Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (I семестр).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

функцией, заданной параметрически уравнениями (3). Найдем выражение для производной

этой функции в любой точке x интервала (a, b) через параметр t, воспользовавшись правилом

дифференцирования композиции функций и связью между производными взаимно обратных функций (свойство 4) è формула (5) предыдущего параграфа):

yx′ = (y(t(x)))x′	= yt′ · tx′	= yt′ ·	1		y′
				=	t	.
			x		x
			t′		t′

Следовательно, производная параметрически заданной функции может быть найдена по фор-

ìóëå:

yx′ = yt′′ . xt

Пример 3. Найти уравнения касательных в точке M0(0, π2 ) линии, которая задана параметрически уравнениями

x = t cos t, y = t sin t.

Решение. Так как для этой линии x(−t) = −x(t), y(−t) = y(t) è x2 + y2 = t2, то она представляет собой совокупность двух симметричных относительно оси Oy спиралей.

			y
			2
			1
-6	-4	-2	2	4	6	x
			-1
			-2
			-3
			-4

Через точку M0 эти спирали проходят при t = ±π2 . Найдем угловые коэффициенты касательных, соответствующих этим значениям параметра. Так как

x′t = cos t − t sin t, yt′ = sin t + t cos t,

òî

y′

sin t + t cos t

y′

x′

cos t

t sin t

−

и, следовательно,

k1,2 = yx′

(±

)

Осталось записать уравнения двух касательных в данной точке: y − π2 = ±π2 x y = ±π2 x + π2 .

3. Производные и дифференциалы высших порядков

Определим в заключение этого параграфа понятия производной и дифференциала высших

порядков.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в интервале (a, b) и, таким образом, в этом интервале определена функция f′(x). Если в точке x (a, b) существует производная функции

f′(x), то она называется второй производной функции f(x) (производной второго порядка) è

обозначается через f′′(x) èëè y′′. Таким образом,

f′′(x) = (f′(x))′.

В этом случае функцию f(x) будем называть дважды дифференцируемой в точке x.

Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) в точке x (a, b), в которой

существует вторая производная f′′(x), называется дифференциал от первого дифференциала. Для второго дифференциала используется обозначение d2f(x). Учитывая, что df(x) = f′(x)dx

и дифференциал аргумента dx = ∆x не зависит от x, получим:

d2f(x) = d(df(x)) = d(f′(x)dx) = df′(x) · dx = f′′(x)dx2.

Следовательно,

d2f(x) = f′′(x)dx2 èëè d2f(x) = f′′(x)∆x2.

Аналогично находятся производные и дифференциалы более высоких порядков :

( )′

f(n)(x) = f(n−1)(x) ; dnf(x) = d(dn−1f(x)) = dnf(x) = f(n)(x)dxn = f(n)(x)∆xn, n ≥ 2.

Из последней формулы следует, в частности, что для производной n-го порядка функции y = f(x) можно использовать обозначение

y(n) = dny . dxn

Если требуется явно указать переменную, по которой ведется дифференцирование, то производную n-го порядка функции y = y(x) мы будем обозначать через

y(n) = yx(nn).

Пример 1. Найти производную n-го порядка функции y = sin2 x.

Решение. Чтобы заметить общую закономерность, найдем несколько первых производных данной функции:

y′ = (sin2 x)′ = 2 sin x(sin x)′ = 2 sin x cos x = sin 2x; y′′ = (sin 2x)′ = cos 2x · (2x)′ = 2 cos 2x;

y′′′ = (2 cos 2x)′ = −2 sin 2x · (2x)′ = −4 sin 2x.

Исходя из структуры этих производных мы можем предположить, что производная n-ãî ïî-

рядка данной функции имеет вид: ( π ) y(n) = 2n−1 sin 2x + 2 (n − 1) .

Проверим эту гипотезу по индукции. При n = 1 утверждение справедливо. Предположим, что оно верно для номера n и докажем, что оно имеет место также и для следующего номера n+1.

