ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Пример 1. Убедиться в том, что

В математике и ее приложениях наряду с функциями одной переменной часто встречаются также зависимости от двух и большего числа переменных. В этой главе мы по аналогии с функцией одной переменной введем понятие функции многих действительных переменных и рассмотрим основы теории предела и дифференцирования такого рода функций. Во избежание громоздкости изложения мы, в основном, будем вести рассуждения для функции двух переменных. Все приведенные ниже определения и утверждения с очевидными изменениями имеют место также и для функций большего числа переменных.

Ÿ1. Функция двух переменных, ее предел и непрерывность

Выберем на плоскости декартову систему координат Oxy. Пусть D некоторое множество точек данной плоскости.

Определение 1. Алгоритм, по которому каждой точке M(x, y) множества D ставится

в соответствие определенное действительное число, называется функцией двух переменных с областью определения D.

Обозначения для функции двух переменных: f(M) èëè f(x, y) èëè z = f(x, y).

Функция двух переменных допускает геометрическую иллюстрацию, поскольку ее графиком является поверхность в пространстве с уравнением z = f(x, y). Например, графиком функции

z = x2 + y2 − 1

является половина однополостного	гиперболоида вращения
является половина однополостного		√
	x2 + y2 − z2 = 1,
расположенная выше плоскости Oxy.
			-5
			0 x
			5
10
z
5
0	-10	0	10
		y

Введем определения некоторых множеств на плоскости, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Назовем ε-окрестностью точки M0(x0, y0) множество U(ε, M0) внутренних точек круга ра-

диуса ε > 0 с центром в точке M0

, ò. å.

Выбросив из

-окрестности

{

точку|

-окрестность точки

−

получим−проколотую}

U(ε, M0) = (x, y)

x0)2 + (y y0)2 < ε .

U(ε, M0)

√

M0,

M0(x0, y0), которую мы обозначим через U˙ (ε, M0).

Множество на плоскости называется открытым, если каждая его точка является внутренней, т. е. она обладает некоторой ε-окрестностью, принадлежащей этому множеству.

Окрестностью U(M0) точки M0 называется открытое множество, содержащее точку M0.

UHM0L

Окрестность U(M0) без точки M0 мы будем называть проколотой окрестностью точки M0 и обозначать через U˙ (M0).

Пусть функция двух переменных f(M) определена в некоторой проколотой окрестности U˙ (M0) точки M0, т. е. в самой точке M0 функция может быть и неопределена.

Определение 2. Пределом функции f(M) в точке M0 называется действительное число L, обладающее тем свойством, что для любого положительного числа ε существует проко-

˙			˙
лотая δε-окрестность U(δε, M0)	U(M0) точки M0, для всех точек которой
				˙
\|f(M) − L\| < ε, M U(δε, M0).
Обозначается этот предел через
	lim f(M) èëè			lim f(x, y).
M		→	M0	x→x0
		→		y y0
				→

Таким образом, число L является пределом функции f(M) в точке M0, если значения этой функции отличаются от числа L сколь угодно мало по абсолютной величине для всех точек,

достаточно близких к точке M0.

Аналогично мы можем ввести определение бесконечного предела функции двух переменных и предела функции на бесконечности, т. е. при условии, что по крайней мере одна из координат

переменной точки M(x, y) стремится к бесконечности.

y→−1

Решение. Оценим по абсолютной величине разность между значениями функции вблизи точки M0(1, −1) и числом −12 , использовав очевидное неравенство 2ab ≤ a2 + b2, справедливое

для любых действительных a è b.

(x + y)2

1)2 + (y + 1)2 + 2(x

1)(y + 1)

1)2 + (y + 1)2

−

≤

−

x2 + y2

2(x2 + y2)

x2 + y2

Выберем

окрестность

U(M0) точки M0, для всех точек M(x, y) которой x

, y

≥ √2

≤ −√2 è,

следовательно, x2 + y2 ≥ 1. Тогда

мы по малому заданному ε > 0 выберем число δε = √ε,

Из этого неравенства следует,

÷òî, åñëè

+ y2 + 2

≤

(x −

1)2 + (y + 1)2

, M U(M0).

то для всех точек δε-окрестности U(δε, M0) U(M0) точки M0 будет выполняться неравенство

x2 + y2

< ε,

что и доказывает (1).

Основные свойства пределов функций двух переменных аналогичны (вместе с доказатель- ствами) соответствующим свойствам пределов функций одной переменой (глава IV, Ÿ4, пункт 2). Отметим некоторые из них.

1)Функция двух переменных не может иметь более одного предела в данной точке.

2)Если функции f1(M) è f2(M) имеют конечные пределы в точке M0, то существуют

также пределы функций c1f1(M) + c2f2(M), c1, c2 R è f1(M)f2(M), причем

a)	lim (c1f1(M) + c2f2(M)) = c1		lim f1(M) + c2	lim f2(M);
	M→M0		M→M0	M→M0
b)	lim f1(M)f2(M) =	lim f1(M) lim f2(M).
	M→M0	M→M0	M→M0

существования предельные значения функции вдоль любой линии, ведущей в точку

Если, помимо того, f2(M) ̸= 0, M U˙ (M0) è lim f2(M) ̸= ,0то существует также

предел дроби f1(M)/f2(M) è			M→M0
предел дроби f1(M)/f2(M) è
	f1(M)		lim f1(M)
c) lim	f1(M)	=	M→M0	.
c) lim	f2(M)	=	lim f2(M)	.
M→M0	f2(M)		lim f2(M)
			M→M0

Из определения предела функции двух переменных в точке M0 следует, что в случае его

M0 совпадают и равны пределу функции. В частности, это верно для любого луча, ведущего в точку M0. Отсюда мы заключаем, что, если предельные значения функции на каких-нибудь двух

линиях различны, то предел lim f(M) не существует.

M→M0
Пример 2. Доказать, что предел в начале координат функции из предыдущего примера
не существует.	xy
Решение. Функция f(x, y) =	xy	постоянна вдоль лучей y = kx, k R, входящих в

	x2 + y2
начало координат, так как при x ̸= 0				k
	f(x, kx) =			k

и, следовательно,			1 + k2
и, следовательно,				k
	lim f(x, kx) =			k	.

				1 + k2
	x→0			1 + k2

Таким образом, с изменением углового коэффициента k этих лучей изменяются также и пре-

дельные значения функции вдоль них. Стало быть, данный предел не существует. Поверхность xy

z = x2 + y2 вблизи начала координат имеет вид:

	-1 -1
x -0.5	-0.5 y
0	0
0.5	0.5
1	1
	1

0.5

0.25

0 z -0.25 -0.5

Остановимся теперь коротко на понятии повторного предела функции двух переменных, который представляет собой последовательный предельный переход по каждой из переменных.

Пусть функция f(x, y) определена в прямоугольнике

Π = {(x, y) |x (a, b), y (c, d)},

содержащем точку M0(x0, y0), кроме, возможно, точки M0. Если при каждом фиксированном x (a, b) существует конечный предел

φ(x) = lim f(x, y)	(2)
y→y0

и существует предел

lim φ(x),

x→x0

приращения функции

	67
то он называется повторным пределом функции f(x, y) в точке M0 и обозначается через
lim lim f(x, y).	(3)

x→x0 y→y0

Аналогично определяется повторный предел

lim lim f(x, y).

y→y0 x→x0

Докажем одно утверждение о связи между пределом функции в точке и повторным преде-

лом в этой же точке.

Теорема 1. Если существует предел

lim f(x, y)

x→x0 y→y0

и для любого фиксированного x (a, b) существует конечный предел (2), то существует пов-

торный предел (3) è
lim f(x, y) =	lim			lim f(x, y).			(4)
x→x0	x	→	x0 y		→	y0
y→y0		→			→

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим для определенности, что функция имеет конечный предел в точке M0, который мы обозначим через L. Оценим по абсолютной величине разность

между функцией φ(x) и числом L. Прежде всего заметим, что для всех точек M(x, y) Π

|φ(x) − L| ≤ |f(x, y) − L| + |f(x, y) − φ(x)|.

(5)

Выберем произвольное ε > 0. Ввиду существования предела функции в точке M0 найдется

˙
проколотая δε-окрестность U(δε, M0) этой точки, для которой
	ε	˙
\|f(x, y) − L\| <	2	, M(x, y) U(δε, M0).	(6)
С другой стороны, поскольку предел (2) существует для любого			x (a, b), то при каждом

фиксированном x (x0 − δε, x0 + δε), x ̸=x0 для всех значениях y достаточно близких к y0 è

˙
таких, что M(x, y) U(δε, M0) выполняется неравенство
\|f(x, y) − φ(x)\| <	ε
		.	(7)
	2

Из неравенства (5), учитывая (6) и (7), получим

|φ(x) − L| < ε,

åñëè x (x0 − δε, x0 + δε), x ̸=x0, что и доказывает (4).

Перейдем теперь к непрерывности функции. Предположим, что функция двух переменных f(M) определена в некоторой окрестности U(M0) точки M0(x0, y0). Как и для функции одной переменной введем следующее

Определение 3. Функция f(M) называется непрерывной в точке M0, если существует

конечный предел lim f(M) è

M→M0

lim f(M) = f(M0).

M→M0

Переформулируем по аналогии с функцией одной переменной определение непрерывности функции двух переменных в точке с помощью в этой точке, которое представляет собой разность

∆f(M0, ∆x, ∆y) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0),

ãäå ∆x, ∆y приращения переменных x è y, соответственно, в точке M0. Очевидно, данная

функция непрерывна в точке M0 тогда и только тогда, когда

lim ∆f(M0, ∆x, ∆y) = 0.

