55

y b0-b

z 0

0 a

-a x

3)y2 = 2px параболический цилиндр.

x

y 0

0

z 0

Аналогичные уравнения имеют цилиндры второго порядка, образующие которых параллельны осям Ox è Oy, а направляющие расположены в координатных плоскостях Oyz è Oxz, соответственно.

5. Конус второго порядка

представляет собой поверхность, которая может быть получена перемещением прямой (образующей), имеющей неподвижную точку, которая называется вершиной конуса, вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей вершину.

Найдем уравнение конуса, вершина которого совпадает с началом координат, а направляющей служит эллипс с уравнением

расположенный в плоскости z = c, c > 0.

56

Пусть M(x, y, z) произвольная точка конуса. Обозначим через M1(x1, y1, z1) точку пересечения образующей, проходящей через точку M, с направляющей. Координаты точки M1

Подставив найденные выражения для x1, y1 в уравнение эллипса, получим после несложных

преобразований уравнение конуса второго порядка:

Координатная ось Oz называется осью конуса. Åñëè a = b, то конус является круговым. Конусы второго порядка с осями Ox è Oy имеют, соответственно, уравнения:

Покажем, что вид конуса второго порядка не зависит от выбора направляющей. Дейст-

вительно, если в качестве направляющей взять гиперболу

находящуюся в плоскости z = c, то после рассуждений, аналогичных предыдущим, получим

т. е. конус с осью Ox. Если же за направляющую мы выберем в плоскости z = c параболу с

уравнением

y2 = 2px, p > 0,

то построенный таким образом конус имеет уравнение cy2 = 2pxz.

Наблюдая со стороны положительной полуоси Oy, повернем систему координат Oxz вокруг оси Oy íà óãîë 45◦ против часовой стрелки. Тогда произведение xz в системе координат Ox1z1

57

запишется как 12 (z12 − x21) (Ÿ4, пункт 4, замечание). Следовательно, в новой системе координат Ox1yz1 найденное уравнение поверхности приобретает вид

и, стало быть, эта поверхность является конусом с осью Oz1.

Как следует из уравнения конуса и его построения, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, сечениями конуса плоскостями, параллельными его оси, являются гиперболы, и, наконец, в сечениях конуса плоскостями, параллельными образующей, располагаются параболы.

6. О приведении уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

По аналогии с уравнением кривой второго порядка (Ÿ4, пункт 4), уравнение поверхности второго порядка, не содержащее произведений координат, мы можем за счет выделения полных квадратов привести к уравнению одной из рассмотренных в пунктах 1 5 поверхностей. Следовательно, мы получим одну из поверхностей второго порядка в смещенной с помощью параллельного переноса системе координат. Исключение, правда, составляет случай, когда уравнение поверхности содержит полный квадрат и два линейных слагаемых относительно других координат. Такая поверхность представляет собой параболический цилиндр в смещенной с помощью параллельного переноса и повернутой затем вокруг одной из координатных осей системе координат.

Пример. Привести уравнение второго порядка

4y2 − z2 − 8x − 8y − 2z + 27 = 0

к каноническому виду, назвать и построить поверхность.

Решение. После выделения полных квадратов по переменным y, z получим:

4(y − 1)2 − (z + 1)2 − 8(x − 3) = 0.

Переписав это уравнение в виде

(y − 1)2 − (z + 1)2 = 2(x − 3), 1 4

мы замечаем, что в смещенной с помощью параллельного переноса в точку O1(3, 1, −1) системе координат, эта поверхность представляет собой гиперболический параболоид с параметрами p = 1, q = 4.

z

-5-3-1 01 3

4

2 x

0 -1

0 1

2

y

3