87

Предположим теперь, что аргумент x является, в свою очередь, дифференцируемой функцией x = φ(z) переменной z. Найдем дифференциал композиции функций f(φ(z)), пользуясь свойством 4) производной:

df(φ(z)) = (f(φ(z)))′dz = f′(φ(z))φ′(z)dz = f′(φ(z))dφ(z),

ò. å.

Сравнивая формулы (6) и (7), мы можем утверждать, что вид дифференциала функции не

зависит от того, является ли ее аргумент независимым или функцией другой переменной.

В этом и заключается свойство инвариантности дифференциала , которое мы будем активно

использовать при интегрировании функций.

Ÿ2. Дифференцирование элементарных функций. Производные функций, заданных неявно и параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков

1. Таблица производных основных элементарных функций

Найдем, пользуясь известными из Ÿ4, пункт 3 предыдущей главы пределами и правилами дифференцирования из предшествующего параграфа, производные основных элементарных функций.

Сначала найдем производную натурального логарифма, воспользовавшись определением производной, числом e (глава IV, Ÿ4, пункт 3, формула (5)) и непрерывностью логарифмической функции (глава IV, Ÿ5, пункт 4):

Таким образом, (ln x)′ = x1 . Отсюда сразу же следует, что при любом 0 < a ̸= 1

Теперь, использовав производную логарифма и правило дифференцирования композиции функций, мы найдем производные степенной и показательной функций. Рассмотрим сначала при x > 0 è α R степенную функцию y = xα. Последовательно прологарифмируем и

продифференцируем обе части последнего равенства:

ln y = ln xα = α ln x = (ln y)′ = (α ln x)′ y1 · y′ = αx1 y′ = αxy = αxα−1.

ò. å. (ax)′ = ax ln a. Отсюда, в частности, следует, что (ex)′ = ex.

Займемся теперь производными тригонометрических функций. Принимая во внимание тригонометрический предел (глава IV, Ÿ4, пункт 3, формулы (4)) и непрерывность функции cos x, получим:

88

Отсюда, воспользовавшись правилом дифференцирования композиции функций, найдем:

(cos x)′ = (sin (π2 − x))′ = cos (π2 − x)(π2 − x)′ = cos (π2 − x)(−1) = − sin x.

Найдем, используя правило дифференцирования частного, производные функций tg x è ctg x :

Аналогично,

(ctg x)′ = − 1 . sin2 x

Осталось отыскать формулы для производных обратных тригонометрических функций. Для функции y = arcsin x мы имеем sin y = x. Дифференцируя обе части последнего равенства,

получим:

(sin y)′ = (x)′ = cos y · y′ = 1.

Приведем здесь еще формулы дифференцирования гиперболических функций , определенных в Ÿ4, пункт 1 главы IV.

Аналогично мы можем убедиться в том, что

3)(loga x)′ = x ln1 a, 0 < a ̸= 1; (ln x)′ = x1 ;

4)(sin x)′ = cos x;

5)(cos x)′ = − sin x;

89

10)(sh x)′ = ch x;

11)(ch x)′ = sh x;

Используя эту таблицу и доказанные в предыдущем параграфе правила дифференциро-

вания, мы можем найти производную любой элементарной функции, причем эта производ-

Решение. Воспользовавшись таблицей и правилом дифференцирования композиции функций, получим:

2.Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

a)Производная неявно заданной функции.

Иногда бывает трудно или невозможно установить явную, т. е. прямую зависимость между переменными x è y, однако сравнительно несложно найти связь между ними в виде уравнения

ãäå F (x, y) известная функция своих аргументов.

Функция y = y(x) (èëè x = x(y)), для которой в некотором интервале

F (x, y(x)) = 0 (èëè F (x(y), y) = 0)

называется неявной функцией, определяемой уравнением (1).

90

В общем случае неявная функция определяется из уравнения (1) неоднозначно, так как график неявной функции представляет собой, вообще говоря, лишь часть кривой, заданной уравнением (1). Например, из уравнения гиперболы

Таким образом, это уравнение определяет две неявные функции, определенные при |x| ≥ a. Предположим теперь, что неявная функция y = y(x), определяемая уравнением (1) диффе-

ренцируема в интервале, где она определена. Поскольку при всех x из интервала определения неявной функции F (x, y(x)) = 0, то формально ее производная может быть найдена из урав-

в котором F (x, y) рассматривается как сложная дифференцируемая функция аргумента x.

Выполнив дифференцирование в уравнении (2), мы получим линейное относительно искомой производной y′ уравнение, из которого она и определяется.

Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно уравнением x + sin(xy) = y.

Решение. Найдем производную по переменной x от обеих частей данного уравнения:

(x + sin(xy))′ = y′ 1 + cos(xy)(xy)′ = y′ 1 + cos(xy)(y + xy′) = y′.

Следовательно,

y′ = 1 + y cos(xy) . 1 − x cos(xy)

Пример 2. Найти уравнение касательной в любой точке эллипса

Решение. Воспользуемся уравнением касательной (1) из предыдущего параграфа. Найдем сначала производную неявной функции, определяемой уравнением эллипса:

Запишем теперь уравнение касательной в точке эллипса с координатами M0(x0, y0), учитывая,

и, таким образом, искомое уравнение касательной имеет вид:

x0x + y0y = 1. a2 b2

b) Производная функции, заданной параметрически.

Предположим, что переменные x è y являются функциями аргумента t, который мы будем называть параметром, ò. å.

причем функцию x(t) мы будем считать монотонной и дифференцируемой с ненулевой производной в указанном интервале, а функцию y(t) мы будем предполагать дифференцируемой в интервале (t1, t2). Благодаря свойству 2) предыдущего параграфа в некотором интервале (a, b) существует дифференцируемая обратная для x(t) функция t = t(x) и, стало быть, в интервале (a, b) определена функция y = y(t(x)) аргумента x, которую мы будем называть