∆x→0 ∆y→0

Если данная функция неопределена в точке M0 или предел lim f(M) не существует или

M→M0

равен бесконечности, то мы будем считать функцию разрывной в точке M0.

некоторого открытого множества с множеством его граничных точек. Иначе говоря,

Основные свойства непрерывных функций двух переменных повторяют соответствующие

свойства непрерывных функций одной переменной. В частности, алгебраические операции над

непрерывными функциями приводят опять же к непрерывным функциям.

Элементарной функцией двух переменных называется функция, образованная с помощью конечного числа алгебраических операций и композиций основных элементарных функций одной переменной (глава IV, Ÿ4, пункт 1) над переменными этой функции.

Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения , òàê

как все указанные в ее определении операции не выводят ее из класса непрерывных функций.

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию

sin(x2 + y2 − 1) f(x, y) = |x2 + y2 − 1| .

Решение. Эта функция является элементарной, поэтому она непрерывна везде, кроме точек

окружности x2 + y2 = 1. В любой точке тывает разрыв, так как

lim f(x, y) =	lim		sin(x2 + y2 − 1)
lim f(x, y) =	lim		x2 + y2 1
x→x0	x→x0		x2 + y2 1
y	y	y	−
2y→20	2	→20	−
x +y >1	x +y >1

M0(x0, y0) этой окружности данная функция испы-

= 1, lim f(x, y) =	lim		sin(x2 + y2 − 1)	=	−	1
= 1, lim f(x, y) =	lim		1 x2 y2	=		1
x→y0	y→y0		1 x2 y2
x	x	x	− −
2y→20	2	→20	− −
x +y <1	x +y <1

и, таким образом, предел

lim f(x, y)

x→x0 y→y0

не существует. Изобразим фрагмент поверхности с уравнением z = sin(x2 + y2 − 1) :
			\|x2 + y2 − 1\|
			1
			0.5
			0 z
			-0.5
-2			-2-1
-1			-1
0	1	1	0
y	1	1	x
y		22	x
		22

Чтобы сформулировать для функции двух переменных аналоги теорем Вейерштрасса и Больцано-Коши (глава IV, Ÿ5, пункт 3), введем сначала определения замкнутого множества è области на плоскости.

Точка M0 называется граничной точкой множества D на плоскости, если в любой ее ε- окрестности найдутся точки, как принадлежащие множеству D, так и не принадлежащие ему.

Заметим, что и сама точка M0 может как быть точкой множества D, так и не содержаться в нем.

Множество D мы будем называть замкнутым, если оно представляет собой объединение

замкнутое множество представляет собой совокупность внутренних и граничных точек этого

множества.

Множество на плоскости называется линейно связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей этому множеству.

Открытое (замкнутое) линейно связное множество на плоскости условимся называть îáëà-

ñòüþ (замкнутой областью ).

Множество на плоскости называется ограниченным, если оно размещается внутри некоторого круга.

векторную функцию двух или трех переменных

Мы определили понятия предела и непрерывности функции двух переменных в точке открытого множества. Если множество замкнуто, то следует еще условиться, что мы будем понимать под пределом и непрерывностью в граничной точке этого множества.

Итак, пусть функция f(M) определена в замкнутом множестве D и пусть M0 граничная точка этого множества (в которой, возможно, функция и неопределена). Число L называется

пределом функции f(M) в граничной точке M0, если для любого ε > 0 неравенство

|f(M) − L| < ε

выполняется для всех точек M множества D из некоторой проколотой δε-окрестности òî÷- êè M0. Если функция определена и в граничной точке M0, то она считается в этой точке непрерывной, если упомянутый выше предел существует и равен f(M0). Очевидно, предел

и непрерывность функции двух переменных в граничной точке аналогичны односторонним

пределу и непрерывности функции одной переменной .

Сформулируем теперь две теоремы о свойствах функции двух переменных, непрерывных на замкнутом, ограниченном множестве , т. е. непрерывных в каждой точке этого множества.

Теорема 2 (аналог теоремы Вейерштрасса). Если функция двух переменных f(M)

определена и непрерывна на замкнутом, ограниченном множестве D, то она ограничена и

достигает на этом множестве своих нижней и верхней граней, т. е. существуют точки M1, M2 D такие, что

f(M1) = inf f(M), f(M2) = sup f(M).

D D

Теорема 3 (аналог теоремы Больцано-Коши). Пусть функция двух переменных f(M)

определена и непрерывна в замкнутой, ограниченной области D. Тогда для любого числа c, заключенного между нижней и верхней гранями этой функции, найдется точка C множества

D, для которой f(C) = c.

Замечание 1. Все приведенные выше определения, свойства и теоремы мы практически без изменений можем переформулировать для функций трех и большего числа переменных. Под ε- окрестностью точки M0(x10, x20, . . . , xn0) в евклидовом пространстве Rn следует, естественно, понимать множество внутренних точек n-мерного шара радиуса ε с центром в точке M0, ò. å.

множество точек M(x1, x2, . . . , xn) таких, что

√

|M0M| = (x1 − x10)2 + (x2 − x20)2 + . . . + (xn − xn0)2 < ε.

Замечание 2. По аналогии с векторной функцией действительного аргумента (глава V, Ÿ7) мы можем определить и ввести для нее определения предела и непрерывности.

При изучении криволинейных и поверхностных интегралов (III семестр) нам придется рассматривать функции двух или трех переменных, непрерывные на некоторых линиях (поверхностях). Определения предела и непрерывности функции двух или трех переменных в точке непрерывной линии на плоскости (в пространстве) или непрерывной поверхности мы можем дать точно также, как и приведенные выше определения этих понятий для функции двух переменных в граничной точке множества на плоскости, если заменить это множество данной линией или поверхностью. Для функций, непрерывных на ограниченных и связных линиях или поверхностях, содержащих свои граничные точки, справедливы также приведенные выше

аналоги теорем Вейерштрасса и Больцано-Коши.

Ÿ2. Частные производные функции двух переменных, ее дифференцируемость и дифференциал.

Частные производные композиции функций многих переменных

èнеявно заданной функции.

Îдифференцировании функции двух переменных под знаком интеграла

Пусть функция двух переменных f(x, y) определена в некоторой окрестности точки

M0(x0, y0).

Если существует производная функции f(x, y0) в точке x0 (соответственно, функции f(x0, y)

в точке y0), то она называется частной производной функции f(x, y) по переменной x â

точке M0 (соответственно, частной производной функции f(x, y) по переменной				y â òî÷-
êå M0). Обозначения для частных производных: fx′ (M0), fy′ (M0) èëè	∂f	(M0),	∂f	(M0) èëè
	∂x	(M0),	∂y	(M0) èëè
	∂x		∂y
∂xf(M0), ∂yf(M0).

Переформулируем определение частных производных с помощью частных приращений функции в данной точке. Частным приращением данной функции по переменной x èëè ïåðå-

менной y называется разность

∆xf(M0, ∆x) = f(x0 + ∆x, y0) − f(x0, y0)

или, соответственно, разность

∆yf(M0, ∆y) = f(x0, y0 + ∆y) − f(x0, y0).

Тогда по определению производной (глава V, Ÿ1)

f′	(M0) = lim	∆xf(M0, ∆x)	, f′	(M0) = lim	∆yf(M0, ∆y)	.

x	∆x→0	∆x	y	∆y→0	∆y

Из определения частной производной следует, что она представляет собой скорость изменения функции вдоль соответствующей координатной оси и для ее нахождения необходимо дифференцировать функцию многих переменных по соответствующей переменной, считая остальные переменные фиксированными. Естественно, правила дифференцирования, связанные с алгебраическими операциями над функциями и перечисленные в главе V, Ÿ1, справедливы также и для частных производных.

Пример 1. Найти частные производные функций :

a) z = x sin

; b) u = x .

Решение.

a) z′

x sin

′

= (x)′

sin

+ x

sin

′

= sin

+ x cos

′

(

x2y

= sin

+ x cos

· y(−2)x−3 = sin

−

cos

;

x sin

′

cos

′

= x cos

cos

b) u

= xy

′

y′

(

x2 )y = x z

′

(xz2 )y

zx2

1z ln x;

= yzxy

1; u = xy

= xy

ln x (yz) = xy

ln x zyz

= xy

x′

(

u′−= xy′yz

)

′(

= x)yyz ln x (yz)′·= xyy′z ln x yz ln·y.

−

Введем теперь понятие

(

функции двух переменных и связанное с ней

дифференцируемости

понятие дифференциала.

Функция f(x, y)

называется дифференцируемой в точке

M0(x0, y0), если в окрестности

этой точки ее полное приращение

∆f(M0, ∆x, ∆y) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0)

может быть представлено в виде

∆f(M0, ∆x, ∆y) = Ax∆x + Ay∆y + o(∆r),

(1)

ãäå Ax, Ay

определенные действительные числа, o(∆r) бесконечно малая более высокого

√

, ò. å.

порядка, чем ∆r =

∆x2 + ∆y2

lim

o(∆r)

= 0.

∆r

∆r→0

Если функция определена и дифференцируема в каждой точке открытого множества D,

то она называется дифференцируемой на этом множестве.

Ïðè ∆x = 0 èëè ∆y = 0 из равенства (1) мы получаем выражения для частных приращений:

∆xf(M0, ∆x) = Ax∆x + o(∆x)

O(0, 0)

èëè

∆yf(M0, ∆y) = Ay∆y + o(∆y).