Действительно,

(

y(n+1) = 2n−1

= 2n cos

(2xπ+

2 (n − 1)))n

−

π(

−

)(

−

)

sin

′

= 2n

1 cos 2x +

2x +

′

(2x +

(n − 1))

= 2

sin (2x +

n),

в чем и требовалось убедиться.

По индукции несложно убедиться в том, что производную n-го порядка произведения n раз дифференцируемых функций f1(x) è f2(x) мы можем найти по формуле Лейбница :

∑

(n−k)(x)f

(k)(x) = f

(n)(x)f2(x) + nf(n−1)(x)f′

(n)

(f1(x)f2(x))(n) =

Ckf

(x) + . . . + f1

(x)f

(x),

k=0

ãäå

n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)

Cnk =

, k = 1, n

и по определению считается, что C0

= 1, f

(0)(x) = f1(x), f(0)

(x) = f2(x).

Если функция задана неявно или параметрически (пункт 2), то повторным дифференцированием мы также можем находить производные высших порядков этой функции. Остановимся чуть подробнее на повторном дифференцировании параметрически заданной функции. Пусть функция задана параметрически уравнениями

x = x(t), y = y(t), t (t1, t2),

причем функции x(t), y(t) удовлетворяют всем условиям, перечисленным в пункте 2, b) и, сверх того, они дважды дифференцируемы в интервале (t1, t2). Тогда

y′′	= (y′ )′	= (y′ )′	t′	= (y′	)′	1		(y′ )′
							=	x t
								xt′
xx	x x	x t ·	x	x t · xt′

и, таким образом,

y′′ = (yx′ )′t . xx x′t

Аналогично мы можем найти и производные более высоких порядков параметрически заданной функции.

Пример 2. Найти вторые производные функций :

√

= earctg xy ; b) x = t(ln t − 1), y = t(ln2 t − 2 ln t + 2).

x2 + y2

Решение. Найдем первую производную данной неявно заданной функции. Так как

(x2 + y2)

+ 2yy

x + yy

(√x2 + y2)x′

′

2x ′

′

2 x2 + y2

x2 + y2

y′x−y

y′x

−

= e

arctg

= e

′

arctg

√

′

arctg

√

arctg

òî

(

1 + xy

(x)

1 + xy

x2 + y2

x + yy′

= earctg xy

y′x − y

и, следовательно,

√x2 + y2

x2 +xy+ y

x + yy′ = y′x

−

y = y′

−

Дифференцируя повторно, получим:

x + y

′

(x + y)

(x + y)(x

′

(1 + y′)(x

(x + y)(1

)

y′′ = (

)

′

−

− −

−

′

−

y)2

(x y)2

x+y

−

x+y

−

(1 +

)(x − y) − (x + y)(1 −

)

2(x2 + y2)

x−y

(x − y)2

(x − y)3

b) Для этой параметрически заданной функции

x′ y′ =

		1
= (t(ln t − 1))′ = t′(ln t − 1) + t(ln t − 1)′ = ln t − 1 + t ·						= ln t,
					t
(t(ln2 t − 2 ln t + 2))′ = t′(ln2 t − 2 ln t + 2) + t(ln2 t − 2 ln t + 2)′ =
1		2
= ln2 t − 2 ln t + 2 + t (2 ln t ·		−		) = ln2 t.
	t		t

Следовательно,

y′

ln2 t

yx′

= ln t.

xt′

Тогда

ln t

(y′

)′

(ln t)′

yxx′′ =

x t

xt′

ln t

t ln t

Ÿ3. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

В математическом анализе большое значение имеет группа теорем о существовании внутри интервала, где функция дифференцируема, точки, в которой производная обладает определенными свойствами.

