105

Таким образом, в интервалах (−∞, 0) è (0, 1) функция возрастает и, следовательно, в точке

x1 = 0 экстремума нет. В интервалах (1, 3) è (3, +∞) функция убывает и возрастает соответственно, поэтому x2 = 3 точка строгого минимума данной функции и ymin = f(3) = 278 .

В заключение этого пункта обсудим как находить с помощью производной так называе-

ìûå глобальные экстремумы функции на отрезке, т. е. ее наименьшее и наибольшее значения

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Ïî теореме Вейерштрасса (глава IV, Ÿ5, пункт 3) функция достигает на отрезке [a, b] своих наименьшего и наибольшего значений. Ес-

ли какое-то из них достигается внутри отрезка, то это происходит непременно в критической

точке функции. Отсюда следует, что для нахождения глобальных экстремумов непрерывной на отрезке функции необходимо найти ее критические точки, попадающие на отрезок, вы- числить значения функции в этих точках и на концах отрезка и среди всех этих значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Найти глобальные экстремумы функции

2. Выпуклость функции. Точки перегиба

Важной геометрической характеристикой функции и кривой, являющейся графиком этой функции, служит выпуклость.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна в некотором интервале (a, b). Возьмем точки

x1, x2 (a, b) и обозначим через y = l[x1, x2](x) уравнение прямой, проходящей через точки A1(x1, f(x1)), A2(x2, f(x2)) графика функции.

Функция f(x) (соответственно, кривая y = f(x)) называется выпуклой (вогнутой) в интервале (a, b), если для любых чисел x1, x2 (a, b) выполняется неравенство

f(x) ≤ l[x1, x2](x) (f(x) ≥ l[x1, x2](x)), x [x1, x2].

Если последние неравенства строгие для всех x (x1, x2), то и функция называется строго

выпуклой (строго вогнутой ).

Геометрически выпуклость (вогнутость) означает, что любой фрагмент графика функции расположен не выше (не ниже), чем хорда соединяющая, граничные точки этого фрагмента.

106

Найдем теперь условия, при которых функция является выпуклой (вогнутой).

Теорема 1 (критерий выпуклости I). Если функция дифференцируема в интервале (a, b), то для того, чтобы она была выпуклой (вогнутой), необходимо и достаточно, чтобы производная f′(x) была неубывающей (невозрастающей ). Если производная f′(x) возрастает

(убывает), то функция f(x) строго выпукла (строго вогнута ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся сначала в необходимости условия теоремы. Предположим для определенности, что функция является выпуклой. Возьмем произвольные точки x1, x2

т. е. производная f′(x) не убывает.

Докажем теперь, наоборот, что неубывания производной и достаточно для выпуклости функции. Действительно, применив к обеим частям неравенства (2) теорему Лагранжа (Ÿ3), получим:

Òàê êàê x1 < x < x2, òî c1 < c2 и, следовательно, f′(c1) ≤ f′(c2).

вслед за ним и неравенство (1) выполняются, т. е. функция f(x) выпукла.

Если в рассуждениях предыдущего абзаца считать производную возрастающей, то неравенство (1) будет строгим и, таким образом, функция f(x) будет строго выпуклой.

Ò å î ð å ì à ä î ê à ç à í à.

Привлекая вторую производную, сформулируем еще один признак выпуклости.

Теорема 2 (критерий выпуклости II). Для того, чтобы функция f(x), определенная и дважды дифференцируемая в некотором интервале (a, b) была выпуклой (вогнутой) â ýòîì

интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее вторая производная была неотрицательной (неположительной) в этом интервале, т. е. f′′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0), x (a, b). Åñëè æå

f′′(x) > 0 (f′′(x) < 0), x (a, b), то функция строго выпукла (строго вогнута) в интервале

(a, b).

Доказательство этой теоремы немедленно следует из предыдущей теоремы и признака монотонности, доказанного в пункте 1.

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b). Точка x0 (a, b) называется точкой

(строгого) перегиба данной функции, если в интервалах (a, x0) è (x0, b) эта функция имеет противоположный характер (строгой) выпуклости. Иначе говоря, точка перегиба является

границей двух интервалов, в одном из которых функция выпукла, а в другом вогнута.

