66

Мы получили предел с неопределенностью вида ∞∞. Разделим числитель и знаменатель по- следней дроби на n и используем свойства 7) предела:

Ÿ4. Предел функции

В этом параграфе мы обобщим понятие предела на случай числовой функции одной действительной переменной.

1. Числовая функция и некоторые ее элементарные свойства

Определение. Числовой функцией действительной переменной (действительного аргумента) называется закономерность, ставящая в соответствие каждому числу (точке) x

D R определенное действительное число (значение функции в точке x). Множество D

называется областью определения функции.

Обозначения для функции:

y = f(x), x D; x → f(x), x D; f : D → E,

ãäå E = {f(x) | x D} область значений функции f(x). Иногда для области значений функции мы будем использовать обозначение f(D).

Частным случаем функции является последовательность: n → an, n N.

Всюду в наших дальнейших рассмотрениях мы будем предполагать, что функция задана формулой, позволяющей по определенному алгоритму вычислять ее значения.

Множество точек плоскости G = {(x, f(x)) | x D} называется графиком данной функции. Функция f(x) называется убывающей (невозрастающей) на множестве D, åñëè äëÿ âñåõ x1 < x2, x1, x2 D выполняется неравенство f(x1) > f(x2) (f(x1) ≥ f(x2)). Аналогично, если

для тех же значений переменной справедливо f(x1) < f(x2) (f(x1) ≤ f(x2)), то функция называется возрастающей (неубывающей). Возрастающая или убывающая функция называется

монотонной.

Функция f : D → E называется ограниченной, если множество ее значений E ограничено. Пусть D è E соответственно область определения и область значений функции f(x).

Эта функция называется биективной (биекцией) èëè взаимно однозначной , если различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции. Примером биекции может служить любая монотонная в своей области определения функция.

Пусть f : D → E биекция. Обратной к данной называется функция f−1 : E → D, которая

каждому y E ставит в соответствие такое x D, ÷òî f(x) = y.

Из определения обратной функции следует, что f−1(f(x)) = x, x D; f(f−1(y)) = y, y E.

Заметим далее, что, если (x, y) точка графика функции f(x), то точка (y, x) принадлежит графику обратной функции f−1(y) и, таким образом, графики данной функции и обратной к

ней симметричны относительно прямой y = x.

67

Всякая монотонная в своей области определения функция обратима , поскольку, как уже

отмечалось, она является биекцией.

Введем определение композиции функций èëè сложной функции. Рассмотрим две функции: f1 : D1 → E1 è f2 : D2 → E2, причем D2 E1. Тогда функция (f2 ◦ f1)(x) = f2(f1(x)), x D1

называется композицией функций f1 è f2 èëè сложной функцией.

Определим теперь класс элементарных функций. Введем сначала основные элементарные функции, известные из курса элементарной математики:

xα, α R степенная функция;

ax, 0 < a ̸= 1 показательная функция, в частности, exp(x) = ex экспонента;

loga x, 0 < a ̸= 1 логарифмическая функция, в частном случае, ln x = loge x натуральный логарифм;

sin x, cos x, tg x, ctg x тригонометрические функции ;

arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x обратные тригонометрические функции .

Функция, полученная из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических операций и композиций, называется элементарной функцией.

Элементарными функциями являются, например, полином (многочлен) степени n N :

Pn(x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an, a0 ̸=,0a1, . . . , an R коэффициенты полинома

и, так называемые, гиперболические функции:

sh x = 12(ex − e−x) синус гиперболический; ch x = 12(ex + e−x) косинус гиперболический;

sh x

th x = ch x тангенс гиперболический;

ch x

cth x = sh x котангенс гиперболический.

2. Предел функции и его свойства

Пусть числовая функция y = f(x) определена в некотором интервале (a, b), содержащем точку x0, кроме, возможно, самой точки x0.

Определение. Действительное число L называется пределом функции f(x) ïðè x стремящемся к x0, если для любого (можно считать, сколь угодно малого ) положительного числа ε > 0 существует положительное число δε > 0 такое, что при всех

x (x0 − δε, x0) (x0, x0 + δε) 0 < |x − x0| < δε

выполняется неравенство

L − ε < f(x) < L + ε |f(x) − L| < ε.

Проиллюстрируем понятие предела функции на ее графике.

y

y=f HxL

L +Î

L P

Î

L-Î

x

O x0- Î x0 x0+ΔÎ

68

Число L является пределом функции f(x) ïðè x стремящемся к x0, если для всякой сколь угодно узкой полосы Πε между горизонтальными прямыми y = L − ε è y = L + ε найдется достаточно малый интервал, симметричный относительно точки x0, такой, что для всех чисел x из этого интервала соответствующие точки графика функции попадают в полосу Πε.

Решение. В первом случае |f(x) − L| = |c − c| = 0 < ε äëÿ âñåõ x R, что и доказывает

÷òî |x − 1| < δε справедливо неравенство

|f(x) − L| < ε,

которое и доказывает утверждение.