Разделив обе части каждого из этих равенств на соответствующее приращение аргумента и устремив его к нулю, получим:

lim

∆xf(M0, ∆x)

= A

+ lim

o(∆x)

f′

) = A

;

∆x

→

∆x

→

∆yf(M0, ∆y)

o(∆y)

lim

= A

+ lim

f′

(M ) = A

∆y

∆y 0

∆y

→

Таким образом, для дифференцируемой в точке M0 функции f(x, y) существуют обе ее частные производные в этой точке и


∆f(M0, ∆x, ∆y) = fx′ (M0)∆x + fy′ (M0)∆y + o(∆r).			(2)
Обозначив бесконечно малую при ∆r → 0 функцию	o(∆r)
		через φ(∆x, ∆y), мы можем пере-
	∆r
писать последнее равенство в виде
∆f(M0, ∆x, ∆y) = fx′ (M0)∆x + fy′ (M0)∆y + φ(∆x, ∆y)∆r.			(3)

Из равенства (2) следует, что

lim ∆f(M0, ∆x, ∆y) = 0

∆x→0 ∆y→0

и, таким образом, дифференцируемая в точке M0 функция f(x, y) является непрерывной в этой точке.

Замечание 1. Åñëè для функции одного аргумента дифференцируемость равносильна существованию производной (глава V, Ÿ1), òî äëÿ функции большего числа переменных это,

вообще говоря, уже не имеет места. Контрпримером здесь может служить функция

{

f(x, y) =

0, åñëè xy ̸= 0;

1, åñëè xy = 0.

Поскольку эта функция равна 1 на координатных осях, то в начале координат обе частные производные fx′ (0, 0) è fy′ (0, 0) существуют и равны нулю, однако функция f(x, y) дифференцируемой в точке не является, поскольку, очевидно, она не является в этой точке даже

непрерывной.

Укажем условия, при которых функция будет дифференцируемой в данной точке.

Теорема 1. Если частные производные функции f(x, y) существуют в некоторой окрестности точки M0(x0, y0) и эти частные производные как функции двух переменных x, y непрерывны в точке M0, то данная функция дифференцируема в точке M0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Переписав приращение функции в точке M0 â âèäå

∆f(M0, ∆x, ∆y) = (f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0 + ∆y)) + (f(x0, y0 + ∆y) − f(x0, y0))

и применив к каждой из скобок теорему Лагранжа (глава V, Ÿ3) на отрезках [x0, x0 + ∆x] è [y0, y0 + ∆y], соответственно, получим:

∆f(M0, ∆x, ∆y) = fx′ (x0 + ∆x1, y0 + ∆y)∆x + fy′ (x0, y0 + ∆y1)∆y,

ãäå ∆x1 (0, ∆x), ∆y1 (0, ∆y). Тогда

R(∆x, ∆y) = ∆f(M0, ∆x, ∆y) − fx′ (M0)∆x − fy′ (M0)∆y =

= (fx′ (x0 + ∆x1, y0 + ∆y) − fx′ (x0, y0))∆x + (fy′ (x0, y0 + ∆y1) − fy′ (x0, y0))∆y.

Зафиксируем произвольное ε > 0. Учитывая непрерывность частных производных в точке

√

M0, для положительного числа ε1 = ε/ 2 найдется число δε1 > 0 такое, что неравенства

|fx′ (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − fx′ (x0, y0)| < ε1, |fy′ (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − fy′ (x0, y0)| < ε1

(4)

M0 равен

R(∆x, ∆y), принимая во

√

выполняются как только ∆r = ∆x2 + ∆y2 < δε1 . Оценим по абсолютной величине разность

внимание неравенства (4)1:

|R(∆x, ∆y)| ≤ |fx′ (x0 + ∆x1, y0 + ∆y) − fx′ (x0, y0)||∆x| + |fy′ (x0, y0 + ∆y1) − fy′

(x0, y0)||∆y| ≤

åñëè ∆r < δε1 . Таким образом,

√

≤ ε1

(|∆x|

+ |∆y|) ≤ ε1

2(∆x2 + ∆y2) = ε∆r,

(∆x,

ò. å.

ε, 0 < ∆r < δε1 ,

∆r∆y) ≤

lim

R(∆x, ∆y)

= 0,

∆r→0

∆r

что, по определению, и означает дифференцируемость функции f(x, y) в точке M0.

Òå î ð å ì à ä î ê à ç à í à.

Если функция f(x, y) дифференцируема в точке M0, то линейная часть ее приращения в

этой точке называется дифференциалом данной функции в точке M0. Обозначается дифференциал через df(M0). Èç формулы (2) следует, что

df(M0) = fx′ (M0)∆x + fy′ (M0)∆y

(5)

и вблизи точки M0, т. е. при малых ∆x, ∆y, приращение функции приближенно равно ее дифференциалу:

∆f(M0, ∆x, ∆y) ≈ df(M0) f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f(x0, y0) + df(M0).

Таким образом, в приближенных вычислениях значений функции абсолютная погрешность приближенно равна абсолютной величине дифференциала.

Пример 2. Стороны треугольника a = 200ì ± 2ì, b = 300ì ± 5ì, а угол между ними C = 60◦ ± 1◦. Оценить приближенно величины абсолютной и относительной погрешностей

вычисления третьей стороны треугольника c.
Решение. По теореме косинусов
т. е. сторона c является функцией трех√
		a, b, C. Поскольку
c = a2 + b2		− 2ab cos C,

переменных

a = a0 + ∆a, b = b0 + ∆b, C = C0 + ∆C,

ãäå a0 = 200ì, b0 = 300ì, C0 = 60◦, |∆a| = 2ì, |∆b| = 5ì, |∆C| = 1◦ = 180π , то абсолютная погрешность ε вычисления стороны c приближенно равна

ε = |∆c(M0, ∆a, ∆b, ∆C)| ≈ |dc(M0)|, M0(a0, b0, C0).

Найдем частные производные функции c в точке M0.

c a′ = (√a2

+ b2 − 2ab cos C)a′

2√

(a2 + b2 − 2ab cos C)a′ =

a2 + b2 − 2ab cos C

(2a

−

2b cos C) =

a − b cos C

, c

′

(M ) =

a0 − b0 cos C0

c(M0)

2√7

Аналогично,

c ′	=	b − a cos C	, c ′	(M ) =	2	; c ′	=	ab sin C

b		c	b	0	√7 C				c

Тогда дифференциал функции c в точке

dc(M0) = c ′a(M0)∆a + c ′b(M0)∆b + c ′C (M0)∆C =

∆a + 4∆b + 600√3∆C
2√7	.

	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\| ≤	√
действительных чисел a è b:
			2(a	+ b	); справедливые для любых
1Здесь мы используем очевидные неравенства		2		2

Отсюда следует, что

+ 600√3∆C

33 + 5π√3

|dc(M0)| =

∆a + 4∆b2√7

≤

2√7

(|∆a| + 4|∆b| + 600√

|∆C|) =

3√7

≈ 7, 6

и поэтому ε

7, 6ì. Òàê êàê

относительная

погрешность δ связана с абсолютной ε равенством

≤

δ =

· 100%,

c(M0)

òî

7, 6

δ ≤

100√

· 100% ≈ 2, 9%.

Если функция z = f(x, y) дифференцируема в каждой точке некоторого открытого мно- жества D, то, использовав обозначения ∆x = dx, ∆y = dy, мы можем записать дифференциал

(5) в произвольной точке множества D в следующей симметричной форме:

dz = zx′ dx + zy′ dy.

(6)

Поскольку дифференциал функции многих переменных линейно выражается через частные производные, то при выполнении алгебраических операций над функциями на него автомати- чески переносятся соответствующие свойства производной или дифференциала функции одной переменной.

Пример 3. Найти дифференциал функции

z =

x2 + y2

Решение. Òàê êàê

′

1 · (x2 + y2) − x · 2x

y2 − x2

x′

(x2 + y2 )x

(x2 + y2)2

′

2xy

zy′

= (

)y = x

(−(x2 + y2)−2)2y = −

x2 + y2

(x2 + y2)2

òî

dz = zx′ dx + zy′ dy = (y2 − x2)dx − 2xydy .

(x2 + y2)2

Найдем формулы для нахождения частных производных композиции функций нескольких переменных. Пусть функция двух переменных

z = z(x, y)

дифференцируема в точке M(x, y), а функции

x = x(t), y = y(t)

дифференцируемы в точке t. Тогда производная композиции функций

z(x(t), y(t))

по аргументу t существует и может быть вычислена по формуле

(z(x(t), y(t)))′ = zx′ (M)x′(t) + zy′ (M)y′(t)

или в более симметричной форме
zt′ = zx′ xt′ + zy′ yt′.	(7)

Для доказательства запишем приращение функции z(t) = z(x(t), y(t)) в точке t, воспользовавшись формулой (3):

∆z(t, ∆t) = z(x(t + ∆t), y(t + ∆t)) − z(x(t), y(t)) =

(8)

= zx′ (M)∆x(t, ∆t) + zy′ (M)∆y(t, ∆t) + φ(∆x(t, ∆t), ∆y(t, ∆t))∆r(t, ∆t),

ãäå ∆x(t, ∆t), ∆y(t, ∆t) приращения функций x(t), y(t), соответственно, в точке t, функция

φ(∆x, ∆y) является бесконечно малой при ∆x → 0, ∆y → 0,

√

∆r(t, ∆t) = (∆x(t, ∆t))2 + (∆y(t, ∆t))2.

