33

ГЛАВА III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В этой главе все геометрические объекты мы будем определять и изучать с помощью со-

ответствующих уравнений этих объектов и, следовательно, в принципе геометрия может быть изложена без единого чертежа. И, действительно, все чертежи, которые мы будем использовать, будут служить лишь для визуальной иллюстрации наших рассуждений.

Уравнение поверхности в выбранной декартовой системе координат Oxyz мы будем записывать в виде

F (x, y, z) = 0,

т. е. в виде связи или зависимости между координатами x, y, z произвольной точки поверхно-

ñòè.

Аналогично, уравнение

F (x, y) = 0

определяет некоторую линию (кривую) в системе координат Oxy на плоскости.

Кривая в пространстве может быть задана как пересечение двух поверхностей и, следова-

тельно, она определяется системой из уравнений этих поверхностей:

{

F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0.

Кроме того, кривую на плоскости или в пространстве можно также задать с помощью зависимостей координат произвольной точки этой кривой от некоторого параметра, т. е. с помощью

ãäå t действительный параметр.

Ÿ1. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости

Найдем уравнение плоскости в пространстве с выбранной в нем декартовой системой координат Oxyz. Будем исходить из того, что положение этой плоскости полностью определяется

точкой M0(x0, y0, z0), через которую проходит плоскость и ненулевым вектором n¯(A, B, C), ей перпендикулярным. Вектор n¯ называется нормальным вектором плоскости.

••n

M0

P M

Пусть M(x, y, z) произвольная точка плоскости Π. Тогда вектор n¯ ортогонален вектору M0M и, следовательно,

n¯ · M0M = 0,

или, учитывая, что M0M(x − x0, y − y0, z − z0), запишем в координатах уравнение плоскости

Π :

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

Преобразовав полученное уравнение к виду

Ax + By + Cz + D = 0,

мы получим тем самым общее уравнение плоскости.

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Если в общем уравнении плоскости отсутствует одна из координат , то нормальный вектор n¯ ýòîé

34

плоскости перпендикулярен соответствующей координатной оси и, следовательно, плоскость

расположена параллельно этой координатной оси. z

O y

Научимся теперь находить уравнение плоскости по трем элементам.

1) Плоскость, проходящая через точку, параллельно двум векторам.

Пусть плоскость Π1 проходит через точку M0(x0, y0, z0), параллельно неколлинеарным век-

¯

торам a¯(ax, ay, az) è b(bx, by, bz).

M

••

••a b

P1 M0

Обозначим через M(x, y, z) произвольную точку плоскости Π1. Для точек данной плоскости и

плоскости Π1.

2) Плоскость, проходящая через две точки, параллельно вектору.

Найдем уравнение плоскости Π2, проходящей через две точки M1(x1, y1, z1) è M2(x2, y2, z2), параллельно ненулевому вектору a¯(ax, ay, az). Задача сводится к предыдущей, если положить,

искомое уравнение плоскости Π2.

3) Плоскость, проходящая через три точки.

Если плоскость Π3 проходит через три точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно найти, как и в случае 1), положив,

35

¯

например, M0 = M1, a¯ = M1M2, b = M1M3. Следовательно, уравнение плоскости Π3 можно записать в виде:

Π1 : x − 2y + 3z − 4 = 0,

параллельной вектору a¯(3, −1, 1) и проходящей через точку пересечения плоскости Π1 ñ êî- ординатной осью Oy.

Решение. Из уравнения плоскости Π1 ïðè x = 0, z = 0 находим y = −2. Следовательно, плоскость Π2 проходит через точку M0(0, −2, 0). Кроме того, Π2 Π1, поэтому нормальный вектор n(1, −2, 3) плоскости Π1 параллелен плоскости Π2. Осталось записать искомое уравнение по трем элементам: точке M0 и векторам a¯ è n. Имеем:

Таким образом, общее уравнение плоскости Π2 имеет вид:

x + 8y + 5z + 16 = 0.

Пусть плоскость Π : Ax + By + Cz + D = 0 не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из координатных осей. Тогда, очевидно, все числа A, B, C, D отличны от нуля.

Разделив обе части уравнения плоскости на число D, мы можем записать его в виде: xa + yb + zc = 1.

