43

Òàê êàê L2 L, то направляющим вектором прямой L2 является нормальный вектор прямой L, следовательно,

x + 2 = y − 1 каноническое уравнение прямой L2.

1 3

Из уравнения прямой L находим y = −13 x + 53 , следовательно, kL = −13 . Тогда угловые коэф- фициенты прямых L3 è L4 удовлетворяют уравнению

L3 : y − 1 = −7(x + 2) y = −7x − 13;

L4 : y − 1 = 1(x + 2) y = x + 3.

Ÿ4. Кривые второго порядка на плоскости

В предыдущих трех параграфах нами были изучены Мы показали, что в декартовой системе

координат они определяются алгебраическими уравнениями первой степени, т. е. линейными уравнениями. Предметом нашего исследования в этом параграфе будут являться рого порядка, т. е. линии на плоскости, уравнения которых в декартовой системе координат

Oxy имеют вид:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

ãäå A, B, C, D, E, F действительные числа. Мы убедимся в том, что, за исключением случаев

вырождения данное уравнение определяет одну из трех замечательных линий эллипс, гиперболу или параболу. Приведем сначала геометрическое определение каждой из этих линий и найдем их канонические уравнения.

1. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов эллипса ) есть величина постоянная.

Найдем каноническое уравнение эллипса. Обозначим через 2c фокусное расстояние, т. е. расстояние между фокусами, а через 2a постоянную сумму расстояний от точек эллипса до фокусов. Из неравенства треугольника следует, что a > c. Выберем декартову систему координат на плоскости следующим образом: ось Ox направим через фокусы, а начало координат выберем посередине между ними.

Пусть M(x, y) произвольная точка эллипса. По определению этой линии,

√√

|F1M| + |F2M| = 2a (x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a.

Упростим последнее уравнение:

44

√

откуда, использовав обозначение b = a2 − c2, мы и получим каноническое уравнение эллипса :

Построим эту линию. Для этого прежде всего заметим, что она симметрична относительно координатных осей и начала координат, так как переменные x è y входят в каноническое урав-

нение в квадратах. Отсюда следует, что эллипс достаточно построить в первой координатной четверти и затем отразить его относительно координатных осей. Из канонического уравнения

Числа a è b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса . Точка O(0, 0)

центр эллипса, точки A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0, −b), B2(0, b) вершины эллипса, отрезок A1A2

большая, B1B2 малая оси эллипса.

Форму эллипса характеризует величина ε = ac , равная отношению фокусного расстояния к длине большой оси. Это число называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, 0 ≤ ε < 1.

ности. В предельном случае, когда ε = 0, полуоси совпадают и эллипс превращается в окружность. Если же ε ≈ 1, òî ab ≈ 0 и эллипс является вытянутым вдоль оси Ox.

F1

-b

2. Гипербола

Определение. Гипербола представляет собой линию на плоскости, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов гиперболы ) есть величина постоянная.

Обозначим и здесь фокусное расстояние через 2c, а через 2a постоянную абсолютную величину разности расстояний от точек гиперболы до фокусов. Для гиперболы a < c, ÷òî

45

следует из неравенства треугольника. Выберем декартову систему координат на плоскости точно также, как и при выводе канонического уравнения эллипса.

По определению гиперболы для произвольной точки M(x, y) этой линии

√√

||F1M| − |F2M|| = 2a | (x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2| = 2a.

Избавляясь от корней в этом уравнении, получим:

(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2).

√

Обозначая здесь b = c2 − a2, получим каноническое уравнение гиперболы:

Как видно из ее уравнения, гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат. Из канонического уравнения гиперболы следует, что в первой четверти

y = ab √x2 − a2, x ≥ a.

Эта функция возрастает, ab √x2 − a2 < ab x ïðè âñåõ x ≥ a è ab √x2 − a2 ≈ ab x при больших x. Это означает, что в первой четверти гипербола, выходя из точки (a, 0) íà îñè Ox, приближается

затем при больших значениях x к прямой y = ab x. Следовательно, гипербола выглядит следующим образом:

y

Прямые y = ±ab x называются асимптотами гиперболы. Точка O(0, 0) центр гипербо-

ëû. Точки A1(−a, 0), A2(a, 0) называются вершинами гиперболы. Ось симметрии гиперболы, действительной осью. Вторая ось симметрии, не имеющая с гиперболой общих точек, называется мнимой осью гиперболы. Числа a è b называ-

ются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Если полуоси равны, то гипербола называется равносторонней (равнобочной ).

Как и для эллипса, определим эксцентриситет гиперболы как отношение половины фокусного расстояния к действительной полуоси:

ε = ac .

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса параболы ) и фиксированной прямой (директрисы параболы ).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Число p > 0 называется ïàðà- Выберем удобную систему координат на плоскости: ось Ox направим через фокус F перпендикулярно директрисе D, а начало координат возьмем посередине между ди-

ректрисой и фокусом.

y

Åñëè M(x, y) произвольная точка параболы, то по определению этой кривой

|MF | = |MN| √(x − p2)2 + y2 = x + p2 .

После возведения в квадрат и очевидных преобразований, получим каноническое уравнение

параболы:

y2 = 2px.

Очевидно, парабола проходит через начало координат и симметрична относительно оси Ox.

Точка O(0, 0) называется вершиной параболы, îñü Ox осью параболы.