17

Линейная система с нулевыми правыми частями, т. е. система AX = O, называется îäíî-

родной.

2. Решение невырожденных линейных систем

Рассмотрим линейную систему n уравнений с n неизвестными и невырожденной основной

матрицей. Такая система называется невырожденной. Рассмотрим два метода решения невырожденных систем.

a) Метод обратной матрицы.

Так как определитель основной матрицы невырожденной системы линейных уравнений отличен от нуля, то решение этой системы мы можем найти как решение матричного линейного уравнения (Ÿ3)

AX = B

по формуле

X = A−1B.

Полученное таким образом решение является единственным. Действительно, пусть X1 è X2

два решения системы. Тогда AX1 = AX2 = B и, следовательно, после умножения слева обеих частей первого из этих равенств на матрицу A−1, получим, что X1 = X2.

x1 = 1, x2 = −2, x3 = 3.

b) Формулы Крамера.

Воспользовавшись представлением обратной матрицы через алгебраические дополнения, получим:

19

Упростим теперь систему, последовательно исключая неизвестные из ее уравнений с помощью элементарных преобразований. Для этого, расширенную матрицу системы

Очевидно, последняя система получена из исходной с помощью тех же элементарных преобразований, какими матрица e e

A приведена к трапециевидной A1 и, следовательно, эта упрощен-

ная система эквивалентна данной.

Рассмотрим два случая, которые здесь возможны.

a) dr+1 ̸=.0Тогда система (2), а, значит, и система (1) несовместны. b) dr+1 = 0. В этом случае имеем совместную систему

b1) r < n. Из последнего, самого короткого, уравнения этой системы мы находим неизвест-

íîå xr, которое линейно выражается через неизвестные xr+1, xr+2, . . . , xn, называемые свободными. Далее из предпоследнего уравнения системы (3), подставив в него полученное выражение для неизвестного xr, мы определяем неизвестное xr−1. Продолжая этот процесс, мы найдем

неизвестные x1, x2, . . . , xr, которые называются базисными, через свободные неизвестные. На свободные неизвестные никаких ограничений нет, поэтому подставляя их произвольные зна- чения xr+1 = c1, xr+2 = c2, . . . , xn = cn−r в полученные выражения для базисных неизвестных,

мы найдем тем самым множество решений системы (1). Таким образом, в этом случае система

имеет бесконечное множество решений.

b2) r = n. Здесь свободных неизвестных нет и система имеет

как все неизвестные однозначно находятся таким же образом, как и в предыдущем пункте. Приведенный алгоритм метода исключения неизвестных позволяет сформулировать крите-

рий совместности линейной системы.

Теорема Кронекера. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

21

Таким образом, для того, чтобы найти матрицу, обратную к данной невырожденной матрице A, достаточно в расширенной матрице (A|E) с помощью элементарных преобразований

над ее строками перегнать матрицу A в единичную E. В результате получим матрицу

(E|A−1).

Решение. Воспользуемся изложенным выше алгоритмом.

Изложенный выше алгоритм нахождения обратной матрицы является более экономичным по сравнению с изложенным в Ÿ3, так как он требует гораздо меньшего объема вычислений. Заметим также, что программирование этого метода также не представляет трудностей.

22

ГЛАВА II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Ÿ1. Векторы и линейные операции над ними

Займемся теперь таким важным как в самой математике, так и в ее многочисленных при-

ложениях, понятием вектора.

Определение. Вектором на плоскости или в пространстве называется отрезок прямой с заданным на нем направлением, т. е. одна из его граничных точек считается начальной, а вторая конечной.

¯

Обозначать векторы мы будем строчными латинскими буквами a,¯ b, c,¯ . . . или через

AB, CD, . . . c указанием начальной и конечной точек.

B

••a

A

Длина отрезка, изображающего вектор a¯, называется его длиной и обозначается через |a¯|.

Вектор с совпадающими начальной и конечной точками называется нуль-вектором. Для него используется обозначение ¯

0.

По определению, два вектора считаются равными, если один из них можно преобразовать в другой с помощью параллельного переноса.

••a

••a

Учитывая приведенное определение, всюду в дальнейшем мы без специальных оговорок

будем перемещать вектор параллельным переносом в любую удобную для нас точку.

¯ ¯

Два вектора a¯ è b называются коллинеарными (обозначение a¯ b), если отрезки их изобра-

жающие параллельны.

Аналогично, векторы a¯ è b называются ортогональными (обозначение a¯ b), если соответствующие отрезки перпендикулярны.

••a

••

b

Три вектора называются компланарными, если после приведения их общему началу, они будут расположены в одной плоскости.

23

¯

Углом между векторами a¯ è b, приведенными к общему началу, называется меньший из двух углов между соответствующими отрезками. Обозначать угол мы будем строчными греческими

которого равна |λ||a¯|, а направление его совпадает с направлением вектора a,¯ åñëè λ > 0 è

Λ••a

••a

В частности, вектор (−1)¯a обозначается через −a¯ и называется вектором, противоположным вектору a¯.