Введем теперь определение конечного предела функции f(x) ïðè x стремящемся к бесконечности. Пусть эта функция определена при всех действительных x или вне некоторого

Осталось ввести определение бесконечного предела функции. Пусть функция f(x) опреде-

лена в некотором интервале, содержащем точку x0, исключая, возможно, саму точку x0 (ñî- ответственно, вне некоторого интервала). Если для любого (сколь угодно большого ) положи-

тельного числа A > 0 существует положительное число δA > 0 (соответственно, MA > 0) такое, что для любого x из множества

0 < |x − x0| < δA (соответственно, |x| > MA)

справедливо неравенство

|f(x)| > A,

òî

lim f(x) = ∞ (соответственно, lim f(x) = ∞).

x→x0 x→∞

Пользуясь этим определением, несложно убедиться, например, в том, что

В определении предела функции при x → x0 аргумент x приближается к точке x0 с обеих сторон, оставаясь как меньше, так и больше числа x0. Если же заставить аргумент прибли-

жаться к точке x0 только слева (справа), то мы получим односторонний предел. Приведем его точное определение.

69

Пусть функция f(x) определена в некотором интервале (a, x0), a < x0 (соответственно,

(x0, b), b > x0). Число L− (соответственно, L+) называется левосторонним (соответ- ственно, правосторонним ) пределом функции f(x) ïðè x стремящемся к x0, åñëè äëÿ ëþ-

Для доказательства достаточно сравнить определения предела функции и односторонних пределов.

2) Предположим, что функция f1(x) определена в некотором интервале, содержащем точ-

êó x0, кроме, возможно, точки x0 и существует конечный предел lim f1(x) = y0, а функция

x→x0

f2(y) определена в некотором интервале, содержащем область значений функции f1(x) и точку y0, кроме, возможно, точки y0 и существует предел lim f2(y) = L. Тогда существу-

ет предел композиции функций

lim f2(f1(x)) = L.

x→x0

Действительно, по определению предела функции для любого ε > 0 найдется число δ2ε > 0 такое, что при всех y из множества |y−y0| < δ2ε справедливо неравенство |f2(y)−L| < ε. В свою очередь для числа δ2ε отыщется такое δ1ε > 0, что при любом x, принадлежащем множеству 0 < |x − x0| < δ1ε выполняется неравенство |f1(x) − y0| < δ2ε. Отсюда следует справедливость неравенства |f2(f1(x)) − L| < ε ïðè âñåõ x таких, что 0 < |x − x0| < δ1ε. Свойство доказано.

Теперь сформулируем свойства пределов функций, которые аналогичны (вместе с доказательствами) соответствующим свойствам пределов последовательностей. Во всех этих свой-

ствах мы будем предполагать, что функции определены некотором интервале (a, b), a < b, содержащем точку x0, кроме, может быть, самой точки x0.

3)Функция имеет не более одного предела.

4)Åñëè ïðè âñåõ x из интервала (a, b) выполняется неравенство

f1(x) ≤ f(x) ≤ f2(x)

5) Если для любого x (a, b) справедливо неравенство f(x) ≤ M (f(x) ≥ M), M R и существует конечный предел lim f(x), òî lim f(x) ≤ M ( lim f(x) ≥ M).

Это свойство, очевидно, справедливо и для односторонних пределов.

6) Если функция монотонна и ограничена в интервале (a, x0) (соответственно, (x0, b)),

то существует левосторонний предел f(x0 − 0) (соответственно, правосторонний предел f(x0 + 0)).

70

7) Если для функций f1(x) è f2(x) существуют конечные пределы lim f1(x) è lim f2(x),

x→x0 x→x0

то существуют также пределы функций c1f1(x) + c2f2(x), c1, c2 R è f1(x)f2(x), причем

Покажем, пользуясь свойствами 2), 6) и 7), что

Прежде всего заметим, что по свойству 6) существуют односторонние пределы этих функций. Так как благодаря свойству 7)

откуда и следует справедливость утверждений (2), а, значит, и (1).

Предположим, что функции f1(x) è f2(x) определены в некотором интервале, содержащем точку x0, кроме, может быть, самой точки x0 и существуют конечные пределы

Замечание. Свойства 2) 7) со специальными оговорками, касающимися областей определения и значений функций, справедливы и для конечных пределов функций на бесконечности.

Сделаем еще одно замечание, касающееся алгебраических операций над пределами функ-

Если оба этих предела равны бесконечности или один из них конечен и не равен нулю, а второй равен бесконечности, то

lim f1(x)f2(x) = ∞.

x→x0

В остальных случаях, как и при вычислении пределов последовательностей (Ÿ3, пункт 4) могут возникать неопределенности вида ∞ − ∞, 0 · ∞, 00 , ∞∞.