71

Пример 3. Найти предел

lim Pm(x),

x→∞ Qn(x)

ãäå

Pm(x) = a0xm + a1xm−1 + . . . + am−1x + am, Qn(x) = b0xn + b1xn−1 + . . . + bn−1x + bn

полиномы степеней m è n соответственно.

Решение. Здесь возникает неопределенность вида ∞∞, которую мы раскроем, разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень. Возможны три случая: m < n, m = n è

m > n. Рассмотрим, например, второй из них, разделив числитель и знаменатель дроби на xn и воспользовавшись свойствами 7) предела:

Решение. В этом случае возникает неопределенность вида 00 , которую мы раскроем, разложив числитель и знаменатель дроби на множители:

3. Два важных в анализе предела

Прежде всего заметим, что ввиду четности данной функции мы можем ограничиться лишь малыми положительными значениями x. Обозначим через S OAB, SOAB, S OBC площади тре- угольника OAB, сектора OAB и треугольника OBC. Òàê êàê

72

а это и означает, что lim cos x = 1. Возвращаясь теперь к неравенству (2), замечаем, что к

x→0

функциям, входящим в него применимо свойство 4) предела функции, и, стало быть,

Далее, из неравенства (1) мы заключаем, что arctg x < x, откуда lim arctg x = 0, а, значит, и

Аналогично доказывается последнее из утверждений (3).

Замечание. Как следует из свойства 2) предела композиции функций, во всех приведенных тригонометрических пределах вместо аргумента x → 0 мы можем использовать функцию

Для проверки данного равенства используем уже найденный нами в параграфе 3, пункт 3

Ограничимся для определенности положительными значениями аргумента x. Обозначим через n = [x] целую часть числа x, т. е. наибольшее целое, не превосходящее это число. Так как при любом x > 0 справедливы неравенства

73

помощью предела (5). Так как

то, использовав предел (5) и тригонометрический предел, получим:

и, следовательно, сославшись на предел (3) из предыдущего пункта, мы заключаем, что

4. Бесконечно малые (бесконечно большие) функции, их свойства и использование

Функция f(x), определенная в некотором интервале, содержащем точку x0, кроме, воз-

можно, самой этой точки, называется бесконечно малой (бесконечно большой) в точке x0,

если существует и равен нулю (бесконечности) предел lim f(x).

x→x0

Изучим сначала свойства бесконечно малых. Очевидно, прежде всего, что вместе с бесконечно малыми f1(x) è f2(x) в точке x0 таковыми являются и функции

f1(x) ± f2(x), f1(x)f2(x).

Произведение f1(x)f2(x) будет бесконечно малой и в случае, когда одна из этих функций

является бесконечно малой, а вторая ограничена. Действительно, пусть lim f1(x) = 0, à

x→x0

|f2(x)| ≤ M, M > 0 в области определения. Зафиксируем произвольное число ε > 0. Ïî определению предела для положительного числа ε1 = Mε найдется положительное число δε1 такое, что |f1(x)| < ε1 ïðè 0 < |x − x0| < δε1 . Тогда при всех таких x

|f1(x)f2(x)| = |f1(x)||f2(x)| < ε1M = ε,

74

ò. å. lim f1(x)f2(x) = 0.

x→x0

Частное f1(x)/f2(x) мы будем использовать для сравнения бесконечно малых f1(x), f2(x) в точке x0.

Будем говорить, что бесконечно малая f1(x) имеет порядок малости k относительно бес-

конечно малой f2(x), если существует

В частности, если k = 1, òî f1(x) è f2(x) являются бесконечно малыми одного порядка. Если, сверх того,

lim f1(x) = 1,

x→x0 f2(x)

то бесконечно малые f1(x) è f2(x) называются эквивалентными. Для эквивалентных бес-

конечно малых используется обозначение: f1(x) f2(x), x → x0. Наконец, если окажется, что

lim f1(x) = 0,

x→x0 f2(x)

то условимся говорить, что бесконечно малая f1(x) имеет более высокий порядок малости

и, следовательно, искомый порядок малости равен 3.

Аналогично мы можем сравнивать бесконечно большие. В частности, две бесконечно большие в точке x0 функции f1(x) è f2(x) функции называются эквивалентными, åñëè

lim f1(x) = 1.

x→x0 f2(x)

Обсудим теперь, как использовать эквивалентные бесконечно малые (бесконечно большие) при вычислении пределов.

Утверждение 1. Пусть f1(x) è f2(x) две бесконечно малые (бесконечно большие ) в точке x0 и существует предел

lim f1(x).

x→x0 f2(x)

Тогда при вычислении этого предела любую из данных функций мы можем заменить на эквивалентную ей.

Действительно, если, например, f2(x) f3(x), x → x0, то существует также предел

Аналогично проверяется и