Суммой двух векторов a¯ è b называется вектор a¯ + b, который находится по правилу тре-

угольника

••

b

••a •• ••a+b

или по равносильному ему правилу параллелограмма

••a

••

••a-b

••

b

24

Свойства линейных операций над векторами аналогичны соответствующим свойствам дей-

ствительных чисел.

¯

Проекцией вектора a¯ на вектор b называется число

c¯

Pr¯ a¯ = |a¯| cos(a,¯ b).

b

Геометрически очевидны следующие свойства проекции:

Пример. Пусть E è F середины сторон AD è BC соответственно выпуклого четырехугольника ABCD. Доказать, что

EF = 12 (AB + DC).

D

C

E F

B

A

Доказательство. Из четырехугольников EDCF è EABF по правилу сложения векторов получим:

EF = ED + DC + CF ;

EF = EA + AB + BF .

¯

Сложив данные равенства и учитывая, что ED + EA = CF + BF = 0, будем иметь:

2EF = DC + AB = EF = 12 (AB + DC),

что и требовалось.

Ÿ2. Базис. Декартова система координат

Определение. Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Обозначение: {e¯1, e¯2} базис на плоскости, {e¯1, e¯2, e¯3} базис в пространстве.

Всюду в дальнейшем, не оговаривая это особо, будем рассматривать только положительно ориентированные базисы, т. е. базисы, у которых кратчайший поворот от вектора e¯1 к вектору

e¯2 совершается против часовой стрелки, если наблюдение ведется со стороны вектора e¯3.

Сформулируем теперь фундаментальное свойство базиса.

Теорема. Любой вектор единственным образом разлагается по базису, т. е. представляется в виде a¯ = a1e¯1 +a2e¯2 +a3e¯3, где действительные числа a1, a2, a3 координаты вектора a¯ в базисе {e¯1, e¯2, e¯3}.

25

Приведем геометрическое доказательство этого утверждения.

A3

a

e3

A2

e2

O e1 A1

Вектор a¯ можно единственным образом представить как большую диагональ параллелепипеда, ðåáра которогî, ïараллельны базисным векторам. Тîãäà ïî ïðàâèлу сложения векторов a¯ = OA1 + OA2 + OA3. Ввиду коллинеарности векторов OA1, OA2, OA3 соответствующим ба-

зисным векторам, мы можем записать, что OA1 = a1e¯1, OA2 = a2e¯2, OA3 = a3e¯3, ãäå a1, a2, a3некоторые действительные числа. Отсюда и следует искомое разложение.

Если базис зафиксирован, то факт, что вектор a¯ в этом базисе имеет координаты a1, a2, a3

коротко записывается как a¯(a1, a2, a3).

Из доказанной теоремы следует, что при выполнении линейных операций над векторами точно также преобразуются и их координаты, т. е. если a¯(a1, a2, a3), òî λ a¯(λ a1, λ a2, λ a3), åñëè

два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, ò. å.

¯

Рассмотрим теперь ортонормированный базис {¯ı, ȷ,¯ k}, т. е. базис, в котором все векторы

имеют единичную длину и попарно ортогональны. Векторы этого базиса мы будем называть

¯

ортами. Пусть в этом базисе a¯ = ax¯ı + ayȷ¯+ azk.

••a

••

k

Γ

ΑΒ

••

Ó• Õ

Как видно из чертежа, координаты вектора в ортонормированном базисе представляют собой проекции этого вектора на соответствующие орты, т. е.

ax = Pr¯ı a¯ = |a¯| cos α, ay = Prȷ¯ a¯ = |a¯| cos β, az = Pr¯ a¯ = |a¯| cos γ.

k

Величины cos α, cos β, cos γ, т. е. косинусы углов, которые образует данный вектор с ортами

¯

¯ı, ȷ,¯ k соответственно, называются направляющими косинусами вектора a¯. Единичный вектор

a¯ имеет координаты a¯(cos α, cos β, cos γ). Очевидно также, что √

|a¯| = a2x + a2y + a2z.

Свяжем теперь с ортонормированным базисом декартову (прямоугольную) систему координат. Для этого поместим начала ортов в некоторую точку O, îñü Ox (абсцисс) направим

Oz

26

¯

В выбранной системе координат координаты радиуса-вектора OM = x¯ı + yȷ¯+ zk мы будем называть координатами точки M и записывать M(x, y, z).

Если известны координаты начальной M1(x1, y1, z1) и конечной M2(x2, y2, z2) точек вектора, то из равенства M1M2 = OM2 − OM1 следует, что его координаты равны

M1M2(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

и, значит, расстояние между точками √M1 è M2 вычисляется по формуле

|M1M2| = |M1M2| = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

Найдем теперь координаты точки M, делящей отрезок с концами в точках M1, M2 в данном

отношении λ > 0. Òàê êàê |M1M| = λ, òî M1M = λMM2. Отсюда, переходя к координатам,

получим:

|MM2|

x − x1 = λ(x2 − x), y − y1 = λ(y2 − y), z − z1 = λ(z2 − z).

Следовательно, координаты искомой точки вычисляются по формулам: