (1),

удовлетворяющие данному начальному условию, совпадают.

Из этой теоремы, в частности, следует, что в ее условиях интегральные кривые дифференциального уравнения (1) в определенном смысле "параллельны " в области D, т. е. они не могут пересекаться.

93

в области D, т. е. в любой точке области эти функции не могут обратиться в нуль одновременно (это последнее условие необходимо для того, чтобы при выполнении требований теоремы существования и единственности в области D для дифференциального уравнения (2) суще-

ствовала касательная к любой интегральной кривой в этой области. Точки, где нарушается данное условие, называются особыми ). Симметричная форма дифференциального уравнения

первого порядка, вообще говоря, более удобна, поскольку в этом случае переменные x è y

равноправны.

Для того, чтобы представить уравнение (1) â форме (2) достаточно записать производную y′ как отношение дифференциалов

y′ = ddxy

и формально умножить обе его части на dx. В результате получим:

f(x, y)dx − dy = 0.

Обратно, уравнение в дифференциалах (2) мы всегда можем представить в нормальной форме (1) в окрестности любой точки области D. Действительно, пусть, например, в точке

M0(x0, y0) D f1(M0) ̸= 0Тогда. ввиду непрерывности функции f1(M) найдется окрест-

ность U(M0) точки M0, в которой f1(M) ̸=,0M U(M0) и, стало быть, в этой окрестности мы можем переписать уравнение (2) в виде

x′ = −f2(x, y), f1(x, y)

т. е. в нормальной форме (1), где переменная x рассматривается как функция аргумента y.

Аналогично, если f2(M0) ̸=,0то в некоторой окрестности точки M0 мы можем записать урав- нение (2) в нормальной форме

ãäå F (x, y) непрерывно дифференцируемая в некоторой области D0 D функция, причем в

любой точке этой области по крайней мере одна из частных производных Fx′ (x, y) èëè Fy′(x, y) отлична от нуля. Тогда оно называется интегралом дифференциального уравнения. Заметим, что уравнение (3) определяет решение дифференциального уравнения, вообще говоря, не единственным образом.

Для интеграла (3) уравнения (1) должно выполняться равенство Fx′ (x, y) + Fy′(x, y)y′ = 0 и, следовательно,

Верно и обратное, а именно, если неявно заданная в некотором интервале уравнением (3) функция y = y(x) удовлетворяет соотношению (4), то (3) интеграл дифференциального

уравнения (1).

Аналогично, неявная функция, определяемая уравнением (3) является интегралом диффе-

ренциального уравнения (2)(в том и только в)том случае, когда векторы

Fx′ (x, y), Fy′(x, y) è (f1(x, y), f2(x, y))

коллинеарны, что равносильно тому, что

По аналогии с общим решением можно ввести также определение общего интеграла

F (x, y, C) = 0,

ãäå C действительная постоянная, дифференциального уравнения (1) èëè (2).