Числа a, b, c представляют собой величины отрезков, которые плоскость Π отсекает на координатных осях. Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Найдем теперь формулу для вычисления расстояния от точки M0(x0, y0, z0) до плоскости

Π : Ax + By + Cz + D = 0.

M0

••n

M1 P

Обозначим через M(x, y, z) произвольную точку прямой L. Вектор M0M(x − x0, y − y0, z − z0)

¯

l и, следовательно, их координаты пропорциональны, т. е.

Эта двойная пропорция представляет собой канонические уравнения прямой в пространстве.

Заметим, что в канонических уравнениях прямой формально допускается запись нулей в

знаменателях, это означает лишь то, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси или координатной плоскости .

Åñëè прямая проходит через две точки M1(x1, y1, z1) è M2(x2, y2, z2), то в качестве ее на-

правляющего вектора можно взять вектор M1M2(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) и, следовательно, канонические уравнения этой прямой имеют вид:

¯

Коллинеарные векторы M0M è l линейно связаны (глава II, Ÿ1), т. е. существует действительный параметр t такой, что

¯

M0M = tl.

Если точка M перемещается вдоль прямой, параметр t изменяется в пределах от −∞ äî

+∞. Òàê êàê M0M = r¯ − r¯0, ãäå r¯0 = OM0, r¯ = OM радиусы-векторы точек M0 è M соответственно, то последнее уравнение мы можем переписать в виде

¯

r¯ = r¯0 + tl, −∞ < t < +∞.

Это уравнение называется векторным уравнением прямой .

Переходя в полученном векторном уравнении к координатам, запишем параметрические

Прямую в пространстве можно задать также как пересечение двух плоскостей.

P1

P2

L

Система {

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0,

составленная из уравнений этих плоскостей, дает нам общие уравнения прямой в пространстве. Для перехода от общих к каноническим уравнениям прямой, достаточно найти какую-нибудь точку на ней, решив при фиксированном значении одной из координат систему уравнений плоскостей, а также определить направляющий вектор прямой, которым может

39

M2

L2

•

l2

M1

•

l1

L1

нарны. В противном случае данные прямые являются скрещивающимися. Таким образом, äëÿ

того, чтобы выяснить, являются ли две данные непараллельные прямые пересекающимися

òî

ρ(L1, L2) = √3 .

29

Осталось найти уравнение общего перпендикуляра к данным прямым. Заметим, прежде всего, что его направляющим вектором является уже вычисленный нами вектор ¯ ¯ ¯

l = l1 ×l2. Очевидно, указанный перпендикуляр расположен в пересечении двух плоскостей Π1 è Π2, проходящих

40

Ax + By + Cz + D = 0.

L

•n

•

Ψ l

j

P

¯

Очевидно, искомый угол φ связан с углом ψ между направляющим вектором l прямой и

l n,¯ òî L Π. Åñëè æå l n,¯ òî L Π.

Ÿ3. Прямая на плоскости

Для прямой на плоскости наблюдается большее разнообразие ее уравнений, так как на плос-

кости прямая фиксируется точкой, через которую она проходит и, либо вектором ей пер-

пендикулярным (нормальным вектором ), либо вектором ей параллельным (направляющим вектором) и, следовательно, для прямой на плоскости можно записывать как уравнения, характерные для плоскости в пространстве (Ÿ1), так и аналоги уравнений прямой в пространстве (Ÿ2). Перечислим, не повторяя деталей, изложенных в предыдущих двух параграфах, основные уравнения прямой на плоскости и связанные с ними формулы.

Пусть прямая L на плоскости с выбранной в ней системой координат Oxy проходит через точку M0(x0, y0) перпендикулярно ненулевому вектору n¯(A, B).

41

L

••n

M0

Уравнение такой прямой имеет вид:

A(x − x0) + B(y − y0) = 0,

откуда после очевидных преобразований получим уравнение

Ax + By + C = 0,

которое представляет собой общее уравнение прямой на плоскости.

Пусть прямая L отсекает на координатных осях Ox è Oy отрезки величиной a è b соответственно.

Тогда, как и для плоскости, мы можем записать уравнение прямой в отрезках: xa + yb = 1.