Разделив обе части равенства (8) на ∆t и устремив это приращение к нулю, получим, учитывая дифференцируемость, а, значит, и непрерывность функций x(t) è y(t)1:

(z(x(t), y(t)))′ = lim

∆z(t, ∆t)

= z′

(M) lim

∆x(t, ∆t)

+ z′ (M) lim

∆y(t, ∆t)

∆t→0

∆t

∆t→0

∆t

∆t→0

∆t

+ lim φ(∆x(t, ∆t), ∆y(t, ∆t))

∆r(t, ∆t)

= z′ (M)x′(t) + z′ (M)y′(t)+

∆t→0

∆t

∆x(t, ∆t)

∆y(t, ∆t)

+ lim φ(∆x(t, ∆t), ∆y(t, ∆t)) sgn ∆t

∆t

)

∆t→0

√(

) (

= z′

(M)x′(t) + z′ (M)y′(t) + 0

(x (t))2 + (y

(t))2

= z′ (M)x′(t) + z′ (M)y′(t).

′

Аналогично мы можем проверить,		что, если переменные				x, y	дифференцируемой функции
Аналогично мы можем проверить,		√				x, y
		z = z(x, y)
являются, в свою очередь, дифференцируемыми функциями
	x = x(x1, y1), y = y(x1, y1)
переменных x1, y1, то частные производные композиции функций
	z(x(x1, y1), y(x1, y1))
по переменным x1, y1 находятся аналогично (7) по формулам
zx′	1 = zx′ xx′	1 + zy′ yx′	1 , zy′	1 = zx′ xy′	1 + zy′ yy′			1 .	(9)

Замечание 2. Формулы (9) естественным образом распространяются и на случай функций большего числа переменных.

Пример 4. Найти частные производные функции z = (x + y2)ex3y .

Решение. Перепишем данную функцию в виде z = φψ, ãäå φ = x + y2, ψ = ex3y и восполь- зуемся формулами (9). Так как

zφ′ = ψφψ−1, zψ′ = φψ ln φ; φ′x = 1, φ′y = 2y; ψx′ = 3x2yψ, ψy′ = x3ψ,

òî

zx′ = zφ′ φ′x + zψ′ ψx′ = ψφψ−1 · 1 + φψ ln φ · 3x2yψ = φψ−1ψ(1 + 3x2yφ ln φ), zy′ = zφ′ φ′y + zψ′ ψy′ = ψφψ−1 · 2y + φψ ln φ · x3ψ = φψ−1ψ(2y + x3φ ln φ).

Используем правило дифференцирования композиции функций многих переменных для нахождения частных производных неявных функций.

Пусть уравнение

F (x, y) = 0,

ãäå F (x, y) дифференцируемая в некотором открытом множестве на плоскости функция,

определяет неявную2, дифференцируемую в некотором интервале (a, b) функцию y(x), причем Fy′(x, y(x)) ̸= 0äëÿ âñåõ x (a, b). Найдем производную неявной функции, продифференцировав по аргументу x обе части тождества F (x, y(x)) = 0, x (a, b). Воспользовавшись формулой (7), получим:

(F (x, y(x)))′x = Fx′ (x, y(x)) + Fy′(x, y(x))y′(x) = 0.

Отсюда

y′(x) = −Fx′ (x, y(x)), x (a, b) Fy′(x, y(x))

1Функция знака sgn x определена в главе VII, Ÿ1.

2Вопросы существования неявных функций обсуждаются, например, во втором томе имеющегося в списке литературы двухтомника Л.Д. Кудрявцева.

					75
или, короче,		F ′	(x, y)
y′ =		F ′	(x, y)
		x		.	(10)
	−Fy′			.	(10)
	−Fy′		(x, y)

Аналогично, если уравнение

F (x, y, z) = 0

с дифференцируемой в некоторой области пространства функцией F (x, y, z) определяет неявную, дифференцируемую в некоторой области на плоскости функцию двух переменных z = z(x, y), то, подобно (10), частные производные этой функции находятся по формулам

F ′

(x, y, z)

F ′

(x, y, z)

z′ =

, z′ =

(11)

−Fz′

(x, y, z)

Пример 5. Найти частные производные неявно заданных функций :

√x2 − y2 tg

a) y = 2x arctg

; b) z =

x2 − y2

Решение. a) Перепишем данное уравнение в виде F (x, y) = 0, ãäå F (x, y) = 2x arctg y y.

Поскольку

√

x −

(arctg

) =

Fx′ (x, y) = 2

(

)

x′

+ x ·

1 +

)

(

)

y(y2 − x2)

= 2

arctg

+ x

= 2

· 1 +

−x2

y 2

(

2x − x2 + y2

x(x2

+ y2)

(

)

2x2

Fy′(x, y) = 2x

(

)′

1 =

−

1 + (xy )2

1 + (xy )2 · x −

то по формуле (10)

(x)y −

+ y2 −

x2 + y2

F ′

(x, y)

y(y2

−

x2)

−

−Fy′

− x(x2 + y2)/ x2 + y2

′

(x, y)

b) В этом случае уравнение

F (x, y, z) = −√

− z = 0

x2 − y2

Воспользуемся формулами (11). Здесь

определяет функцию двух переменных z = z(x, y). √

F ′ (x, y, z) =

′

2x tg

+ x2

− y2

√

− y2

√

−

· cos2

√

· (

x2 − y2 )x

x2−y2

√

√3

+ x2

− y2 (1 +

)z (−

x2 − y2

)

−

2 · 2x) =

−

√

(1 +

)

(

−

= −

x2 − y2

(x2 − y2)2

Fy′(x, y, z) =

yz3

(x2 − y2)2

′

F ′

(x, y, z) = x2

1 =

√

−

· cos2

√

· (

√

x2 − y2 )z −

x2−y2

= √x2 − y2 (1 +

)

− 1 =

x2 − y2

√

x2 − y2

Следовательно,

zx′

= −

Fx′ (x, y, z)

xz3

Fz′(x, y, z)

(x2 − y2)2

x2 − y2

zy′

Fy′(x, y, z)

yz3

= −

Fz′(x, y, z)

(x2 − y2)2

x2 − y2

y2 − x2

Время от времени нам придется сталкиваться с необходимостью дифференцировать по одной из переменных определенный интеграл функции двух переменных по другой переменной. Сформулируем утверждение, которое при определенных условиях на функцию обеспечивает такую возможность.

Теорема 2. Пусть функция двух переменных f(x, y) непрерывна вместе со своей частной производной fy′ (x, y) в прямоугольнике Π = {(x, y) |a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} и кривая с уравнением x = φ(y), где функция φ(y) дифференцируема на отрезке [c, d], содержится в прямоугольнике.

Тогда интеграл

	φ(y)
I(y) =	∫a	f(x, y)dx,

как функция переменной y, дифференцируем по этой переменной и

φ∫(y)

I′(y) = fy′ (x, y)dx + f(φ(y), y)φ′(y).

Доказательство этого утверждения можно найти во втором томе трехтомника Фихтенгольца Г.М., имеющегося в списке литературы.

Приведем два простых следствия данной теоремы.

1)	Åñëè φ(y) ≡ y, òî	∫y f(x, y)dx ′		= ∫y fy′ (x, y)dx + f(y, y).
		∫y f(x, y)dx ′		= ∫y fy′ (x, y)dx + f(y, y).
2)	В случае φ(y) ≡ b	a	y	a
2)	В случае φ(y) ≡ b	∫b	f(x, y)dx ′		= ∫b fy′ (x, y)dx.
		∫b	f(x, y)dx ′		= ∫b fy′ (x, y)dx.

		a		y	a

Ÿ3. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных. Формула Тейлора

Пусть функция двух переменных f(x, y) определена вместе со своими частными производ-

íûìè fx′ (x, y) è fy′ (x, y) в некоторой окрестности точки M(x, y). Тогда, если в точке M существуют частные производные функций fx′ (x, y) è fy′ (x, y), то они называются частными

производными второго порядка функции				f(x, y) в данной точке. Для частных производных
второго порядка мы будем использовать обозначения
fxx′′ (x, y) = (fx′ (x, y))x′ , fxy′′ (x, y) = (fx′ (x, y))y′ , fyx′′ (x, y) = (fy′ (x, y))x′ , fyy′′ (x, y) = (fy′ (x, y))y′
èëè	∂2f		∂2f		∂2f		∂2f

		(x, y),		(x, y),		(x, y),		(x, y)
	∂x2		∂x∂y		∂y∂x		∂y2

èëè

∂xxf(x, y), ∂xyf(x, y), ∂yxf(x, y), ∂yyf(x, y).

Аналогично вводится определение частных производных третьего, четвертого, ..., n-го порядков.

Если при нахождении частной производной порядка выше первого дифференцирование выполняется не только по одной переменной, то такая частная производная называется смешан-

íîé.

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции z = ln(xm + yn), m, n N.

Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:

z′	= (ln(xm + yn))′	=	1	(xm + yn)′	=		mxm−1		,

x	x		xm + yn	x			xm + yn

z′	= (ln(xm + yn))′	=	1	(xm + yn)′	=	nyn−1		.

y	y		xm + yn	y		xm + yn

Тогда

mxm−1

′ = m

( m − 1) x m − 2

(xm + yn) xm−1mxm−1

mxm−2((m − 1)yn − xm)

xx′′

(xm + yn)−2

(xm + yn )x

′

(xm + yn)2

mxm−1

mnxm−1yn−1

zxy′′

= (

)y = mxm−1

−(xm + yn)−2

nyn−1

= −

xm + yn

(xm + yn)2

nyn−1

′

(

)

mnxm−1yn−1

zyx′′

= (

)x = nyn−1

(

−(xm + yn)−2

)

mxm−1

= −

xm + yn

(xm + yn)2

−

′ =

yy′′

−

((n − 1)x

− y

)

(xm + yn )y

(xm + yn)2

На этом примере мы видим, что zxy′′ = zyx′′ . И это не случайно. Оказывается, что при не очень обременительных условиях на функцию значения смешанных частных производных не

зависят от порядка, в котором выполняется дифференцирование. Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные

fx′ (x, y), fy′ (x, y), fxy′′ (x, y), fyx′′ (x, y)

определены в некоторой окрестности точки M(x, y) и частные производные второго порядка fxy′′ (x, y), fyx′′ (x, y) непрерывны в точке M, то значения этих смешанных частных производных равны в точке M, ò. å.

fxy′′ (x, y) = fyx′′ (x, y).

