4. Непрерывность элементарных функций

81

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на некотором проме-

жутке числовой оси (конечном или бесконечном ), если она определена на этом промежутке и для любого положительного числа ε > 0 найдется положительное число δε > 0, обладающее тем свойством, что при всех x1, x2 из данного промежутка, удовлетворяющих неравенству

|x1 − x2| < δε

для соответствующих значений функции выполняется неравенство

|f(x1) − f(x2)| < ε.

Покажем что равномерная непрерывность является более сильным свойством функции,

чем ее непрерывность на промежутке. Действительно, если функция равномерно непрерывна на некотором промежутке, то, зафиксировав произвольную точку x0 этого промежутка, мы

получим, что для любого ε > 0 отыщется δε > 0 такое, что |f(x) − f(x0)| < ε как только

|x−x0| < δε, что и означает непрерывность функции на данном промежутке. Убедимся теперь

на примере в том, что из непрерывности функции на промежутке еще не следует, вообще говоря, равномерная непрерывность.

1

Контрпример. Показать, что функция f(x) = 1 − x не является равномерно непрерывной на промежутке [0, 1).

откуда и следует, что данная функция не может быть равномерно непрерывной на данном промежутке, так как элементы этих двух последовательностей сколь угодно близки, а разность соответствующих значений функции сколь угодно велика.

Сформулируем в заключение этого параграфа теорему, которая утверждает, что для промежутка, содержащего свои граничные точки, т. е. отрезка, свойства непрерывности и равно-

мерной непрерывности равносильны.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на отрезке, то она и равномерно непрерывна

íà íåì.

С доказательством теоремы Кантора можно ознакомиться в первом томе трехтомника Фихтенгольца Г.М., имеющегося в списке литературы.

82

ГЛАВА V. ПРОИЗВОДНАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ÑПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Âэтой главе мы изучим такую важнейшую характеристику функции, как ее производная

èнаучимся ее использовать для исследования функции. Важность производной невозможно переоценить, так как она характеризует скорость изменения любого процесса.

Ÿ1. Определение производной и дифференциала и их основные свойства

Рассмотрим функцию f(x), определенную в некотором интервале, содержащем точку x0.

Определение 1. Если существует конечный предел

то он называется производной функции f(x) в точке x0 и обозначается через f′(x0).

Переформулируем определение производной на языке приращений. Пусть

∆f(x0, ∆x) = f(x0 + ∆x) − f(x0)

приращение функции в точке x0, соответствующее приращению аргумента ∆x. Тогда при-

веденное выше определение производной равносильно существованию конечного предела

lim ∆f(x0, ∆x),

∆x→0 ∆x

т. е. производная представляет собой предел отношения приращения функции в данной точ-

По аналогии с односторонними пределами можно ввести также определение односторонних

называется левосторонней, соответственно, правосторонней производной функции f(x) â òî÷-

êå x0 и обозначается через f−′ (x0), соответственно, f+′ (x0). Очевидно, для существования про-

изводной f′(x0) необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны обе односторонние производные f−′ (x0) è f+′ (x0).

öèè на отрезке [x0, x0 + ∆x], следовательно, производная характеризует скорость изменения

функции в точке x0. Например, если точка двигается по прямой и известна зависимость s(t) пройденного пути от времени, то скорость этой точки в момент времени t равна v(t) = s′(t),

соответственно, ускорение равно производной от скорости по времени, т. е. a(t) = v′(t). Выясним теперь производной.

Угловой коэффициент kM секущей M0M равен

и, таким образом, секущая M0M стремится занять некоторое предельное положение , êîòî-

рое естественно считать касательной к графику функции в точке M0. Угловой коэффициент

касательной равен

k = tg α = f′(x0).

Следовательно, геометрически, производная f′(x0) представляет собой угловой коэффи-

циент касательной к графику функции в точке M0(x0, f(x0)). Уравнение касательной имеет

âèä:

В приложениях иногда используется нормальная прямая èëè нормаль, т. е. прямая, проходящая через точку M0 перпендикулярно касательной. Поскольку вектор n¯(f′(x0), −1) является

нормальным для касательной, то для нормальной прямой он является направляющим и, следовательно, мы можем записать каноническое уравнение нормальной прямой:

Решение. Найдем точку на графике, через которую проходит касательная. Так как угловой

84

Таким образом, касательная проходит через точку M0(8, 2) графика функции и ее уравнение

имеет вид:

y − 2 = 121 (x − 8) y = 121 x + 43.

