ÓÄÊ 517.2(035.5)+517.3(035.5)+517.9(035.5)

Автор: П.Г. Ласый

Рецензент:

А.К. Деменчук, ведущий научный сотрудник Института математики НАН Беларуси, кандидат физико-математических наук, доцент

В пособии изложен теоретический материал по курсу математики, читаемом во втором семестре на энергетическом факультете БНТУ. В нем представлены следующие разде-

ëû: "Неопределенный интеграл\, "Определенный интеграл\, "Функции многих переменных\, "Дифференциальные уравнения\. Изложение хорошо проиллюстрировано примерами и графиками, построенными в среде компьютерной алгебры Mathematica. Данное пособие может

служить хорошим подспорьем как студентам при их подготовке к практическим занятиям и экзамену, так и преподавателям, читающим курс математики на энергетическом факультете БНТУ.

Белорусский национальный технический университет Пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел. (017)292-82-73

E-mail: kafvm2@bntu.by http://www.bntu.by/ef-vm2 Регистрационный • БНТУ/ЭФ41-11.2013

c Ласый П.Г., 2013c БНТУ, 2013

3

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ГЛАВА VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Ÿ1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

Существование неопределенного интеграла. Таблица интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ÿ2. Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. Подстановка (замена переменной) в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ÿ3. Интегрирование рациональных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Ÿ4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции . . 17 Ÿ5. Интегрирование некоторых иррациональностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ГЛАВА VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ÿ1. Определенный интеграл, его существование и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ÿ2. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

Простейшие приложения определенного интеграла в физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ÿ3. Методы вычисления определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1. Подстановка (замена переменной) в определенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. Интегрирование по частям в определенном интеграле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Ÿ4. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1. Несобственный интеграл на бесконечном промежутке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 2. Несобственный интеграл неограниченной на конечном промежутке функции . . . . . . 41

Ÿ5. Геометрические приложения определенного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 1. Вычисление длины линии на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2. Вычисление площади фигуры на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3. Вычисление объема тела в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Ÿ6. Приближенное вычисление определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Ÿ1. Функция двух переменных, ее предел и непрерывность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 Ÿ2. Частные производные функции двух переменных, ее дифференцируемость

и дифференциал. Частные производные композиции функций многих переменных и неявно заданной функции. О дифференцировании функции

двух переменных под знаком интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 Ÿ3. Частные производные и дифференциалы высших порядков

функции двух переменных. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Ÿ4. Касательная плоскость и нормальная прямая к поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Ÿ5. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Ÿ6. Условный экстремум функции двух переменных. Наименьшее и наибольшее

значения функции в замкнутом ограниченном множестве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Ÿ1. Дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1. Уравнение с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5. Уравнение в полных дифференциалах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Ÿ2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

Ÿ3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Ÿ4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . 112

1. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными

4

коэффициентами и правой частью специального вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Ÿ5. О системах дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Ÿ6. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие является второй частью электронного учебника по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ. Изложенный в нем материал полностью соответствует программе курса математики, читаемом во втором семестре на энергетическом факультете.

При написании этого учебника я, не претендуя на безупречность, стремился к полноте и строгости в определениях, формулировках и доказательствах утверждений. Полагаю, что по этой причине учебник не стал перегруженным, так как я старался выбирать короткие и содержательные доказательства, которые позволяют оставаться в пределах объема отведенных на курс учебных часов. Опущенные здесь громоздкие доказательства некоторых утверждений можно найти в учебниках, список которых помещен в конце данного пособия. Имеющиеся в каждом параграфе не всегда тривиальные примеры и достаточное количество графиков дополняют и поясняют изложение.

Текст лекций подготовлен мной с помощью программы набора и верстки сложных текстов MiKTEX. Все имеющиеся в тексте графики являются точными, они построены в среде компьютерной алгебры Mathematica.

В тексте имеются многочисленные ссылки на первую часть электронного учебника автора

"Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (I семестр)\, состоящую из пяти глав (I V).