Технически достаточно громоздкое доказательство этой теоремы мы здесь не приводим. Замечание. Утверждение приведенной выше теоремы с очевидными изменениями справед-

ливо и для смешанных частных производных любого порядка. Например,

∂xmyn f(x, y) = ∂ynxm f(x, y).

Естественно, эта теорема имеет место также и для функций большего числа переменных. Перейдем теперь к дифференциалам высших порядков. Пусть функция двух переменных

z = f(x, y) дважды непрерывно дифференцируема в точке M(x, y), т. е. в некоторой окрестности

этой точки функция определена вместе со всеми своими частными производными первого и второго порядков и все они непрерывны в точке M. Вторым дифференциалом (дифференциа-

лом второго порядка ) функции f(x, y) в точке M считается, по определению, дифференциал

от первого дифференциала. Найдем выражение для второго дифференциала, воспользовавшись формулой (6) предыдущего параграфа, линейностью дифференциала и учитывая, что по теореме из Ÿ2 частные производные zx′ è zy′ дифференцируемы в точке M, а дифференциалы

dx è dy независимых переменных не зависят от точки M :

d2z = d(dz) = d(zx′ dx + zy′ dy) = dzx′ dx + dzy′ dy =
= (zxx′′ dx + zxy′′ dy)dx + (zyx′′ dx + zyy′′ dy)dy = zxx′′ dx2 + (zxy′′ + zyx′′ )dxdy + zyy′′ dy2.
Так как по сформулированной выше теореме zxy′′	= zyx′′ , то, окончательно,
d2z = zxx′′ dx2 + 2zxy′′	dxdy + zyy′′ dy2.	(1)

Аналогично находятся и частные производные более высоких порядков. Например, при условии непрерывности в точке M функции и всех ее частных производных до третьего по-

рядка включительно, дифференциал третьего порядка

может быть найден по формуле

d3z = zx′′′3 dx3 + 3zx′′′2ydx2dy + 3zxy′′′

2 dxdy2 + zy′′′3 dy3.

(2)

Перепишем формулы (1) и (2) в более компактной форме:

∂

d2z = (

dx +

dy) z, d3z = (

dx +

dy) z,

∂x

∂y

∂x

∂y

где формальное возведение в степень символов

∂

означает выполнение соответствую-

∂x

∂y

щих операций частного дифференцирования. Например,

∂

2 ∂

∂3z

(

)

z =

∂x

∂y

∂x2∂y

По индукции несложно доказать и общую формулу для нахождения дифференциала произ-

вольного порядка функции двух переменных 1:

∂

dnz = (

dx +

dy) z.

∂x

∂y

Пример 2. Найти дифференциал второго порядка функции

z = tg(xy).

Решение. Òàê êàê

zx′

= (tg(xy))′x =

(xy)x′ =

, zy′

cos2

(xy)

cos2

(xy)

òî

′

y2 sin(xy)

zxx′′ = (

)x = y(−2 cos−3(xy))(−sin(xy))y =

cos2(xy)

cos3(xy)

′

cos2(xy)

2 cos(xy)(

sin(xy))x

) + 2xy sin(xy)

zxy′′

= (

)y =

−

cos(xy

cos2(xy)

cos4(xy)

cos3(xy)

′

2x2 sin(xy)

zyy′′ = (

)y =

cos2(xy)

cos3(xy)

Тогда по формуле (1)

d2z =

(y2 tg(xy)dx2 + (1 + 2xy tg(xy))dxdy + x2 tg(xy)dy2).

cos2(xy)

Займемся теперь формулой Тейлора. Пусть функция двух переменных f(M) непрерывно

дифференцируема n+1 раз в некоторой ε-окрестности U(ε, M0) точки M0(x0, y0), т. е. в любой

точке этой окрестности существуют и непрерывны все частные производные данной функции до (n + 1)-го порядка включительно.

Найдем представление функции f(M) в окрестности U(ε, M0) с помощью полинома сте-

ïåíè n от переменных x, y.

Возьмем произвольную точку M(x, y) U(ε, M0). Для удобства перепишем координаты

точки M â âèäå x = x0 + ∆x, y = y0 + ∆y, где, очевидно, ∆x = x−x0, ∆y = y −y0. Рассмотрим функцию

g(t) = f(Mt), Mt(x0 + t∆x, y0 + t∆y), t [−1, 1].

1Степень в правой части этого равенства раскрывается по формуле бинома Ньютона

(a + b)n = an + Cn1 an−1b + Cn2 an−2b2 + : : : + Cnn−1abn−1 + bn;

k n(n−1)·:::·(n−k+1)

ãäå Cn = k! ; k = 1; n:

z(O) = 0; dz = zx′ dx + zy′ dy =

Ввиду сделанных предположений функция g(t) дифференцируема n + 1 раз на отрезке [−1, 1]

и, следовательно, ее можно представить по формуле Маклорена (глава V, Ÿ5, пункт 1, формула

(2)) â âèäå:

g′(0)

g′′(0)

g(n)(0)

g(n+1)(c)

n+1

, c (0, t).

g(t) = g(0) +

t +

+ . . . +

(3)

(n + 1)!

Воспользовавшись правилом дифференцирования композиции функций многих переменных и определением дифференциалов высших порядков, получим:

g′(t) = fx′ (Mt)∆x + fy′ (Mt)∆y = df(Mt), g′(0) = df(M0), g′′(t) = d(df(Mt)) = d2f(Mt), g′′(0) = d2f(M0),

· · · · · · · · · ·

g(n)(t) = d(dn−1f(Mt)) = dnf(Mt), g(n)(0) = dnf(M0), g(n+1)(t) = d(dnf(Mt)) = dn+1f(Mt), g(n+1)(c) = dn+1f(Mc).

Тогда, заметив, что g(0) = f(M0), g(1) = f(M), из формулы (3) при t = 1 найдем:

f(M) = f(M0) +	df(M0)	+	d2f(M0)	+ . . . +	dnf(M0)	+ Sn(M),	(4)
					n!
1!		2!

ãäå

Sn(M) = dn+1f(x0 + c∆x, y0 + c∆y), c (0, 1).

(n + 1)!

Представление (4) называется формулой Тейлора порядка n для функции f(M) в точке M0.

В частном случае при M0 = O(0, 0) получим формулу Маклорена :

f(M) = f(O) +	df(O)	+	d2f(O)	+ . . . +	dnf(O)	+ Sn(M)
					n!
1!		2!

с остатком	dn+1f(cx, cy)
Sn(M) =		, c (0, 1).
	(n + 1)!

Если функция f(M) непрерывно дифференцируема n ðàç â ε-окрестности U(ε, M0) точки

M0, то, как и для функции одной переменной, формулу Тейлора для нее мы можем записать

â âèäå			d2f(M0)		dnf(M0)
f(M) = f(M0) +	df(M0)	+		+ . . . +		+ o(∆rn)	(5)
					n!
1!		2!

и, таким образом, остаток√ этой формулы является бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆rn, ãäå ∆r = ∆x2 + ∆y2.

Заметим, что по виду формулы Тейлора (4) и (5) вполне аналогичны соответствующим формулам для функции одной переменной (глава V, Ÿ5, пункт 1), однако на практике они могут оказаться весьма громоздкими, так как нахождение дифференциалов связано с большим количеством выкладок.

Пример 3. Записать формулу Маклорена второго порядка вида (5) для функции z = tg(xy)

из предыдущего примера.

Решение. Так как для этой функции

ydx + xdy , dz(O) = 0; cos2(xy)

d2z = 2 (y2 tg(xy)dx2 + (1 + 2xy tg(xy))dxdy + x2 tg(xy)dy2), d2z(O) = 2dxdy, cos2(xy)

то, учитывая, что здесь dx = ∆x = x, dy = ∆y = y, по формуле (5) при n = 2 получим: tg(xy) = xy + o(x2 + y2).

Ÿ4. Касательная плоскость и нормальная прямая к поверхности

Пусть поверхность Q в пространстве задана неявным уравнением

F (x, y, z) = 0

(1)

и точка M0(x0, y0, z0) принадлежит этой поверхности. Функцию F (x, y, z) = 0 мы будем предполагать непрерывной в некоторой окрестности точки M0 и дифференцируемой в этой точке.

Рассмотрим произвольную непрерывную кривую L на поверхности Q, проходящую через точку M0, и пусть

x= x(t), y = y(t), z = z(t)

ее параметрические уравнения, причем точке M0 соответствует значение параметра t0 è функции x = x(t), y = y(t), z = z(t) непрерывны в некотором интервале (t1, t2), содержащем точку t0 и дифференцируемы в этой точке. Поскольку

F (x(t), y(t), z(t)) = 0, t (t1, t2),

то, воспользовавшись правилом дифференцирования композиции функций многих перемен-

ных (Ÿ2), получим:

Fx′ (M0)x′(t0) + Fy′(M0)y′(t0) + Fz′(M0)z′(t0) = 0.