Рассмотрим теперь неразрывно связанные с производной понятия дифференцируемости

функции и ее дифференциала.

Функция f(x), определенная в некотором интервале, содержащем точку x0 называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в этой точке представляется в виде:

Таким образом, если функция дифференцируема в точке x0, то существует производная f′(x0) и приращение этой функции мы можем записать в виде:

Покажем, что верно и обратное, т. е. из существования производной следует дифференцируемость функции в данной точке. Действительно, пусть в точке x0 существует производная f′(x0). Так как функция

что и означает дифференцируемость функции f(x) в точке x0.

Таким образом, мы доказали, что существование производной функции эквивалентно ее

дифференцируемости. В связи с этим, часто в дальнейшем процесс нахождения производной

мы будем называть коротко дифференцированием функции.

Определение 2. Линейная часть f′(x0)∆x приращения дифференцируемой в точке x0 функции f(x) называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается через

df(x0), ò. å. df(x0) = f′(x0)∆x.

Перепишем, учитывая это определение, формулу (3) для приращения функции:

∆f(x0, ∆x) = df(x0) + o(∆x).

Эту формулу мы можем использовать, в частности, для приближенного вычисления значений функции с помощью дифференциала , так как при малых значениях приращения следует, что

∆f(x0, ∆x) ≈ df(x0) f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + df(x0)

с погрешностью o(∆x).

Предполагая, что функция y = f(x) дифференцируема в интервале (a, b), т. е. в любой точке этого интервала, и считая по определению, что1 dx = ∆x, мы можем записать выражение для дифференциала функции в произвольной точке интервала в следующей симметричной форме: dy = y′dx.

Этой формулой оправдывается еще одно обозначение для производной : y′ = ddxy .

Как следует из уравнения (1) касательной к графику функции, дифференциал df(x0) =

f′(x0)∆x равен приращению ординаты касательной, которое соответствует приращению аргумента ∆x.

1Это соотношение можно формально обосновать тем, что, так как (x)′ = 1 (пример 1, b)), то дифференциал функции y = x равен dy = dx = (x)′∆x = ∆x:

85

y

Изучим теперь основные свойства производной и дифференциала.

1) Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.

Действительно, из формулы (3) следует, что

что и доказывает непрерывность функции в точке x0 (глава IV, Ÿ5, пункт 1).

√ Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Примером может служить функция y = 3 x èç примера 1, c), которая непрерывна в любой точке как элементарная, но не является

дифференцируемой в нуле.

2) Если функция y = f(x) монотонна и непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в некоторой точке x0 (a, b), причем f′(x0) ̸= 0òî, обратная функция x = f−1(y) дифферен-

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме о непрерывности обратной функции (глава IV, Ÿ5, пункт 3) обратная функция x = f−1(y) существует, монотонна в том же смысле, что и функция y =

f(x) и непрерывна в своей области определения. Заметим далее, что приращение аргумента ∆x

функции y = f(x) в точке x0 является приращением обратной функции x = f−1(y) в точке y0 и наоборот, приращение аргумента ∆y функции x = f−1(y) в точке y0 является приращением

функции y = f(x) в точке x0, причем, ввиду монотонности этих функций, если ∆x ̸=,0òî è ∆y ̸= 0и наоборот. Кроме того, из непрерывности данной функции и обратной к ней следует, что приращения ∆x è ∆y бесконечно малы одновременно, т. е.

Следовательно,

Формуле (5) мы можем придать более симметричный вид, если будем использовать следующие обозначения для производных: yx′ = f′(x), x′y = (f−1)′(y). Тогда

x′y = y1x′ yx′ x′y = 1.

Сформулируем теперь свойства производной, связанные с арифметическими операциями

над функциями (правила дифференцирования ).

3) Если функции f1(x) è f2(x) дифференцируемы в точке x, то функции c1f1(x) + c2f2(x), ãäå c1, c2 действительные числа, и f1(x)f2(x) также дифференцируемы в этой точке и

(c1f1(x) + c2f2(x))′ = c1f1′ (x) + c2f2′ (x), (f1(x)f2(x))′ = f1′ (x)f2(x) + f1(x)f2′ (x).