109

График функции построен в среде компьютерной алгебры Mathematica.

Ÿ7. Векторная функция действительного аргумента

Зависимость, по которой каждому действительному числу t из некоторого интервала (t1, t2) ставится в соответствие определенный вектор r¯ = r¯(t) на плоскости или в пространстве, на-

зывается векторной функцией действительного аргумента.

Для определенности всюду в этом параграфе векторную функцию мы будем рассматривать в пространстве. Пусть в нем выбрана декартова система координат Oxyz. Поскольку вектор

r¯(t) в пространстве однозначно определяется своими координатами x(t), y(t), z(t) в ортонор-

¯

мированном базисе {¯ı, ȷ,¯ k} и наоборот, то задание векторной функции

равносильно заданию трех ее функций-координат

Если зафиксировать начало вектора r¯(t) в начале координат, то его конечная точка при изменении параметра t будет перемещаться по кривой L, имеющей параметрические уравнения

(2). Эту кривую мы будем называть траекторией векторной функции r¯(t).

1

Z 0 L

Замечание 1. В физике и механике уравнение r¯ = r¯(t) представляет собой векторное

уравнение движения материальной точки, а траектория движения этой точки представляет собой линию в пространстве с параметрическими уравнениями (2).

Введем теперь определение предельного вектора для векторной функции r¯(t), определенной

âинтервале (t1, t2), содержащем точку t0 за исключением, возможно, этой точки.

Определение 1. Вектор s¯ называется предельным для векторной функции r¯(t) ïðè t

стремящемся к t0, если для любого положительного числа ε найдется положительное число δϵ такое, что

|r¯(t) − s¯| < ε, как только 0 < |t − t0| < δϵ.

Обозначается этот предельный вектор через lim r¯(t) = s¯.

t→t0

¯

Пусть s¯ = sx¯ı + syȷ¯+ szk.

110

Теорема. Предельный вектор lim r¯(t) = s¯ существует тогда и только тогда, когда суще-

t→t0

которое мы можем доказать возведением в квадрат всех трех его частей. Теперь, чтобы убедиться в справедливости приведенного выше утверждения, достаточно воспользоваться определением предельного вектора векторной функции и неравенством (3), благодаря которому

|x(t) − sx| ≤ |r¯(t) − s¯|, |y(t) − sy| ≤ |r¯(t) − s¯|, |z(t) − sz| ≤ |r¯(t) − s¯|;

(4)

|r¯(t) − s¯| ≤ |x(t) − sx| + |y(t) − sy| + |z(t) − sz|.

Действительно, из первых трех неравенств (4) следует, что как только

|r¯(t) − s¯| < ε ïðè 0 < |t − t0| < δϵ,

òî è

|x(t) − sx| < ε, |y(t) − sy| < ε, |z(t) − sz| < ε

для тех же значений t. Таким образом,

Наоборот, если имеют место последние равенства, то, выбрав по заданному ε > 0 положитель- ное число δϵ так, чтобы

äëÿ 0 < |t − t0| < δϵ, мы, воспользовавшись последним из неравенств (4), получим, что

|r¯(t) − s¯| < ε, 0 < |t − t0| < δϵ, ò. å. lim r¯(t) = s¯.

t→t0

Ò å î ð å ì à ä î ê à ç à í à.

Из доказанной теоремы и свойств предела функции (глава IV, Ÿ4, пункт 2) следует, что,

Использовав, кроме того, формулы для вычисления скалярного и векторного произведений (глава II, ŸŸ3, 4), получим:

Если, вдобавок, существует еще и предельный вектор lim r¯3(t), то по формуле для пред-

t→t0

ставления смешанного произведения в координатах (глава II, Ÿ5) будем иметь:

111

Решение. Найдем пределы координат данной векторной функции.

Здесь мы использовали правило Лопиталя (Ÿ4 настоящей главы) и непрерывность элементарных функций (глава IV, Ÿ5, пункт 4). Для вычисления предела второй координаты век-

торной функции используем эквивалентные бесконечно малые в нуле функции sin 2t 2t è arctg t t (глава IV, Ÿ4, пункт 4):

Предел третьей координаты мы найдем с помощью пределов (5) è (3) (глава IV, Ÿ4, пункты 3 и 2 соответственно):

Применив теперь доказанную выше теорему, окончательно получим:

т. е. предельным для данной векторной функции является вектор s¯(1, 2, e3).