Â главе V, Ÿ7 мы установили, что вектор τ¯(x′(t0), y′(t0), z′(t0)) является направляющим век-

тором касательной к кривой L в точке M0. Если ввести еще в рассмотрение вектор
то предыдущее равенство мы	(	Fx′	(M0), Fy′	(M0), Fz′	)
	n¯				(M0) ,	(2)

можем переписать в векторной форме n¯ · τ¯ = 0

и, следовательно, n¯ τ¯. Таким образом, мы убедились в том, что направляющий вектор касательной к любой линии на данной поверхности в точке M0 ортогонален фиксированному вектору n¯ и, следовательно, вполне естественным будет следующее

Определение. Касательной плоскостью к поверхности Q, заданной уравнением (1), â точке M0 называется плоскость, проходящая через эту точку перпендикулярно вектору

(2)1. Вектор (2) условимся называть нормальным вектором к данной поверхности в точке

M0.

Запишем общее уравнение касательной плоскости :

F ′

)(x

−

x ) + F ′

)(y

−

) + F ′

(M )(z

−

) = 0.

(3)

Нормальной прямой к поверхности Q в точке M0 называется прямая, проходящая через

данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Поскольку нормальный вектор касательной плоскости является направляющим вектором нормальной прямой, то ее канонические уравнения имеют вид:

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(4)
Fx′ (M0)		Fy′(M0)
				Fz′(M0)

z	Q M0

1Чтобы касательная плоскость была определена мы, естественно, должны предполагать, что	n
	n	̸=0:

	81
Предположим теперь, что поверхность Q задана ÿâíî уравнением
z = f(x; y);	(5)

где функция f(x; y) непрерывна в некоторой окрестности точки (x0; y0) и дифференцируема в этой точке. Переписав уравнение поверхности в виде

z − f(x; y) = 0;

мы видим, что здесь F (x; y; z) = z − f(x; y) и, следовательно,

Fx′ (x; y; z) = −fx′ (x; y); Fy′ (x; y; z) = −fy′ (x; y); Fz′(x; y; z) = 1:

Тогда уравнения (3) è (4) касательной плоскости и нормальной прямой к данной поверхности в точке M0(x0; y0; z0); z0 = f(x0; y0) принимают, соответственно, вид:

−fx′ (x0; y0)(x − x0) − fy′ (x0; y0)(y − y0) + (z − z0) = 0;

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	:
−fx′ (x0; y0)		−fy′ (x0; y0)
			1

Выше мы вели речь о касательной плоскости в фиксированной точке M0 поверхности. Ес- ëè æå в каждой точке M поверхности Q существует непрерывно изменяющаяся касатель-

ная плоскость и, значит, непрерывно изменяющийся нормальный вектор n(M) ̸=0; òî äàí-

ная поверхность называется гладкой. В частности, поверхность, заданная уравнением (5), где f(x; y) непрерывно дифференцируемая в некоторой области функция, является, очевидно,

гладкой.

Пример. Найти уравнения всех нормальных прямых к поверхности x2 + y2 − z2 = 1;

которые проходят через точку A(2; 2; 0):

Решение. Здесь, очевидно, F (x; y; z) = x2 + y2 − z2 − 1 и, стало быть,

Fx′ (x; y; z) = 2x; Fy′ (x; y; z) = 2y; Fz′(x; y; z) = −2z:

Пусть M0(x0; y0; z0) точка на поверхности, через которую проходит нормальная прямая.

Поскольку вектор M0A(2−x0; 2−y0; −z0) коллинеарен нормальному вектору n(2x0; 2y0; −2z0); то координаты точки M0 мы можем найти из системы уравнений

		2 − x0 =		2 − y0 = −z0 ;
Из первого уравнения этой			x0	y0	−z0	(6)
			1	x0 = y0: Тогда, если z0 = 0; то из второго
	x02		+ y02 − z02 = 1:

системы следует, что

уравнения системы мы находим x0 = ±√2 и, таким образом, мы имеем две симметричные относительно начала координат точки на поверхности

( √ √ ) ( √ √ )

M1 1= 2; 1= 2; 0 è M2 −1= 2; −1= 2; 0 :

Нормальные прямые к поверхности в этих точках совпадают, так как они имеют общий на-
правляющий вектор
l(1; 1; 0); коллинеарный радиусам-векторам точек M1 è M2: Запишем ка-
нонические уравнения общей нормальной прямой:
x − 2	= y − 2	= z :
1	1	0

Если в системе (6) z0 ̸=;0то из первого уравнения мы сразу же получаем x0 = y0 = 1: Тогда из второго уравнения следует, что z0 = ±1 и, значит, мы нашли еще две точки на поверхности:

M3(1; 1; −1) è M4(1; 1; 1):

Для первой из этих точек направляющим

вектором нормальной прямой служит вектор

(1; 1; −1) и, следовательно, канонические уравнения нормаль-

(1; 1; 1); для второй вектор l4

ных прямых в точках M3 è M4 имеют, соответственно, вид:

x − 2

y − 2

x − 2

y − 2

−1

критической точкой функции.

для точки максимума.

Ÿ5. Экстремум функции двух переменных

Предположим, что функция двух переменных f(M) определена в некоторой окрестности точки M0(x0, y0).

Определение. Точка M0 называется точкой локального минимума (максимума ) функции f(M), если для всех точек M из достаточно малой ε-окрестности U(ε, M0) точки M0 выпол- няется неравенство

f(M) ≥ f(M0) (f(M) ≤ f(M0)).

(1)

Если, кроме того, f(M) ̸=f(M0) ïðè M ̸=M0, то будем говорить, что в точке M0 функция

имеет строгий локальный минимум (максимум).

Точки (строгого) локального минимума или максимума функции называются точками ее

(строгого) локального экстремума.

max

min

Очевидно, условия (1) равносильны тому, что в точке экстремума приращение функции

∆f(M0, ∆x, ∆y) = f(M) − f(M0) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0)

сохраняет знак вблизи точки M0, а именно, ∆f(M0, ∆x, ∆y) ≥ 0, M U(ε, M0) для точки

минимума и ∆f(M0, ∆x, ∆y) ≤ 0, M U(ε, M0)

По аналогии с экстремумом функции одной переменной установим необходимое и доста-

точное условия экстремума функции двух переменных.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). В точке экстремума M0(x0, y0) ôóíê-

öèè f(x, y) каждая из ее частных производных обращается в нуль или не существует.

Для доказательства теоремы рассмотрим функции

f1(x) = f(x, y0) è f2(y) = f(x0, y)

переменных x è y, соответственно. Поскольку функция f(x, y) имеет экстремум в точке M0,

то функции f1(x) è f2(y) также имеют экстремум того же характера в точках x0 è y0, ñîîò-

ветственно. Следовательно, по теореме 2 (глава V, Ÿ6, пункт 1) каждая из производных f1′(x0) è f2′(y0) равна нулю или не существует, что и завершает доказательство, так как, очевидно, fx′ (x0, y0) = f1′(x0), fy′ (x0, y0) = f2′(y0).

Как и для функции одной переменной доказанное выше необходимое условие не является достаточным, т. е., если в некоторой точке частные производные функции равны нулю или не

существуют, то совсем íеобязательно, что в этой точке фунêция имеет экстремум. Например, для функции z = x3 √3 y ее частная производная zx′ = 3x2 √3 y на осях координат обращается в

нуль, а вторая частная производная z′	=		x3	Oy и не существует на оси

y		3	√3 y2	равна нулю на оси

Ox, однако ни одна из точек осей координат не является точкой экстремума, так как функция,

очевидно, меняет знак в сколь малой окрестности любой из этих точек.

Точка на плоскости, в которой каждая из частных производных равна нулю или не существует, называется

Приведенный выше пример свидетельствует о том, что не всякая критическая точка является точкой экстремума функции. Выясним условия, при которых критическая точка будет в то же время и точкой экстремума функции.

d2f(M0)=

Предположим, что функция f(M) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности своей критической точки M0(x0, y0). Представим полное приращение функции в точке M0 ïî формуле Тейлора второго порядка (5), Ÿ3, учитывая, что в данной точке df(M0) = 0:

где приращения аргументов ∆x, ∆y достаточно малы.			(	2		2	)
	1	2		2		2
∆f(M0, ∆x, ∆y) =	2	d f(M0) + o ∆x			+ ∆y		,	(2)

Покажем, что, если второй дифференциал d2f(M0) как функция переменных ∆x, ∆y знакоопределен, т. е. сохраняет определенный знак, когда приращения ∆x, ∆y не обращаются в нуль одновременно, то в некоторой малой окрестности точки M0 правая часть формулы (2) имеет тот же знак. Поскольку

d2f(M0) = fxx′′ (M0)∆x2 + 2fxy′′ (M0)∆x∆y + fyy′′ (M0)∆y2,

(3)

то для этого необходимо прежде всего, чтобы fxx′′ (M0) ̸= 0è fyy′′ (M0) ̸= ,0так как иначе

дифференциал d2f(M0) обратится в нуль, если одно из приращений аргументов будет равно нулю, а второе произвольно. Представив далее второй дифференциал в виде

1 ((f′′ (M0)∆x+f′′ (M0)∆y)2 +(f′′ (M0)f′′ (M0)−(f′′ (M0))2)∆y2), (4)

fxx′′ (M0) xx xy xx yy xy

мы замечаем, что он будет сохранять знак в том и только в том случае, когда будет положи-

тельной величина

(

)