Теорема Ролля. Пусть функция f(x) дифференцируема в интервале (a, b), непрерывна на

отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает равные значения. Тогда внутри отрезка существует точка c (a, b), для которой f′(c) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме Вейерштрасса (глава IV, Ÿ5, пункт 3) функция достигает на отрезке [a, b] своих наименьшего m и наибольшего M значений. Если m = M,

òî f(x) ≡ C R и в качестве точки c мы можем взять любое число интервала (a, b), òàê êàê f′(x) = 0, x (a, b). Åñëè æå m < M, то по крайней мере одно из этих значений достигается

внутри отрезка. Для определенности предположим, что f(c) = m, c (a, b) и докажем, что

точка c−искомая. Действительно, при малых приращениях аргумента ∆x в точке c имеет

место неравенство f(c + ∆x) ≥ f(c), следовательно, ∆f(c, ∆x) = f(c + ∆x) − f(c) ≥ 0 è

∆f(c, ∆x)

≥ 0, ∆x > 0.

∆x

≤ 0, ∆x < 0;

∆x

Отсюда, использовав дифференцируемость функции в точке c è свойство 5) предела функции

(глава IV, Ÿ4, пункт 2), получим:

f′(c) = f′ (c) =

lim

∆f(x0, ∆x)

0, f

′(c) = f′ (c) =

∆f(x0, ∆x)

∆x

≤

lim

∆x

≥

−

∆x

∆x +0

→−

→

Таким образом, f′(c) = 0, что и требовалось доказать.

Геометрически доказанное утверждение означает, что на графике дифференцируемой функ-

ции между граничными точками, имеющими равные ординаты, найдется точка, в которой

касательная параллельна оси абсцисс.

y=f HxL

f HaL

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке

[a, b]

и дифференци-

руема в интервале (a, b). Тогда найдется точка c (a, b), для которой

f(b) − f(a) = f′(c)(b − a).

Для доказательства этой теоремы рассмотрим функцию

φ(x) = (f(b) − f(a))x − f(x)(b − a),

которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, так как она, очевидно, непрерывна на

отрезке [a, b], дифференцируема внутри его и φ(a) = φ(b) = af(b) − bf(a). Тогда существует

точка c (a, b), для которой φ′(c) = 0. Òàê êàê

òî

φ′(x) = f(b) − f(a) − f′(x)(b − a),

f(a)

f′(c)(b

a) = 0 = f(b)

f(a) = f′(c)(b

a).

φ′(c) = f(b)

−

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что между граничными точ-

ками графика дифференцируемой в интервале функции всегда можно найти точку, в кото-

рой касательная параллельна хорде, соединяющей граничные точки графика.

y=f HxL

f HcL

Теорема Коши. Предположим, что функции f1(x) è f2(x) непрерывны на отрезке [a, b] è

дифференцируемы в интервале (a, b), причем f′ (x)

=,0x

(a, b). Тогда существует точка

c (a, b), для которой

f1(b)

−

f1(a)

f′

(c)

f2(b)

f2(a)

1 .

−

f′

(c)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.46 Mб0Лабораторный практикум по курсу химии.pdf
#
24.11.20251.87 Mб0Лабораторный практикум по сварке курса Металлические конструкции для студентов специальности Промышленное и гражданское строительство.pdf
#
24.11.20251.22 Mб0Лабораторный практикум.pdf
#
24.11.2025564.19 Кб0Лагiстыка.pdf
#
24.11.20252.38 Mб1Лексические и грамматические аспекты перевода технических текстов.pdf
#
24.11.20253.27 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (I семестр).pdf
#
24.11.20252.56 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (II семестр).pdf
#
24.11.202517.87 Mб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (III семестр).pdf
#
24.11.2025987.88 Кб0Лекции по математике для студентов энергетических специальностей БНТУ (IV семестр).pdf
#
24.11.20251.25 Mб0Литейные сплавы.pdf
#
24.11.2025816.49 Кб0Логика пособие.pdf