Как и для числовой функции, мы можем ввести понятие непрерывности для векторной функции. Пусть векторная функция r¯(t) определена в интервале (t1, t2), содержащем точку

t0. Она называется непрерывной в точке t0, если существует lim r¯(t) è

t→t0

lim r¯(t) = r¯(t0).

t→t0

Из доказанной выше теоремы следует, что для непрерывности векторной функции необходимо и достаточно, чтобы были непрерывными ее координаты.

Если векторная функция непрерывна в любой точке интервала (t1, t2), то она называется

непрерывной в этом интервале.

Если векторные функции r¯1(t), r¯2(t) è r¯3(t) непрерывны, то, как следует из определения непрерывности и свойств предельного вектора, сформулированных выше, непрерывными являются векторные функции c1r¯1(t) + c2r¯2(t), c1, c2 R è r¯1(t) × r¯2(t), а также числовые

функции r¯1(t) · r¯2(t) è r¯1(t)¯r2(t)¯r3(t).

Векторная функция считается разрывной в некоторой точке, если она не является непрерывной â íåé.

Введем теперь определение вектора производной векторной функции. Предположим, что векторная функция r¯(t) определена в интервале (t1, t2) è t0 (t1, t2). Обозначим через ∆¯r(t0, ∆t) = r¯(t0 + ∆t) − r¯(t0) приращение векторной функции в точке t0, соответствующее приращению аргумента ∆t.

Определение 2. Если существует предельный вектор

lim 1 ∆¯r(t0, ∆t),

t→t0 ∆t

то он называется вектором производной векторной функции r¯(t) в точке t0 и обозначается через r¯′(t0).

Как и в случае числовой функции, если для векторной функции существует вектор производной в некоторой точке, то будем говорить, что векторная функция дифференцируема в этой точке.

Из доказанной в этом параграфе теоремы следует, что векторная функция (1) дифферен-

цируема тогда и только тогда, когда дифференцируемы ее координаты и координатами вектора производной являются производные координат векторной функции, т. е.

112

Выясним геометрический смысл вектора производной дифференцируемой в точке t0 âåê- торной функции r¯(t).

Вектор ∆1t ∆¯r(t0, ∆t) является направляющим для секущей M0M и направлен он в сторону t → t0 секущая будет за-

нимать некоторое предельное положение, соответствующее касательной к траектории в точке M0, и направляющим вектором касательной будет служить как раз вектор производной r¯′(t0).

Таким образом, вектор производной представляет собой направляющий вектор касательной к траектории векторной функции в соответствующей точке, направленный в сторону

перемещения по траектории.

Запишем, учитывая (5), канонические уравнения касательной к траектории дифференцируемой векторной функции (1) (или к кривой, заданной параметрическими уравнениями

(2)) в точке M0(x(t0), y(t0), z(t0)) :

мальной плоскостью к траектории дифференцируемой векторной функции (или к кривой, заданной параметрическими уравнениями). Поскольку вектор n¯ = r¯′(t0) является нормаль-

ным для нормальной плоскости, то ее общее уравнение имеет вид:

x′(t0)(x − x(t0)) + y′(t0)(y − y(t0)) + z′(t0)(z − z(t0)) = 0.

Пример 2. Найти уравнения касательной и нормальной плоскости к траектории вектор-

Решение. Найдем производную этой векторной функции:

113

Первая из этих формул очевидна, а остальные доказываются с помощью представления этих произведений векторных функций в координатах (глава II, ŸŸ3 5) и правил дифференцирования суммы и произведения функций (Ÿ1 настоящей главы). Например, если

¯

r¯1(t) = x1(t)¯ı + y1(t)¯ȷ + z1(t)k,

¯

r¯2(t) = x2(t)¯ı + y2(t)¯ȷ + z2(t)k,

òî (¯r1(t) · r¯2(t))′ = (x1(t)x2(t) + y1(t)y2(t) + z1(t)z2(t))′ =

=x′1(t)x2(t) + x1(t)x′2(t) + y1′ (t)y2(t) + y1(t)y2′ (t) + z1′ (t)z2(t) + z1(t)z2′ (t) =

=(x′1(t)x2(t) + y1′ (t)y2(t) + z1′ (t)z2(t)) + (x1(t)x′2(t) + y1(t)y2′ (t) + z1(t)z2′ (t)) =

= r¯1′ (t) · r¯2(t) + r¯1(t) · r¯2′ (t).

