95

Теорема Коши может быть доказана совершенно аналогично предыдущей теореме, если ввести в рассмотрение функцию

φ(x) = (f1(b) − f1(a))f2(x) − (f2(b) − f2(a))f1(x).

Теорема Коши имеет тот же геометрический смысл, что и теорема Лагранжа, если мы рассмотрим параметрически заданную функцию

y = f1(x), z = f2(x), x [a, b]

аргумента z. Графиком этой функции является линия в плоскости Oyz. Хорда, соединяющая

точки A(f1(a), f2(a)), B(f1(b), f2(b)) имеет угловой коэффициент f1(b)−f1(a) , а угловой коэф-

f2(b)−f2(a)

f′ (c)

фициент касательной к графику этой функции в точке C(f1(c), f2(c)) равен f1′ (c) (Ÿ2, пункт 2).

2

Тогда теорема Коши утверждает, что касательная к графику этой параметрически заданной функции в точке C параллельна хорде, соединяющей точки графика A è B.

Пример. Убедиться в том, что для функции f(x) = (x−x1)(x−x2)(x−x3), ãäå x1, x2, x3 попарно различные действительные числа, уравнение f′(x) = 0 имеет два различных дейст-

вительных корня.

Решение. Для определенности будем считать, что x1 < x2 < x3. Òàê êàê f(x1) = f(x2) =

f(x3) = 0, òî ïî теореме Ролля в интервалах (x1, x2) è (x2, x3) существуют различные корни уравнения f′(x) = 0. Так как это уравнение является квадратным, то других корней оно иметь

не может.

Ÿ4. Правило Лопиталя

В этом параграфе мы докажем утверждение, которое может оказаться полезным при вычислении пределов функций, которые приводят к неопределенностям вида 0 ∞.

0 èëè ∞

Теорема. Пусть функции f1(x) è f2(x) определены и дифференцируемы в некотором интервале, содержащем точку x0, кроме, может быть, самой этой точки, и f2′ (x) ̸= 0в этом интервале. Предположим также, что

точке x0 нулевыми значениями и применим теорему Коши к отрезку [x0, x] :

Из последнего равенства и следует утверждение теоремы, так как при x → x0 также и c → x0. Замечание 1. Правило Лопиталя сохраняет также свою силу и в случае неопределенностей

96

Замечание 3. Если при вычислении предела возникает неопределенность другого вида, то ее следует предварительно преобразовать к неопределенности вида 0 ∞

0 èëè ∞ и вслед за этим уже применить правило Лопиталя. В случае одной из степенных неопределенностей

00, ∞0, 1∞, воспользовавшись непрерывностью логарифма, мы можем сначала вычислить предел логарифма функции, а затем найти экспоненту от этого предела.

Следовательно, L = e−1.

Замечание 4. Использовать правило Лопиталя необходимо с известной осторожностью, так как предел

lim f1(x)

x→x0 f2(x)

lim f1′ (x)

x→x0 f2′ (x)

97

может и не быть. Например, предел

lim x + sin x

x→∞ x

с неопределенностью ∞ ∞ существует и равен

так как функция sin x

x является бесконечно малой на бесконечности, как произведение беско-

нечно малой 1 sin x (глава IV, Ÿ4, пункт 4). В то же время восполь- x и ограниченной функции

зоваться правилом Лопиталя мы здесь не можем, так как

(x + sin x)′ = 1 + cos x, x′

а предел lim (1 + cos x) не существует. Действительно, на бесконечно большой последователь-

x→∞

ности x(1)n = π2 + 2πn, n N

следовательно, ввиду свойства единственности предела (глава IV, Ÿ4, пункт 2, свойство 3))

lim (1 + cos x) не существует.

x→∞

Ÿ5. Формула Тейлора

Сравнительно простыми и хорошо изученными функциями являются полиномы. Найдем формулу, которая позволяет приближенно представить дифференцируемую вблизи некоторой

точки x0 функцию в виде полинома по степеням x − x0.

1. Полином Тейлора. Формулы Тейлора и Маклорена

Пусть функция f(x) определена и n + 1 раз дифференцируема в некотором интервале,

содержащем точку x0. Найдем полином степени n, который вместе со своими производными до n−ой включительно, совпадает с соответствующими значениями функции и ее произ-

водных в точке x0 (полином Тейлора в точке x0). Этот полином нам удобно искать в виде:

Pn(x) = a0 + a1(x − x0) + . . . + an−1(x − x0)n−1 + an(x − x0)n, a0, a1, . . . , an R.

Вычислим коэффициенты полинома Тейлора. С одной стороны, Pn(x0) = a0, с другой Pn(x0) = f(x0), поэтому a0 = f(x0). Далее будем последовательно дифференцировать полином Pn(x) и приравнивать его производные в точке x0

f(x).

Pn′ (x) = a1 + 2a2(x − x0) + . . . + nan(x − x0)n−1, Pn′ (x0) = a1 = f′(x0);

Pn′′(x) = 2a2 + 3 · 2a3(x − x0) + . . . + n(n − 1)an(x − x0)n−2, Pn′′(x0) = 2a2 = f′′(x0); Pn′′′(x) = 3!a3 + 4!a4(x − x0) + . . . + n(n − 1)(n − 2)an(x − x0)n−3, Pn′′′(x0) = 3!a3 = f′′′(x0);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pn(n)(x) = n(n − 1) · . . . · 2an, Pn(n)(x0) = n!an = f(n)(x0).

Таким образом,

полином Тейлора в точке x0.

98

Найдем разность Rn(x) = f(x) − Pn(x), т. е. величину ошибки, которую мы совершаем, заменив функцию ее полиномом Тейлора. Рассмотрим функции

f1(x) = Rn(x) è f2(x) = (x − x0)n+1.

Заметим, прежде всего, что для них

f1(x0) = f2(x0) = f1′ (x0) = f2′ (x0) = f1′′(x0) = f2′′(x0) = . . . = f1(n)(x0) = f2(n)(x0) = 0.

Применим последовательно теорему Коши (Ÿ3) к функциям f1(x) è f2(x) и их производным до n−ой включительно на соответствующих отрезках:

Найденное представление называется формулой Тейлора порядка n для функции f(x) в точке x0 с остатком Rn(x) в форме Лагранжа. В частном случае при x0 = 0 из (1) следует формула Маклорена:

Если потребовать, чтобы функция f(x) áûëà n − 1 раз дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку x0 è n раз дифференцируема в точке x0, то для этой функции

Замечание 1. Из определения полинома Тейлора следует, что он для функции находится однозначно и полином Тейлора для суммы (разности) функций равен сумме (разности) их полиномов Тейлора.

Замечание 2. Подстановка y = x−x0 сводит задачу разложения функции f(x) по формуле Тейлора к задаче представления функции f(y + x0) с помощью формулы Маклорена.