62

ãäå [·] обозначает целую часть числа, т. е. наибольшее целое, не превосходящее данное число. Аналогично можно убедиться в том, что

lim 1 = 0, 0 < s R.

n→∞ ns

Введем понятие бесконечного предела последовательности an. Если для любого (можно счи- тать сколь угодно большого) числа M > 0 существует номер nM N такой, что

|an| > M, n > nM ,

то пределом данной последовательности считается бесконечность, ò. å.

Следовательно, если, при заданном M > 0, мы возьмем nM = [M], òî

n2 + 1 > M, n > nM , n

что и требовалось доказать.

Отметим еще тот очевидный факт, что lim ns = +∞, 0 < s R.

n→∞

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Соответственно, расходящейся называется последовательность, предел которой равен бесконечности или не существует.

2. Свойства пределов последовательностей

Изучим теперь основные свойства пределов сходящихся последовательностей.

Последовательность ank , nk < nk+1 ïðè âñåõ k N называется подпоследовательностью последовательности an.

1) Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу по-

следовательности.

Доказательство очевидным образом следует из определения предела последовательности.

2) Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Действительно, предположим, что у последовательности an существуют два различных предела A1 è A2. Выберем число ε > 0 столь малым, чтобы интервалы (A1 − ε, A1 + ε) è (A2 − ε, A2 + ε) не пересекались. По определению предела найдется номер nε N такой, что

A1 − ε < an < A1 + ε, A2 − ε < an < A2 + ε, n > nε.

64

B ̸= 0òî, интервал (B − δ, B + δ) можно выбрать столь малым, чтобы он не содержал нуля. Ввиду сходимости последовательности bn, äëÿ âñåõ n > nδ имеет место неравенство

(B − δ < bn < B + δ). Отсюда, учитывая, что все b1, b2, . . . , bnδ также отличны от нуля, мы заключаем, что последовательность bn отделена от нуля, т. е. существует положительное число

m такое, что |bn| > m. Òàê êàê

номер nε1 , начиная с которого |an − A| < ε1, |bn − B| < ε1, поэтому из неравенства (1) при

3. Число e

Используем приведенные в пункте 2 свойства пределов для определения важного в анализе числа e.

Рассмотрим последовательность

и докажем, что она сходится. Заметим, прежде всего, что

Покажем, что последовательность bn является убывающей. Действительно,

Воспользовавшись неравенством Бернулли (Ÿ1), получим:

Таким образом, последовательность bn убывает. Аналогично проверяется, что последовательность an является возрастающей. Последовательность an ограничена сверху, а bn снизу, так êàê an < b1, bn > a1, n N. Следовательно, по свойству 4) предела последовательности an è

bn сходятся, причем сходятся они к общему пределу, так как благодаря свойству 7), b) предела произведения последовательностей

65

Определение. e = lim (1 + 1 )n .

n→∞ n

Пользуясь неравенством (1), мы можем указать сколь угодно малый интервал, в котором содержится число e и, таким образом, вычислить его с любой точностью. Например, уже при

n = 10

2, 59374 < e < 2, 85312.

Более точные вычисления показывают, что

e= 2, 718281828459045 . . .

4.О неопределенностях, возникающих при вычислении пределов

Мы можем пользоваться свойствами 7) предела последовательности (пункт 2) только для сходящихся последовательностей. Однако при вычислении предела может возникнуть ситуация, когда эти свойства нельзя использовать, по крайней мере непосредственно. Речь здесь

здесь имеет место неопределенность вида ∞ − ∞.

При вычислении указанных пределов следует раскрыть неопределенность , т. е. данную последовательность с помощью тождественных преобразований необходимо привести к виду, для которого уже применимы свойства 7).

Пример 1. Вычислить предел

Решение. В данном случае возникает неопределенность вида ∞∞. Так как числитель и знаме- натель содержат степенные выражения переменной n, то раскрыть эту неопределенность мы

можем, разделив числитель и знаменатель дроби на общую старшую степень n5 :