75

Утверждение 2. Пусть f1(x) è f2(x) бесконечно малая и бесконечно большая в точке x0 и существует предел

lim f1(x)f2(x).

x→x0

Тогда любую из этих функций при вычислении предела мы можем заменить на соответ-

ствующую эквивалентную.

Эти несложные утверждения иногда упрощают вычисление пределов.

Рассмотрим несколько пар эквивалентных бесконечно малых, которые являются следствиями соответствующих пределов из предыдущего пункта. Во всех нижеследующих соот-

ношениях f(x) бесконечно малая в точке x0.

1)sin f(x) f(x);

2)arcsin f(x) f(x);

3)tg f(x) f(x);

4)arctg f(x) f(x);

5)ln(1 + f(x)) f(x).

Докажем последнее из этих утверждений. В самом деле, использовав пределы (5) è (1) из пунктов 3 и 2 соответственно, получим:

Замечание. Все сформулированные выше определения и утверждения справедливы, естественно, и для бесконечно малых и бесконечно больших функций на бесконечности.

Ÿ5. Непрерывность функции

Познакомимся теперь с таким важнейшим как в самой математике, так и в ее приложениях свойством функции, как непрерывность.

1. Определение непрерывности функции. Общие свойства непрерывности

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в

некотором интервале, содержащем эту точку и существует предел lim f(x), равный зна-

x→x0

чению функции в точке x0, ò. å.

lim f(x) = f(x0).

x→x0

Приведем еще одно определение непрерывности функции, равносильное приведенному. Пусть ∆x приращение аргумента (малое положительное или отрицательное число) в точке

x0. Величина

∆f(x0, ∆x) = f(x0 + ∆x) − f(x0)

называется приращением функции f(x) в точке x0. Тогда, очевидно, функция непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда

lim ∆f(x0, ∆x) = 0.

∆x→0

76

Если предел lim f(x) не существует или равен бесконечности, либо указанный предел су-

x→x0

ществует и конечен, но не равен значению функции в точке x0 или функция неопределена в этой точке, то будем говорить, что функция f(x) разрывна в точке x0 или, иначе, x0 точка

разрыва данной функции.

Перечислим теперь основные свойства непрерывных функций , следующие из соответствующих свойств пределов (Ÿ4, пункт 2).

1) Если функции f1(x) è f2(x) непрерывны в точке x0, то в этой же точке непрерывны и функции

c1f1(x) + c2f2(x), c1, c2 R è f1(x)f2(x).

Если, кроме того, в области определения f2(x) ̸= ,0то непрерывной является также и

функция f1(x). Наконец, если в области определения f1(x) > 0, то непрерывна и функция f2(x)

(f1(x))f2(x).

Для доказательства достаточно использовать свойство 7) предела функций и предел (3) из пункта 2, Ÿ4.

2)Если функция f1(x) непрерывна в точке x0, а функция f2(y), в свою очередь, непрерывна

âточке y0 = f1(x0), то композиция функций f2(f1(x)) непрерывна в точке x0.

Здесь достаточно сослаться на свойство 2) предела композиции функций (пункт 2, Ÿ4).

3) Если функция f(x) непрерывна в точке x0 è f(x0) ̸=,0то в некотором малом интервале, содержащем точку x0 данная функция сохраняет знак значения f(x0).

Действительно, выбрав число ε > 0 столь малым, чтобы ε < |f(x0)|, мы по определению непрерывности можем указать δε > 0, для которого

f(x0) − ε < f(x) < f(x0) + ε, x (x0 − δε, x0 + δε),

что и доказывает данное свойство, так как по выбору ε числа f(x0) ± ε имеют знак значения f(x0).

По аналогии с односторонними пределами мы можем также ввести понятие односторонней непрерывности функции. А именно, функция f(x), определенная в полуинтервале

(a, x0], a < x0 (полуинтервале [x0, b), x0 < b) называется непрерывной слева (справа) â òî÷- êå x0, если существует левосторонний (правосторонний) предел f(x0 − 0) (f(x0 + 0)), равный значению функции в точке x0. Èç свойства 1) предела функции (Ÿ4, пункт 2) следует, что äëÿ

непрерывности функции f(x) в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы она была непре-

рывной слева и справа в этой точке и f(x0 − 0) = f(x0 + 0).

Функция называется непрерывной на промежутке числовой оси , åñëè îíà непрерывна в

любой точке этого промежутка , причем, если промежуток содержит граничные точки, то под непрерывностью в них понимается соответствующая односторонняя непрерывность.