2 ,

которую мы с целью обобщения на случай большего

D(M0) = fxx′′

(M0)fyy′′

(M0) − fxy′′ (M0)

числа переменных запишем в виде опреде-

лителя

fxx′′ (M0) fxy′′ (M0)

Из (2) следует, что, поскольку для любого

найдется

окрестность точки

äëÿ

всех точек которой

D(M0) =

fxy′′

(M0) fyy′′ (M0)

δε

M0,

то в той же окрестности (

)

(

ε > 0

)

(

)

−

∆x2 + ∆y2 < o ∆x2 + ∆y2 <

∆x2 + ∆y2 ,

Учитывая,(

(

))

что величины(

))

(

d2f(M0) − ε ∆x2 + ∆y2 < ∆f(M0, ∆x, ∆y) <

d2f(M0) + ε ∆x2 + ∆y2

(5)

f′′ (M0)

ε f′′ (M0)

fxx′′ (M0) ± ε

fxy′′ (M0) fyy′′ (M0)

IV, Ÿ5, пункт 1), ïðè

непрерывно зависят от ε и, значит, по свойству

3) непрерывности (глава

малом ε они сохраняют знак чисел f′′

(M0)

= 0è D(M0)

= ,0соответственно, мы можем

утверждать, сославшись на представление (4), что при D(M0) > 0 в указанной выше δε

окрестности точки M0 выражения

d f(M0), а именно, при fxx′′ (M0) > 0 они положи-

сохраняют знак

(

)

d2f(M0) ±

ε ∆x2 + ∆y2

= (fxx′′ (M0) ± ε)∆x2

+ 2fxy′′

(M0)∆x∆y + (fyy′′ (M0) ± ε)∆y2

второго дифференциала

тельны, а при fxx′′ (M0) < 0 отрицательны, если только приращения аргументов ∆x è ∆y не обращаются в нуль одновременно. Отсюда, принимая во внимание неравенство (5), мы

заключаем, что вблизи точки M0

∆f(M0, ∆x, ∆y) > 0, åñëè fxx′′ (M0) > 0

и, значит, в точке M0 данная функция имеет строгий минимум, à

∆f(M0, ∆x, ∆y) < 0, åñëè fxx′′ (M0) < 0
и, стало быть, M0 точка строгого максимума функции.
Åñëè D(M0) < 0, то, как следует из (3), если f′′ (M0) = 0, èëè èç (4), åñëè f′′ (M0)			= 0,
второй дифференциал d2f(M0), а вместе с ним и выражения d2f(M0) ± ε	(∆x2 + ∆y2)	ïðè
xx	xx	̸

малом ε > 0 могут менять знак в сколь угодно малой окрестности точки M0 и, следовательно, ввиду (5) приращение ∆f(M0, ∆x, ∆y) также меняет знак вблизи точки M0, т. е. в этой точке

функция не имеет экстремума .

Åñëè D(M0) = 0, то по второму дифференциалу ничего определенного о наличии или от-

сутствии экстремума в точке M0, вообще говоря, сказать нельзя. Действительно, рассмот-

рим функции z = x4 + y4 è z = x4 − y4. Для обеих из них начало координат O(0, 0) критическая точка, в которой частные производные второго порядка, а, значит, и определители D(O), равны нулю. Однако первая из этих функций имеет, очевидно, в точке O строгий ми-

нимум, а вторая экстремума не имеет, так как она меняет знак в любой окрестности начала координат.

Результатом проведенных выше исследований является следующая

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция двух переменных f(M)

дважды непрерывно дифференцируема в окрестности своей критической точки

M0. Тогда в

этой точке функция имеет строгий экстремум, если

fxx′′

(M0) fxy′′ (M0)

åñëè fxx′′

(M0

> 0, åñëè æå fxx′′ (M0) < 0, òî

а именно, M0 точка строгого минимума,

)

D(M0) =

fxy′′

(M0) fyy′′ (M0)

> 0,

в точке M0 функция имеет строгий максимум. В случае

D(M0)

< 0

функция не имеет

экстремума в критической точке M0.

Пример. Исследовать на экстремум функцию z = x ln x2 + y2 .

Решение.

Найдем частные производные данной

функции:

)

(

zx′ = ln (x2 + y2) +

2x2

, zy′ =

2xy

x2 + y2

Критические точки функции мы определим из системы уравнений

ln x2 + y2

2x2

= 0,

x2 + y2

(

)

2xy

x2 + y2

Из второго уравнения этой

системы следует, что

x = 0

èëè

y = 0.

Ïðè

x = 0

из первого

уравнения мы находим y = ±1 и, таким образом, в этом случае мы отыскали две критические

точки функции M1(0, 1) è M2(0, −1). Аналогично при y = 0 найдем еще две критические точки M3(e−1, 0) è M4(−e−1, 0). Исследуем на экстремум каждую из критических точек. Найдем частные производные второго порядка функции:

(

)

2x2

′

2x(x2 + y2) x2 2x 2x(x2 + 3y2)

′

+ 2 ·

(x2 + y−2)2

zxx′′ = (ln x2 + y2

+ x2 + y2 )x

= x2 + y2

(x2

+ y2)2

(

)

xy′′

= ln x2

+ y2

+ 2x2

−2y

2y(y − x )

(

x2 + y2 )y

x2 + y2

· (x2 + y2)2

(x2 + y2)2

yy′′

2xy

′

= 2x

x + y − y · 2y

2x(x − y )

(x2 + y2 )y

(x2 + y2)2

Поскольку

zxx′′ (M1,2) = zyy′′ (M1,2) = 0, zxy′′ (M1,2) = ±2,

òî

±2

Аналогично,

и, следовательно, функция не имеет экстремума

в точках

D(M1,2) =

2 0

= −4 < 0

M2.

z′′

3,4

) = z′′ (M

) = 2e, z′′

) = 0

3,4

è		±
	2e	±
D(M3,4) =	2e	0	= 4e2	> 0.
D(M3,4) =	±0	2e	= 4e2	> 0.

Таким образом, в точках M3 è M4 экстремум есть строгого минимума, причем zmin = z(M3) = −2e−1;точка строгого максимума и zmax = z(M4) = 2e−1

и коль скоро zxx′′ (M3) > 0, òî M3 точка аналогично, поскольку zxx′′ (M4) < 0, òî M4

	P4	P1	0.5
			0
			-0.5 z
		P3	1
-1	P2	P3
-0.5	P2		0 y
-0.5	0		0 y
x	0
x	0.5	-1
	0.5

		1

На изображенной поверхности точки P1, P2, P3, P4 соответствуют критическим точкам M1,

M2, M3, M4 соответственно.

Аналогично формулируется достаточное условие экстремума и для функции большего числа

переменных. Например, если функция трех переменных f(x, y, z) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности своей критической точки M0, то в этой точке она будет иметь строгий минимум, если все главные миноры матрицы

fxx′′ (M0) fxy′′ (M0) fxz′′ (M0)

fxy′′ (M0) fyy′′ (M0)

fyz′′ (M0)

fxz′′ (M0) fyz′′ (M0)

fzz′′ (M0)

т. е. определители

D1(M0)=fxx′′ (M0), D2

(M0)=

fxx′′ (M0) fxy′′ (M0)

, D3(M0)=

fxx′′ (M0) fxy′′ (M0) fxz′′ (M0)

fxy′′ (M0) fyy′′ (M0) fyz′′ (M0)

положительны. Если же D1

0, D3(M0)

(M0) < 0, D2(M0) >

< 0, òî M0 точка строгого

fxy′′ (M0) fyy′′ (M0)

xz′′

yz′′

zz′′

) f

(M )

максимума данной функции.

Ÿ6. Условный экстремум функции двух переменных. Наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутом ограниченном множестве

Пусть функции двух переменных f(x, y) è φ(x, y) определены в некоторой окрестности точки M0(x0, y0) è M0 Dφ, ãäå Dφ множество точек на плоскости, удовлетворяющих уравнению

φ(x, y) = 0,

(1)

которое мы в дальнейшем будем называть уравнением связи èëè условием.

Локальный экстремум в точке M0 функции f(x, y), рассматриваемой на множестве Dφ, называется условным (относительным ) локальным экстремумом.

Если уравнение (1) определяет на плоскости некоторую линию L, то в пространстве ему соответствует цилиндр с направляющей L и образующей, параллельной оси Oz. Поверхность с уравнением z = f(x, y) пересекается с цилиндром по некоторой линии L1 в пространстве. Пусть точке M0 условного экстремума функции f(x, y) соответствует точка M1 на линии L1.

Тогда все точки линии L1, достаточно близкие к точке M1, располагаются не ниже (не выше) этой точки, если M0 точка условного минимума (максимума) данной функции.

max	max	max
	L1	min
	min	min
	min

z= f Hx, yL

x	y

Åñëè уравнение связи (1) удается разрешить (возможно и неоднозначно ) относительно одной из переменных, то, подставив найденное выражение для этой переменной в функцию f(x, y), мы сведем тем самым задачу на условный экстремум функции двух переменных к

задаче на экстремум функции одной переменной.

Пример 1. Найти экстремумы функции z = cos2 x + cos2 y, если переменные x, y связаны

условием x − y = π4 .		π
Решение. Из уравнения связи y = x −		4	и, следовательно,
					π
	z = cos2 x + cos2			(x −		).
	z = cos2 x + cos2			(x −	4	).
Òàê êàê							4 )	=−sin 2x + cos 2x,
z′ =2 cos x(−sin x)+2 cos(x − 4 )(−sin(x − 4 ))=−sin 2x−sin 2(x −							4 )	=−sin 2x + cos 2x,
	π		π				π

то критические точки этой функции находятся из уравнения

−sin 2x + cos 2x = 0,

корнями которого являются числа

π πn

xn = 8 + 2 , n Z.

