47

y

D

Замечание. Если бы при выборе системы координат мы направили ее оси в противоположные стороны, то каноническое уравнение параболы приняло бы вид:

y2 = −2px.

Аналогично, уравнения

x2 = ±2py

также определяют параболы, фокусы которых расположены на оси Oy, а директрисы параллельны оси Ox.

4. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Покажем, что общее уравнение кривой второго порядка на плоскости, кроме случаев вырождения, определяет одну из линий эллипс, гиперболу или параболу.

Выясним сначала, как преобразуются координаты точки на плоскости при параллельном переносе системы координат. Предположим, что осуществлен параллельный перенос системы

Òàê êàê O1M = OM − OO1, то новые и старые координаты точки на плоскости связаны

линейными соотношениями: {

x1 = x − x0, y1 = y − y0.

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка на плоскости в частном случае, когда оно не содержит произведения координат xy :

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

причем коэффициенты A è C не равны одновременно нулю. Здесь возможны три случая.

a) AC > 0. Очевидно, всегда можно считать, что A > 0, C > 0.

Выделяя в уравнении второго порядка полные квадраты по переменным x è y, получим:

48

ãäå x0, y0, F1 некоторые действительные числа. Ясно, что при F1 > 0 ни одна из точек плоскости не удовлетворяет этому уравнению. Если F1 = 0, то единственным решением полученного уравнения является точка O1(x0, y0). Наконец, при F1 < 0 уравнение приводится к

âèäó

(x − x0)2 + (y − y0)2 = 1 a2 b2

и, следовательно, в смещенной с помощью параллельного переноса в точку O1(x0, y0) системе координат оно является каноническим уравнением эллипса:

x21 + y12 = 1.

a2 b2

b)AC < 0. Будем считать для определенности, что A > 0, C < 0.

Âэтом случае исходное уравнение второго порядка также приводится к виду (1). При F1 = 0

оно определяет пару прямых, проходящих, через точку O1(x0, y0) :

√√

A(x − x0) ± −C(y − y0) = 0.

Åñëè æå F1 ̸=,0то полученное уравнение мы можем преобразовать к виду

(x − x0)2 − (y − y0)2 = ±1 a2 b2

и, стало быть, после параллельного переноса системы координат в точку O1(x0, y0) последнее уравнение является каноническим уравнением гиперболы:

x21 − y12 = ±1.

a2 b2

c) AC = 0. Предположим, например, что C ̸=.0

Выделяя в данном уравнении второго порядка полный квадрат по переменной y, получим:

C(y − y0)2 + Dx + F1 = 0.

Если в этом уравнении D = 0, òî ïðè CF1 > 0 множество решений этого уравнения пусто, а

ïðè CF1 ≤ 0 полученное уравнение определяет пару прямых, параллельных оси Ox :

√

y − y0 = ± −FC1 .

Åñëè æå D ̸=,0то мы можем привести уравнение к виду:

(y − y0)2 = ±2p(x − x0),

т. е. после параллельного переноса системы координат в точку O1(x0, y0), мы получим тем самым каноническое уравнение параболы:

y12 = ±2px1.

Аналогично, если в исходном уравнении второго порядка AC = 0 è A ̸= ,0то, не принимая

во внимание вырожденные случаи, это уравнение мы также можем привести к каноническому

уравнению параболы:

x21 = ±2py1.

Пример 1. Привести уравнение второго порядка к каноническому виду, назвать и пост-

роить кривую:

4x2 + y2 + 8x − 4y + 4 = 0.

Решение. Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получим:

4(x + 1)2 + (y − 2)2 − 4 = 0 (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1, 12 22

что представляет собой каноническое уравнение эллипса в смещенной в точку O1(−1, 2) ñè-

√

стеме координат. Для этого эллипса a = 1, b = 2, c = 3 и, следовательно, фокусы находятся

√ √ √

в точках F1(−1, 2 − 3), F2(−1, 2 + 3). Эксцентриситет эллипса равен ε = 23 .

49

Решение. Фокус параболы находится в точке F (0, 2), следовательно, уравнение параболы с

учетом смещения имеет вид:

(y − 2)2 = −2p(x − 3).

Здесь p2 = 3 = p = 6 и, стало быть,

(y − 2)2 = −12(x − 3)

каноническое уравнение параболы.

Замечание. Для приведения к каноническому виду уравнения второго порядка, содержащего произведение координат xy, необходимо кроме параллельного переноса выполнить

еще и поворот системы координат на определенный угол. Например, для равносторонней ги-

перболы xy = 1 следует повернуть систему координат Oxy вокруг ее начала на угол 45◦ против часовой стрелки. Поскольку вершины гиперболы находятся на расстоянии √2 от начала ко-

ординат, то в новой системе координат Ox1y1 каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

F (y, z) = 0, вращается вокруг оси Oz.

Пусть M(x, y, z) произвольная точка на поверхности вращения. Перегоним ее по окружности, расположенной в сечении поверхности плоскостью, проходящей через данную точку

Найдем теперь уравнения поверхностей, которые получаются вращением кривых второго порядка с последующей линейной деформацией этих поверхностей.

1. Эллипсоид

Возьмем в плоскости Oyz эллипс

и будем вращать его вокруг оси Oz. В результате, как следует из предыдущего пункта, мы получим поверхность с уравнением

которая называется эллипсоидом вращения . Заменив в найденном уравнении координату x íà

Положительные числа a, b, c называются полуосями эллипсоида.