51
|
-a x |
|
|
0 |
a |
|
|
c |
|
|
0 z |
|
|
-c |
|
0 |
b |
|
|
|
-b |
y |
|
Очевидно, сечениями эллипсоида плоскостями параллельными координатным, являются ýë-
липсы.
Замечание. В частном случае, когда a = b = c = R эллипсоид превращается в сферу x2 + y2 + z2 = R2
радиуса R с центром в начале координат.
2.Гиперболоиды
a)Однополостный гиперболоид.
Вращая гиперболу
y2 z2
b2 − c2 = 1
вокруг оси Oz, получим однополостный гиперболоид вращения с уравнением
x2 + y2 |
− |
z2 |
= 1. |
b2 |
c2 |
После линейной деформации вдоль оси Ox эта поверхность превращается в однополостный
гиперболоид общего вида с осью Oz :
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 1. |
a2 |
b2 |
c2 |
x
y b -a
0 a
0
-b
c
z 0
-c
Аналогично, уравнения однополостных гиперболоидов с осями Ox è Oy имеют, соответ-
ственно, вид: |
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|
− |
+ |
+ |
= 1, |
− |
+ |
= 1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
a2 |
b2 |
c2 |
a2 |
b2 |
c2 |
плоскостями, перпендикулярными его оси, являются эллипсы, а в сечениях плоскостями, перпендикулярными другим координатным осям, располагаются гиперболы.
52
b) Двухполостный гиперболоид.
Поверхность, полученная вращением вокруг оси Oz гиперболы
− |
y2 |
+ |
z2 |
= 1, |
b2 |
c2 |
вершины которой расположены на оси вращения, называется двухполостным гиперболоидом вращения. Запишем уравнение двухполостного гиперболоида:
x2 + y2 |
− |
z2 |
= −1. |
b2 |
c2 |
Линейная деформация двухполостного гиперболоида вращения вдоль оси Ox преобразует его
â двухполостный гиперболоид общего вида с осью |
Oz. Уравнение этой поверхности имеет вид: |
||
x2 |
y2 |
z2 |
|
a2 + b2 − c2 = −1. |
|||
|
|
y |
|
|
-b |
0 |
b |
-a |
|
|
|
x a0 |
|
|
|
c z 0
-c
Двухполостные гиперболоиды с осями Ox è Oy имеют, соответственно, уравнения:
− |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= −1, |
x2 |
− |
y2 |
+ |
z2 |
= −1. |
a2 |
b2 |
c2 |
a2 |
b2 |
c2 |
Как и в случае однополостного гиперболоида, сечениями двухполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатным, являются эллипсы и гиперболы.
3. Параболоиды
a) Эллиптический параболоид.
Вращение параболы вокруг ее оси приводит к поверхности, которая называется параболоидом вращения. В частности, если параболу с каноническим уравнением y2 = 2pz вращать
вокруг оси Oz, то, как следует из пункта 0, уравнение полученного параболоида вращения
имеет вид:
x2 + y2
p
= 2z.
Линейная деформация параболоида вращения вдоль оси Oy превращает его в эллиптический
параболоид с уравнением:
x2 + y2 = 2z. p q
53
x 0 
z
0
0 y
Положительные числа p, q называются параметрами параболоида , точка O(0, 0) вершина,
îñü Oz ось эллиптического параболоида.
Уравнения эллиптических параболоидов с осями Ox è Oy имеют, соответственно, вид:
y2 |
z2 |
x2 |
z2 |
||||
|
+ |
|
= 2x, |
|
+ |
|
= 2y. |
|
|
|
|
||||
p |
q |
p |
q |
||||
Как следует из уравнения эллиптического параболоида, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, а в сечениях плоскостями, параллельными
другим координатным, находятся параболы.
Замечание. Изменение знака в правой части уравнения эллиптического параболоида приводит к отражению этой поверхности относительно координатной плоскости, перпендикулярной оси параболоида.
b) Гиперболический параболоид.
Будем поступательно перемещать образующую параболу y2 = −2qz, q > 0,
расположенную в плоскости Oyz, параллельно самой себе вдоль направляющей параболы x2 = 2pz, p > 0,
находящейся в плоскости Oxz. Полученная таким образом поверхность называется гипер-
болическим параболоидом èëè седловидной поверхностью. y
0
0
z
0
x
Найдем уравнение этой поверхности. Пусть M(x, y, z) произвольная точка гиперболического
параболоида. По его построению точка M принадлежит параболе с вершиной в точке (x, 0, x2p2 ), параллельной параболе y2 = −2qz. Так как координаты произвольной точки M1(x, y1, z1) этой параболы удовлетворяют уравнению
|
x2 |
|
y12 = −2q (z1 − |
|
), |
2p |
||
54
то, подставив в него координаты точки M, мы и получим после несложных преобразований
уравнение гиперболического параболоида :
x2 − y2 = 2z. p q
Здесь, как и для эллиптического параболоида, числа p, q параметры гиперболического пара-
болоида, точка O(0, 0) è îñü Oz соответственно вершина и ось гиперболического параболоида.
Замечание 1. Седловидная поверхность может быть также получена перемещением параболы x2 = 2pz параллельно самой себе вдоль параболы y2 = −2qz.
Судя по уравнению гиперболического параболоида, в сечениях этой поверхности плоскостями z = h > 0 находятся гиперболы, действительные оси которых параллельны координатной
îñè Ox. Аналогично, плоскости z = h < 0 пересекают данную поверхность по гиперболам с
действительными осями, параллельными оси Oy. Наконец, плоскость Oxy пересекает гиперболический параболоид по двум прямым √qx ± √py = 0.
Гиперболические параболоиды, осями которых служат координатные оси Ox è Oy, имеют,
соответственно, уравнения: |
|
z2 |
z2 |
x2 |
||||
|
y2 |
|
||||||
|
|
− |
|
= 2x, |
|
− |
|
= 2y. |
|
p |
q |
p |
q |
||||
Замечание 2. Отразив седловидную поверхность относительно координатной плоскости, перпендикулярной ее оси, получим гиперболический параболоид, уравнение которого отли- чается знаком правой части от уравнения исходной поверхности.
4. Цилиндры второго порядка
Цилиндром второго порядка называется поверхность, полученная перемещением некоторой прямой (образующей) вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей образующую, параллельно фиксированному ненулевому вектору в пространстве.
Ограничимся случаем, когда направляющая расположена в одной из координатных плоскостей, а образующая перпендикулярна этой плоскости. Возьмем для определенности в плоско-
ñòè Oxy кривую второго порядка и будем перемещать прямую, параллельную оси Oz, вдоль этой кривой. Так как проекцией любой точки M(x, y, z) полученного таким образом цилиндра на плоскость Oxy является точка N(x, y), принадлежащая кривой второго порядка, то координаты точки M удовлетворяют уравнению этой кривой. Следовательно, уравнением по-
строенного цилиндра является уравнение его направляющей.
Перечислим теперь цилиндры второго порядка.
|
x2 |
y2 |
|
|
1) |
a2 |
+ b2 |
= 1 эллиптический цилиндр. |
|
|
|
|
y |
|
|
|
-b |
0 |
b |
|
|
|
-a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
|
|
|
|
a |
z 0 
В частности, при a = b мы получим круговой цилиндр.