Курс лекций и практических занятий по дисциплине «Механика материалов». Растяжение–сжатие

 При действии рабочей нагрузки и в случае, когда конструкция была собрана в условиях неточного изготовления одного из элементов, продольные силы, возникающие в стержнях, будут являться

результатом совместного действия этих двух факторов и стати-

ческое уравнение (1) принимает вид:

2.5. Другие случаи статически неопределимых задач

Задача 34

Квадратная плита, укрепленная на четырех одинаковых симметрично расположенных стойках, нагружается силой F = 200 кН, как показано на рисунке. Стойки жестко соединены с фундаментом, что позволяет им воспринимать как растягивающие, так и сжимающие усилия. Определить продольные силы в стойках.

122

РЕШЕНИЕ

Особенность данной задачи состоит в том, что, начиная ее решение, трудно с уверенностью установить характер деформации конструкции и вид деформационной схемы. Приложение силы F, как показано на рисунке, может вызвать в стойках 1-2-3 как укорочение, так и удлинение, и это, очевидно, зависит от смещения этой силы от цента плиты. Вид конструкции в деформированном состоянии можно задать произвольно, но при этом силовая схема должна обязательно соответствовать схеме деформаций.

Можно, например, предположить, что все четыре стойки укоротятся и продольные силы в них будут сжимающими. Но также

вероятна и ситуация, что стойка 4 укоротится, а стойки 1-2-3 ─ удлинятся, что потребует принятия соответствующей силовой схемы.

Из-за неопределенности характера деформации для систем данного типа предпочтительнее применять методы раскрытия статической неопределимости, исключающие построение деформационных схем. Произвольно заданная схема деформаций может внести ошибку в самом начале решения и приведет к неверному результату, а также к возможному противоречию между силовым и деформированным состоянием конструкции.

Для решения данной задачи используем энергетический метод,

основанный на принципе наименьшей работы:

 Отбрасываем в качестве лишней связи стойку 4 и заменяем ее действие на систему силой Х. Определяем продольные силы N1, N2 и N3 от действия каждой из приложенных нагрузок. Так как без стойки 4 система стала

статически определимой, указанные силы можно определить из уравнений равновесия. Направление сил N задаем произвольно, но решение уравнений равновесия покажет: если сила N получилась

123

положительной – ее направление выбрано верно, если отрицательной – ее следует перенаправить. Правильное направление укажет вид деформации, возникающей в стойке от

заданной нагрузки:

N1( X ) a b 2N2( X )b X a b 0

N1( X ) X (сжатие)

N2( X ) X (растяжение)

Полные силы в стойках с учетом вида деформаций равны:

124

Здесь первое слагаемое в N1, N2 и N3 соответствует растяжению, а второе – сжатию, поэтому результирующая сила и возникающая от нее деформация будут зависеть от того, какое из слагаемых окажется бóльшим.

 Полная потенциальная энергия, накопленная в стойках, равна:

 Из условия минимума потенциальной энергии определяем значение силы X и продольные силы в стойках:

Таким образом, во всех стойках возникает сжимающая продольная сила, они укорачиваются и конструкция принимает вид:

 Как видно из рисунка, деформации связаны между собой соотношением: 2(3)

 Тогда на основании закона Гука продольные силы будут также связаны между собой соотношением N2(3) N1 N4 / 2 , что соответству-

ет полученным результатам расчетов.

Задача 35

Внутри стальной втулки площадью поперечного сечения А = 20 см2 и длиной ℓст = 250 мм установлен алюминиевый стержень такой же площади сечения, но длиннее втулки на ∆ = 0,04 мм. Определить

125

силу F, которая вызовет в стержне и втулке одинаковые напряжения. Принять Ест = 2·105 МПа, Еал = 0,75·105 МПа.

РЕШЕНИЕ

 Из условия равенства напряжений σст = σал и при одинаковой площади сечений элементов имеем → Nст = Nал = N.

 Определяем продольные силы в элементах методом деформаций:

Задача 36

Конструкция состоит из трех стоек одинаковой длины, из которых две крайние – стальные площадью поперечного сечения Аст = 20 см2, а средняя – чугунная площадью сечения Ачуг = 50 см2. На стальных стойках установлены две одинаковые пружины с коэффициентом

126

127

Если в данной конструкции пружину установить на средней стойке, это позволит разгрузить средний (чугунный) стержень и снизить напряжения в нем на 20%. Расчет для этого случая предлагается провести самостоятельно.

Задача 37

Бетонная стойка АС площадью сечения 40×40см2 с установленными двумя стальными тягами закреплена между жесткими плитами и в среднем сечении нагружена силой F = 320 кН, как показано на рисунке. Какую площадь сечения должны иметь тяги, чтобы растягивающие напряжения в верхней части стойки не превышали 0,5 МПа? Чему в этом случае будут равны напряжения в тягах?

Принять: Ест = 2·105 МПа, Ебет = 1,5·104 МПа.

РЕШЕНИЕ

 Под действием силы F стойка и тяги деформируются и, воздействуя на опоры, вызывают реакции опор:

Продольные силы, возникающие в тягах и на участках бетонной стойки, соответственно равны этим реакциям:

Nтяг Rтяг ; N AB RA ; NBC RC .

128

 Так как стойка АС жестко закреплена между плитами, условие деформации для нее имеет вид:

где деформации участков АВ и ВС определяются по закону Гука:

Подставляем (3) → (2) и получаем → RA RC 80 кН , а из статического уравнения (1) определяем продольную силу в стальных тягах → Nтяг Rтяг 80 кН . Таким образом, все реакции опор в данной конструкции одинаковы и равны 80 кН.

 Подбираем площадь сечения тяг из условия равенства их удли-

 Напряжения в тягах соответственно равны:

129

Задача 38

Короткая деревянная колонна квадратного сечения 25×25см2, усиленная четырьмя стальными уголками 40×40×4 (Ауг = 3,08 см2), сжимается силой F, как показано на рисунке. Какую наибольшую безопасную нагрузку может выдержать конструкция, если

[σ]ст = 160 МПа и [σ]дер = 12 МПа? Вычислить, насколько следует укоротить уголки, чтобы напряжения в деревянной колонне были

равны [σ]дер. Насколько при этом увеличится грузоподъемность конструкции? Принять: Ест = 2·105 МПа, Едер = 1·104 МПа.

РЕШЕНИЕ

 Под действием силы F уголки и колонна сжимаются и в них возникают продольные силы Nуг и Nдер. Определяем эти силы:

 Подбираем допускаемую нагрузку F из условия прочности уголка и деревянной стойки:

130