Поскольку z′′ = −2 cos 2x − 2 sin 2x, òî

z′′(xn) = −2 cos (π4 + πn) − 2 sin (π4 + πn) = {

√

2√2, åñëè n = 2k − 1; −2 2, åñëè n = 2k

и, следовательно, воспользовавшись достаточным признаком экстремума II для функции одной переменной (глава V, Ÿ6, пункт 1, теорема 4), мы видим, что функция имеет строгий ми-

нимум в точках

x2k−1

π(2k−1)

, k Z

и строгий максимум в точках

x2k =

+ πk, k Z.

= 8 +

Таким образом, исходная функция имеет строгий условный минимум в точках

M2k−1 (

π(2k

), k Z,

−

, −

−

√

причем во всех этих точках zmin = z(M2k−1) = 1 −

, и, соответственно, строгий условный

максимум в точках

+ πk

, k

(8 + πk, −

√

)

с максимальным значением zmax = z(M2k) = 1 +

, k Z.

дважды непрерывно дифференцируемы

Изложим теперь общий метод исследования функции на условный экстремум, который на-

зывается методом множителей Лагранжа.

Для этого найдем сначала необходимое условие относительного экстремума. Пусть

M0(x0, y0) точка условного экстремума дифференцируемой в этой точки функции f(x, y) при наличии связи (1), причем будем предполагать, что функция φ(x, y) непрерывно дифферен-

цируема в некоторой окрестности точки M0 и по крайней мере одна из частных производных φ′x(M0) èëè φ′y(M0) отлична от нуля, для определенности будем считать, что φ′y(M0) ̸= 0.

Тогда уравнение (1) определяет неявную, дифференцируемую в точке x0 функцию y = y(x), график которой проходит через точку M0. По правилу дифференцирования неявной функции

(формула (10), Ÿ2)

y′(x0) = −φ′x′ (M0). (2)

φy(M0)

Поскольку функция f(x, y(x)) имеет экстремум в точке x0, то в этой точке ее производная

обращается в нуль. Воспользовавшись правилом дифференцирования композиции функций и формулой (2), получим:

fx′ (x0, y(x0))+fy′ (x0, y(x0))y′(x0)=0 fx′ (M0)−fy′ (M0)φ′x′ (M0) =0 fx′′ (M0) = fy′′ (M0) . φy(M0) φx(M0) φy(M0)

Следовательно, векторы (fx′ (M0), fy′ (M0)) è (φ′x(M0), φ′y(M0)) коллинеарны и, значит, существует действительное число λ0 такое, что

{ fx′ (M0) + λ0φ′x(M0) = 0, fy′ (M0) + λ0φ′y(M0) = 0.

Таким образом, если при сделанных выше предположениях на функции f(x, y) è φ(x, y) в точке M = M0 функция f(x, y) имеет условный экстремум, то при некотором действительном λ = λ0 координаты этой точки необходимо удовлетворяют системе уравнений

		fx′ (M) + λφx′		(M) = 0,
Пусть теперь точка (M0, λ0)	fy′		(M) + λφy′	(M) = 0,	(3)
Пусть теперь точка (M0, λ0)			φ(M) = 0.
			φ(M) = 0.

является решением системы (3). Непосредственной проверкой несложно убедиться в том, что эта точка является критической для функции трех переменных

L(x, y, λ) = f(x, y) + λφ(x, y),

которая называется функцией Лагранжа. Естественно попытаться использовать второй дифференциал функции Лагранжа в точке (M0, λ0) для исследования функции f(x, y) на условный экстремум в точке M0. Пусть функции f(x, y) è φ(x, y)

в окрестности точки M0. Как и выше мы предполагаем, что уравнение связи (1) определяет

одну из переменных как неявную функцию другой, например, y = y(x) вблизи точки x0. Поскольку

f1(x) = f(x, y(x)) = L(x, y(x), λ),

то, учитывая, что ввиду (3) df1(x0) = dL(M0, λ0) = 0 и из уравнения связи

φx′ (M0)dx + φy′ (M0)dy = 0,

(4)

получим:

d2f1(x0) = d2L(M0, λ0) = L′′xx(M0, λ0)dx2 + 2L′′xy(M0, λ0)dxdy + L′′yy(M0, λ0)dy2, (5)

где дифференциалы dx è dy связаны линейным равенством (4). Следовательно, если второй

дифференциал (5) функции Лагранжа с учетом линейной связи (4) между дифференциалами

независимых переменных сохраняет знак, если dx è dy не равны нулю одновременно, то M0точка строгого условного экстремума функции f(x, y), причем, если d2L(M0, λ0) > 0, то в точке M0 функция имеет строгий условный минимум, а при d2L(M0, λ0) < 0 строгий

условный максимум.

Преимуществом описанного метода является тот факт, что в этом случае при исследовании

функции на условный экстремум нет необходимости в явном представлении одной из пере-

менных через другую из уравнения связи , которого, вообще говоря, может и не существовать.

Пример 2. Точки A è B расположены в различных оптических средах, отделенных одна от другой плоскостью A1B1. Скорость распространения света в первой среде равна v1, во второй v2. Пользуясь принципом Ферма, согласно которому световой луч распространяется вдоль той линии AOB, для прохождения которой требуется минимум времени, найти

закон преломления света.

Решение. Обозначим через α è β, соответственно, углы падения и преломления светового луча.

O Β

Из треугольников AOA1 è BOB1 следует, что расстояния от точек A è B до точки O на отрезке

A1B1 равны, соответственно, |AO| =

è |OB| =

. Тогда общее время прохождения

cos α

cos β

светового луча равно

t =

(6)

cos α

v2 cos β

Кроме того,

|A1O| + |OB1| = |A1B1| = c a tg α + b tg β − c = 0.

(7)

Таким образом, мы имеем задачу на условный экстремум функции (6) при условии (7). Здесь функция Лагранжа имеет вид:

L(α, β, λ) =	a	+	b	+ λ(a tg α + b tg β − c).

	v1 cos α		v2 cos β

В критической точке этой функции необходимо Lα′ (α, β, λ) = 0, Lβ′

(α, β, λ) = 0 и, следова-

тельно, так как

L′

(α, β, λ) =

a sin α

λa

, L′

(α, β, λ) =

b sin β

λb

v1 cos2 α

cos2 α

v1 cos2 β

cos2 β

òî

a sin α

λa

= 0,

v1 cos2 α

cos2 α

b sin β

λb

= 0.

cos2 β

v1 cos2 β

Исключая из этой системы

множитель Лагранжа

λ, мы и получим закон преломления света :

sin α

sin β

Замечание. Аналогично мы можем исследовать на условный экстремум функцию большего числа переменных при большем количестве связей. Подробности такого исследования можно найти в любом из учебников по математическому анализу, имеющихся в списке литературы.

Обсудим теперь как находить глобальные экстремумы, т. е. наименьшее и наибольшее зна-

чения непрерывной в замкнутом ограниченном множестве D на плоскости функции двух пере-

менных f(x, y), которые мы будем обозначать через min f(x, y) è	max f(x, y), соответ-
(x, y) D	(x, y) D

ственно. Заметим, прежде всего, что по теореме Вейерштрасса (Ÿ1, теорема 2) глобальные экстремумы существуют. Если какой-то из этих экстремумов достигается во внутренней точке

множества D, то необходимо эта точка является критической для данной функции. Отсюда

следует, что для нахождения глобальных экстремумов необходимо определить все критиче- ские точки функции, попадающие в множество D и вычислить значения функции в них,

найти наименьшее и наибольшее значения функции на границе множества D (т. е. решить

задачу на условный экстремум ) и выбрать среди всех полученных значений минимальное и

максимальное.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z =x2e−y в круге x2+y2 ≤1.

Решение. Найдем сначала критические точки функции. Так как zx′ = 2xe−y, zy′ = −x2e−y,

то они находятся из системы	{	2xe−y = 0,

		−x2e−y = 0,

решениями которой в данном круге являются точки M1(0, y), y [−1, 1]. В каждой из этих

точек z(M1) = 0.

Осталось найти наименьшее и наибольшее значения этой функции на окружности x2+y2 =1. Функция Лагранжа этой задачи на условный экстремум имеет вид:

L(x, y, λ) = x2e−y + λ(x2 + y2 − 1).

Поскольку

L′x(x, y, λ) = 2xe−y + 2λx, L′y(x, y, λ) = −x2e−y + 2λy, L′λ(x, y, λ) = x2 + y2 − 1,

то для нахождения критических точек функции Лагранжа следует решить систему

		2xe−y + 2λx = 0,
		x2e−y + 2λy = 0,
		− x2 + y2 − 1 = 0.
Исключив из первых двух			λ,
	уравнений этой системы параметр			мы получим уравнение

x(2y + x2) = 0,

решая которое вместе с последним уравнением системы, мы найдем точки (0, ±1), содержа-

щиеся среди найденных выше критических точек данной функции, и точки

( √ (√ ) √ )

M2,3 ± 2 2 − 1 , 1 − 2 ,

для которых z(M2,3) = 2	(√2 − 1)e√2−1. Следовательно,		2,3	(	√	√2	1	.
x2+y2≤1 z(x, y) = z(M1) = 0, x2+y2≤1 z(x, y) =		z(M	2,3	(	2 − 1)e		−	.
min	max	z(M		) = 2
		-1
		-0.5
	P2	P3	0	y
			0.5
				1