2.Классификация точек разрыва функции

a)Устранимый разрыв.

Если функция f(x) определена в некотором интервале, содержащем точку x0, кроме, воз-

можно, самой этой точки и существует конечный предел lim f(x) (неравный f(x0), åñëè ôóíê-

x→x0

ция определена в точке x0), то по определению x0 точка устранимого разрыва данной функ-

öèè.

Из определения непрерывности следует, что, если в этом случае доопределить или пере- определить в точке x0 функцию ее предельным значением, то она становится непрерывной в

следовательно, данная функция имеет устранимый разрыв в точке x0 = 0.

78

2)Исследуем на непрерывность функцию f(x) = e10x + x1 в точке x0 = 0. Для этого вычислим

âэтой точке односторонние пределы:

Следовательно, в точке x0 = 0 функция испытывает разрыв второго рода.

3.Свойства функций, непрерывных на отрезке

Âэтом пункте мы приведем несколько полезных утверждений о функциях, непрерывных на отрезке, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях). Пусть функция f(x)

непрерывна на отрезке [a, b], a < b. Тогда для любой точки C отрезка, граничными точ- ками которого являются числа A = f(a) è B = f(b), найдется точка c [a, b] такая, что f(c) = C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем для доказательства метод дихотомии (деления отрезка пополам). Пусть для определенности A ≤ B. Обозначим через c1 середину отрезка [a, b]. Если окажется, что f(c1) = C, òî c = c1 и теорема доказана. Если же f(c1) ̸=C, то обозначим через [a1, b1] отрезок [a, c1], åñëè f(c1) > C и отрезок [c1, b], åñëè f(c1) < C. Таким образом C [f(a1), f(b1)] è l1 = b1 − a1 = (b − a)/2. Разделим далее отрезок [a1, b1] точкой c2 пополам. Если f(c2) = C,

[a2, b2] отрезок [a1, c2], åñëè C [f(a1), f(c2)] и отрезок [c2, b1], åñëè C [f(c2), f(b1)]. Здесь, очевидно, C [f(a2), f(b2)] è l2 = b2 −a2 = (b −a)/22. Продолжая этот процесс, мы либо через

конечное число шагов найдем искомую точку c, либо получим систему вложенных отрезков [an, bn], n N, для которых

В соответствии с (Ÿ2) существует общая для всех отрезков точка c [an, bn], n N. Из (1) следует, что с ростом n длины ln отрезков [an, bn] стремятся к нулю, поэтому

lim an = lim bn = c.

n→∞ n→∞

79

Ввиду непрерывности функции в точке c

lim f(an) = lim f(bn) = f(c).

n→∞ n→∞

Отсюда, воспользовавшись (2) и свойством 5) предела последовательности (Ÿ3, пункт 2), получим, что f(c) = C. Ò å î ð å ì à ä î ê à ç à í à.

Из теоремы Больцано-Коши вытекает важное в приложениях

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка

принимает значения противоположных знаков, то внутри отрезка существует нуль функции, т. е. точка c (a, b), в которой f(c) = 0.

Это следствие мы можем использовать для приближенного решения уравнения f(x) = 0.

Чтобы избежать проблемы различения корней, будем считать, что внутри отрезка [a, b] ñóùå-

ствует единственный корень данного уравнения. Это последнее будет иметь место, например, если функция монотонна на отрезке. Как следует из доказательства теоремы Больцано-Коши, для приближенного вычисления корня мы должны организовать отрезка, выбирая на каждом шаге тот из двух отрезков, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков.

y

Если задана погрешность вычислений ε > 0, то остановиться мы должны на отрезке [an, bn], длина которого окажется меньше ε, ò. å.

b − a

ln = bn − an = 2n < ε.

Из последнего неравенства следует, что

ln b−a n > ε ln 2

и, следовательно, закончить вычисления достаточно при

В качестве приближенного значения корня данного уравнения с точностью ε мы можем взять середину отрезка [anε , bnε ], т. е. число

c = 12(anε + bnε ).

Сформулируем без доказательства еще две теоремы о непрерывных на отрезке функциях.

Теорема Вейерштрасса (о наименьшем и наибольшем значении). Непрерывная на

отрезке [a, b] функция f(x) ограничена и достигает на этом отрезке своих нижней и верхней

Теорема (о непрерывности обратной функции). Непрерывная и монотонная на от-

резке [a, b] функция f(x) имеет на отрезке, граничными точками которого являются числа f(a), f(b) непрерывную и монотонную в том же смысле обратную функцию f−1(y).