Замечание 2. Аналогично мы можем определить векторную функцию действительного аргумента и линию в n-мерном евклидовом пространстве Rn.

Ÿ8. Комплексные числа и операции над ними. Разложение полинома на множители

Для решения некоторых задач действительных чисел может оказаться недостаточно и поэтому возникает необходимость в расширении множества действительных чисел. Попробуем,

например, решить уравнение

(z − 1)2 + 1 = 0.

Действительных решений оно не имеет, однако формально мы можем найти его корни, если

который мы назовем мнимой единицей. Тогда из данного уравнения следует, что

√

(z − 1)2 = −1 = z − 1 = ± −1 = z = 1 ± i.

Введем теперь следующее важное

Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида

Множество всех комплексных чисел мы обозначим через C.

Для комплексного числа z = x + yi действительные числа x è y называются, соответственно, его действительной и мнимой частями. Обозначаются действительная и мнимая части, соответственно, через Re z è Im z. Комплексные числа −z = −x − yi è z¯ = x − yi называют-

ся, соответственно, противоположным è сопряженным z. Используя эту терминологию можно сказать, что приведенное выше квадратное уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней z1,2 = 1 ± i.

Комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, т. е. число вида x + 0i, которое мы будем обозначать через x, отождествляется с действительным числом x и, таким образом, ìíî-

жество действительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел C или, иначе, множество комплексных чисел является расширением множества действи-

идея расширения множества действительных чисел до комплексных оказалась чрезвычайно плодотворной как в самой математике, так и в ее приложениях, например, в физике, механике, электротехнике, где аппарат комплексных чисел очень активно используется.

Комплексное число с нулевой действительной частью, а именно, число 0 + yi, которое мы будем записывать как yi, называется чисто мнимым.

Два комплексных числа считаются равными, если действительная и мнимая части одного из них равны, соответственно, действительной и мнимой частям другого.

Чтобы иметь возможность использовать комплексные числа, следует определить алгебраические операции над ними. Этим мы сейчас и займемся.

Пусть z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i два комплексных числа.

114

Суммой комплексных чисел z1 è z2 называется комплексное число z1 +z2, которое находится сложением соответствующих выражений:

z1 + z2 = x1 + x2 + (y1 + y2)i.

Тогда разностью этих комплексных чисел называется число z1 − z2 = z1 + (−z2).

Произведением комплексных чисел z1 è z2 называется комплексное число z1z2, которое мы

можем найти, перемножив выражения для данных комплексных чисел и учитывая при этом, что i2 = −1. В результате получим:

z1z2 = x1x2 − y1y2 + (x1y2 + x2y1)i.

Прямой проверкой мы можем убедиться в том, что операции сложения и умножения

комплексных чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дист-

рибутивности, сформулированными для действительных чисел (глава IV, Ÿ1, свойства 1), 2), 5)). Ðîëü комплексных единицы и нуля выполняют действительные числа 1 = 1 + 0i è

0 = 0 + 0i.

Чтобы определить операцию деления комплексных чисел, покажем сначала, что для любого z = x + yi ̸= 0существует единственное обратное комплексное число z−1, т. е. число, для

которого выполняется равенство zz−1 = 1. Для этого умножим обе части последнего равенства на сопряженное к z комплексное число z¯. В результате получим:

zzz¯ −1 = z¯ (x − yi)(x + yi)z−1 = z¯ (x2 − y2i2)z−1 = z¯ (x2 + y2)z−1 = z¯.

Òàê êàê z ̸=,0òî è x2 + y2 ̸=,0следовательно,

Частным от деления числа z1 C на число 0 ̸=z2 C называется комплексное число

z1 = z1z−1.

z2 2

Учитывая приведенное выше представление для обратного комплексного числа, мы можем записать также следующую формулу для вычисления частного:

z1 = z1z¯2 . z2 z2z¯2

Целая степень комплексного числа определяется точно также, как и целая степень действительного числа.

Пример 1. Вычислить сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z1 =

1 − i è z2 = 3 + 4i, а также степень z12007.

Решение. Воспользовавшись определением алгебраических операций, получим:

Для вычисления степени, заметим сначала, что

z12 = (1 − i)2 = 1 − 2i + i2 = −2i, i3 = −i, i4 = 1.

Тогда

z12007 = (z12)1003z1 = (−2i)1003z1 = −21003i1003z1 =

= −21003(i4)250i3z1 = 21003iz1 = 21003i(1 − i) = 21003(1 + i).

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию комплексного числа, которая даст нам возможность представить комплексное число в так называемой тригонометрической форме.

Выберем на плоскости декартову систему координат Oxy. Тогда на этой плоскости комплексное число z = x + yi мы можем представлять себе как точку M(x, y) или радиус-вектор

115

OM(x, y) и, наоборот, точку или ее радиус-вектор считать соответствующим комплексным числом.

y

Таким образом заполненную комплексными числами плоскость мы будем называть комплексной плоскостью. Действительные числа располагаются на оси Ox, поэтому ее называют

действительной осью комплексной плоскости , чисто мнимые на оси Oy, которая называется

мнимой осью комплексной плоскости.

На комплексной плоскости сложение и вычитание комплексных чисел равносильно этим же операциям над соответствуюùèìи радиусами-векторами.

Длина r радиуса-вектора OM называется модулем комплексного числа z, óãîë φ, который образует этот радиус-вектор с положительным направлением оси Ox, называется аргументом данного комплексного числа (для модуля и аргумента иногда используются обозначения |z| è arg z соответственно). Очевидно, что, если аргумент φ найден, то любой из углов φ + 2nπ, n N также является аргументом. Чтобы однозначно зафиксировать аргумент, будем выбирать его значение в пределах полного угла, например, из промежутка [0, 2π).

Из прямоугольного треугольника OMN следует, что, с одной стороны,

x = r cos φ, y = r sin φ,

подразумеваем, что ̸

определен). Тогда

z = x + yi = r(cos φ + i sin φ).

Таким образом, комплексное число z = x + yi мы можем записать в виде z = r(cos φ + i sin φ),

где модуль r и аргумент φ находятся по формулам (1). Это представление называется тригоно-

комплексного числа.

Если складывать и вычитать комплексные числа удобно, когда они представлены в своей первоначальной, алгебраической форме, то при умножении, делении и возведении в степень гораздо удобнее использовать тригонометрическую форму. Действительно, пусть

z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)

два комплексных числа, представленные в тригонометрической форме. Тогда z1z2 = r1r2(cos φ1 cos φ2 − sin φ1 sin φ2 + i(sin φ1 cos φ2 + sin φ2 cos φ1)) =

= r1r2(cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)).

Таким образом,

z1z2 = r1r2(cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)),

ò. å. при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складывают-

ñÿ. Аналогично, если z2 ̸=,0òî

z1 = r1 (cos(φ1 − φ2) + i sin(φ1 − φ2)) z2 r2

116

и, таким образом, деление комплексных чисел приводит к делению их модулей и вычитанию

аргументов. Из последних двух формул следует, что, если z = r(cos φ + i sin φ) ̸= 0òî, äëÿ

любого целого n

zn = (r(cos φ + i sin φ))n = rn(cos nφ + i sin nφ)

формула Муавра.

Научимся теперь извлекать корни из комплексных чисел. По определению, для произвольного натурального n > 1 корнем n-îé степени из комплексного числа z называется комплекс-

находится неоднозначно. Для вычисления корня также удобно использовать тригонометричес-

Воспользовавшись определением корня и формулой Муавра, получим:

ρn(cos nψ + i sin nψ) = r(cos φ + i sin φ).

Отсюда, ρn = r, nψ = φ + 2mπ, m Z èëè

Полагая целое число m равным n последовательным значениям, например, m = 1, 2, . . . , n, мы получим n различных значений аргумента, а, значит, и n различных значений корня. Все остальные аргументы будут отличаться от указанных на угол, кратный 2π и поэтому новых значений корня они не добавят.